高等数学(同济大学)课件上第7_5平面方程

1、第五节 一、平面的点法式方程平面的点法式方程 二、平面的一般方程二、平面的一般方程 三、两平面的夹角三、两平面的夹角 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 第七七章 z y x o 0 M n 一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程 ),( 0000 zyxM设一平面通过已知点 且垂直于非零向 0)()()( 000 zzCyyBxxA M 称式为平面的点法式方程点法式方程, 求该平面的方程. ,),(zyxM任取点 ),( 000 zzyyxx 法向量. 量 , ),(CBAn nMM 0 0 0 nMM MM 0 则有 故 的为平面称n 机动 目录 上页 下页 返回 结束 k

2、ji 例例1.1.求过三点 , 1 M又 ) 1,9,14( 0)4() 1(9)2(14zyx 015914zyx 即 1 M 2 M 3 M 解解: 取该平面 的法向量为 ),2,3, 1(),4, 1,2( 21 MM)3,2,0( 3 M 的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程 346 231 n n 3121 MMMM 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此平面的三点式方程三点式方程也可写成 0 132 643 412zyx 0 131313 121212 111 zzyyxx zzyyxx zzyyxx 一般情况一般情况 : 过三点)3,2, 1(),(kzyxM kkkk 的

3、平面方程为 说明说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别特别, ,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP 1 c z b y a x 时, )0,(cba bcax)( cay)(0baz abcbzaacybcx 平面方程为 P o z y x R Q 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 0 ax yz ab0 a0c 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、平面的一般方程二、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般平面的一般 0D

4、zCyBxA 任取一组满足上述方程的数, 000 zyx则 0)()()( 000 zzCyyBxxA 0 000 DzCyBxA 显然方程与此点法式方程等价, )0( 222 CBA ),(CBAn 的平面, 因此方程的图形是 法向量为 方程方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特殊情形特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x +

5、D =0 表示 B y + D =0 表示 0DCzByAx)0( 222 CBA 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. ,), 0(iCBn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程. 例例3. .用平面的一般式方程导出平面的截距式方程. 解解: 因平面通过 x 轴 , 0 DA故 设所求平面方程为 0zCyB 代入已知点) 1,3,4(得 BC3 化简,得所求平面方程 03 zy (P327 例4 , 自己练习) 机动 目录 上页 下页

6、 返回 结束 三、两平面的夹角三、两平面的夹角 设平面1的法向量为 平面2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 cos 即 212121 CCBBAA 2 2 2 2 2 2 CBA 2 1 2 1 2 1 CBA 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 1 2 2 n 1 n ),( 1111 CBAn ),( 2222 CBAn 21 21 cos nn nn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 特别有下列结论：特别有下列结论： 21 ) 1 ( 0 212121 CCBBAA 21 /)2( 2 1 2 1 2 1 C C B B A A ),(: ),(: 22222 11

7、111 CBAn CBAn 1 1 2 21 21 cos nn nn 21 nn 21 / nn 2 n 1 n 2 n 1 n 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此有 例例4. 一平面通过两点 垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 . 解解: 设所求平面的法向量为 ,020CBA即CA2 的法向量 ,0CBA CCAB)( )0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC 约去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx 即 02zyx 0) 1() 1() 1(zCyBxA )1, 1, 1( 1 M, )1, 1,0( 2 M和 则所求平面 故 , ),(CBAn

8、方程为 n 21M Mn 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 外一点,求 ),( 0000 zyxP0DzCyBxA例例5. 设 222 101010 )()()( CBA zzCyyBxxA 222 000 CBA DzCyBxA d 0 111 DzCyBxA 解解: :设平面法向量为 ),( 1111 zyxP 在平面上取一点 是平面 到平面的距离d . 0 P ,则P0 到平面的距离为 01 PrjPPd n n nPP 01 0 P 1 P n d , ),(CBAn (点到平面的距离公式) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y z o 0 M 例例6. 解解: 设球心为

9、求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 则它位于第一卦限,且 222 000 111 1zyx 00 331xx , 1 000 zyx Rzyx 000 因此所求球面方程为 000 zyx 6 33 33 1 , ),( 0000 zyxM 四面体的球面方程. 从而 )(半径R 2222 ) 6 33 () 6 33 ( 6 33 ) 6 33 ( zyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 1.平面平面基本方程: 一般式 点法式 截距式 0DCzByAx)0( 222 CBA 1 c z b y a x 三点式 0 131313 121212 111

10、 zzyyxx zzyyxx zzyyxx 0)()()( 000 zzCyyBxxA )0(abc 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 212121 CCBBAA 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 2.平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直: 平行: 夹角公式: 21 21 cos nn nn 0 21 nn 0 21 nn , 0: 22222 DzCyBxA),( 2222 CBAn , 0: 11111 DzCyBxA 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),( 1111 CBAn 思考与练习思考与练习 P330 题4 , 5, 8 第六节 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P330 2 , 6 , 7 , 9 )5,15,10( 0) 1(5) 1(15) 1(1