刚体的转动 - 习题

1、物理学物理学 第五版第五版 刚体的转动习题 第 四 章 授课教师：张授课教师：张 伟伟 Email: 西南科技大学理学院西南科技大学理学院 物理学物理学 第五版第五版 刚体定轴转动的几类问题刚体定轴转动的几类问题 物理学物理学 第五版第五版 物理学物理学 第五版第五版 1、 一飞轮直径为一飞轮直径为0.30m，质量为，质量为5.00kg，边缘绕有，边缘绕有 绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀地加绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀地加 速速 ，经，经 0.50 s 转速达转速达10r/s。假定飞轮可看作实心圆柱。假定飞轮可看作实心圆柱 体，求：体，求： （1）飞轮的角加速度及在这

2、段时间内转过的转数；）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数； （2）拉力及拉力所作的功；）拉力及拉力所作的功； （3）从拉动后经）从拉动后经 t =10s时飞轮的角速度及轮边缘上一时飞轮的角速度及轮边缘上一 点的速度和加速度。点的速度和加速度。 物理学物理学 第五版第五版 = 1.26102 rad/s2 = a t n2 t 23.1410 0.5 1.26102(0.5)2 = 5 2 1 a t 2 = 2 1 N = 2 = 2.5 r ant = 2 (1) 解：解： = a F R J = 5.610-21.26102 0.15 47N = A = MFR 470.155=111

3、J = a FMRJ = (2) 物理学物理学 第五版第五版 R v = 0.151.26103 = 1.89102 m/s at = R a = 0.151.26102 a n 2 = R = 0.15(1.26103)2 = 2.38105 m/s2 = 1.2610210 =1.26103 1/s a t =(3) =18.9m/s2 物理学物理学 第五版第五版 一质量为一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端 绕在一轮轴的轴上，如图所示。轴水平且垂直于轮绕在一轮轴的轴上，如图所示。轴水平且垂直于轮 轴面，其半径为轴面，其半径为R，整个装置架在光滑的

4、固定轴承整个装置架在光滑的固定轴承 之上，当物体从静止释放后，在时间之上，当物体从静止释放后，在时间t内下降了一内下降了一 段距离段距离s，试求整个轮轴的转动惯量试求整个轮轴的转动惯量(用用m、R、t和和 s表示表示)。 物理学物理学 第五版第五版 解：研究系统，物体和轮轴，当物体下降解：研究系统，物体和轮轴，当物体下降s距离时，距离时， 物体和滑轮的运动方程为物体和滑轮的运动方程为 根据根据 物理学物理学 第五版第五版 9 （3）：）：两均质皮带轮的半径分别为两均质皮带轮的半径分别为R1和和R2，质，质 量分别为量分别为m1和和m2，都可以视为匀质圆盘，两轮以，都可以视为匀质圆盘，两轮以 皮

5、带相连，分别绕两平行的固定轴皮带相连，分别绕两平行的固定轴O1和和O2转动，转动， 如果在第一轮上作用一力矩如果在第一轮上作用一力矩M，在第二轮上作用，在第二轮上作用 有负载力矩有负载力矩M，设皮带与轮间无滑动，皮带质量，设皮带与轮间无滑动，皮带质量 以及两轴处的磨擦均忽略不计，试求第一皮带轮以及两轴处的磨擦均忽略不计，试求第一皮带轮 的角加速度。的角加速度。 o 1 o 2 M M T1 T2 T1 T2 R1 R2 物理学物理学 第五版第五版 10 2211 21222 2 22 12111 2 11 2 1 2 1 RR MRTRTRm RTRTMRm 解根据转动定律 2 2 121 1

6、2 1 )( )(2 RRmm MRMR o 1 o 2 M T1 T2 T2 R1 T 1 M 物理学物理学 第五版第五版 （4）长为）长为 l 质量为质量为 m 的均匀杆，在光滑的均匀杆，在光滑 桌面上由竖直位置自然倒下，当夹角为桌面上由竖直位置自然倒下，当夹角为时时 （见图），求：（见图），求： （1）质心的速度；）质心的速度； （2）杆的角速度。）杆的角速度。 q q A B l 物理学物理学 第五版第五版 0 xc = = vcx0 =vc=sinq q l 2 vcy 1q qml 2 cos 12 1 += gm() 2 12 2 l ()m 2 2 1 vc = t d d q

7、 q 解：选质心坐标系解：选质心坐标系 由机械能守恒：由机械能守恒： q q l cos 2 = yc t d sin = yc d q q l 2t d d q q vcy q q A B l 物理学物理学 第五版第五版 12 3q q g 2 sin+() 1q qcos() l1 = =vcsinq q l 2 12 3q q g 2 sin+() 1q qcos() l1 = sinq q l 2 +m 2 1 sinq q l 4 22 2 () ml 2 24 1 = 2 1q qcos gm 2 () l 将将 代入得：代入得：vc 1q qml 2 cos 12 1 += gm

8、() 2 12 2 l ()m 2 2 1 vc 物理学物理学 第五版第五版 一根长为、质量为一根长为、质量为M的匀质棒自由悬挂于的匀质棒自由悬挂于 通过其上端的光滑水平轴上。现有一质通过其上端的光滑水平轴上。现有一质 量为量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度v0射向棒的中心，射向棒的中心， 并以并以v0/2的水平速度穿出棒，此后棒的最的水平速度穿出棒，此后棒的最 大偏转角恰为，则大偏转角恰为，则v0的大小为的大小为 物理学物理学 第五版第五版 物理学物理学 第五版第五版 5、一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一 端的竖直固定光滑轴端的竖直

9、固定光滑轴 转动，棒的质量为转动，棒的质量为 长度为长度为 对轴的转动惯量为对轴的转动惯量为 ，初始，初始 时棒静止，今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另时棒静止，今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另 一端，并留在棒中，子弹的质量一端，并留在棒中，子弹的质量 速率速率 Okgm5 . 1 kgm020. 0 ml0 . 13 2 mlJ 1 400 sm 问问（1）棒开始和子弹一起转动时角速度）棒开始和子弹一起转动时角速度 ？ （2）若棒转动时受到大小为）若棒转动时受到大小为 的恒的恒 阻力矩作用，棒能转过的角度阻力矩作用，棒能转过的角度 ？ mNM r 0 . 4 q J m 光 o 物理学

10、物理学 第五版第五版 （2）转动定律）转动定律 J m 光 转动定律：转动定律： dt d d d lmJM r q q )( 2 q q dlmJdM r )( 2 0 0 （1）角动量守恒）角动量守恒 2 0lmJlm 物理学物理学 第五版第五版 一根质量为一根质量为 m、长度为、长度为 L的匀质细直棒，平的匀质细直棒，平 放在水平桌面上。若它与桌面间的滑动摩擦放在水平桌面上。若它与桌面间的滑动摩擦 系数为系数为 ，在，在 时，使该棒绕过其一端的竖直时，使该棒绕过其一端的竖直 轴在水平桌面上旋转，其初始角速度为轴在水平桌面上旋转，其初始角速度为 0， 则棒停止转动所需时间为则棒停止转动所需

11、时间为 。 物理学物理学 第五版第五版 求：棒从碰撞求：棒从碰撞 开始到停止转动所开始到停止转动所 用的时间。用的时间。 （12）质量为）质量为m1,长度为长度为 l 的均匀细棒，静止平的均匀细棒，静止平 放在滑动摩擦系数为放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可的水平桌面上，它可 绕端点绕端点O转动。另有一水平运动的质量为转动。另有一水平运动的质量为m2的的 小滑块，它与棒的小滑块，它与棒的A端相碰撞，碰撞前后的速端相碰撞，碰撞前后的速 度分别为度分别为及及 v 1 v 2 。 A m v l 1 v 2 1 m 2 O 物理学物理学 第五版第五版 1 3 =I m 1l 2 + = I m v

12、l 21 m v l 2 2 = +mv 21 m v l 1 2 3() A O m v l 1 v2 1 m2 解：由角动量守恒得解：由角动量守恒得 Im vl 21= m vl 22 棒上棒上dx段与桌面间的摩擦力为：段与桌面间的摩擦力为： gx f m d 1 = l d = dM f dx=gx m d 1 l x dx段所产生摩擦力力矩为：段所产生摩擦力力矩为： 物理学物理学 第五版第五版 M 0 = gx m d 1 l x l 1 2 =gm 1 l = +mv 21 m v l 1 2 2() t 摩擦力力矩为：摩擦力力矩为： dM = gx m d 1 l x 由角动量原理

13、：由角动量原理： M 0 = t tdMt0 1 3 m 1l 2 = ) = 1 3 m 1l 2 +mv 21 m v l 1 2 3( . 所用的时间为：所用的时间为： 物理学物理学 第五版第五版 * *8 8、 一匀质的薄圆盘状飞轮，质量为一匀质的薄圆盘状飞轮，质量为mm，半径为，半径为R R，绕，绕 过盘心且垂直盘面的竖直轴转动，轴的摩擦忽略不计。过盘心且垂直盘面的竖直轴转动，轴的摩擦忽略不计。 当它以初角速度当它以初角速度0 0转动时，由于上下表面受到空气的转动时，由于上下表面受到空气的 摩擦阻力矩的作用，会慢慢停下来，假设空气对盘表面摩擦阻力矩的作用，会慢慢停下来，假设空气对盘表

14、面 任意点附近单位面积上的摩擦力正比于该点处的线速度任意点附近单位面积上的摩擦力正比于该点处的线速度 大小，比例常数为大小，比例常数为k k，求它一共能转多少圈？，求它一共能转多少圈？ 解此题的关键解此题的关键是求出是求出摩擦阻力矩摩擦阻力矩。为此首先要明确摩擦阻力矩。为此首先要明确摩擦阻力矩 有什么特点？有什么特点？ 因为单位面积受到的摩擦阻力，正比于该点处的线速度，所因为单位面积受到的摩擦阻力，正比于该点处的线速度，所 以飞轮转动时，距转轴距离相等的各点处，单位面积的摩擦力以飞轮转动时，距转轴距离相等的各点处，单位面积的摩擦力 大小一样，方向不同，但它们产生的大小一样，方向不同，但它们产生

15、的力矩方向相同力矩方向相同。 转动过程中，由于角速度转动过程中，由于角速度不断变化，所以同一点处摩擦力不断变化，所以同一点处摩擦力 的大小也要随时间变化，是一个的大小也要随时间变化，是一个变力矩变力矩的问题。的问题。 方法：一种是应用转动定律，一种是应用角动量定理。方法：一种是应用转动定律，一种是应用角动量定理。 物理学物理学 第五版第五版方法一：应用转动定律方法一：应用转动定律 r dr f 单位面积元单位面积元所受的摩擦力所受的摩擦力 为：为： rkkf 圆环上所有面元的力矩方向相同，即均圆环上所有面元的力矩方向相同，即均 向里，向里， drrkrdrrrkdM 3 22 R drrkdM

16、M 0 3 222 4 Rk 物理学物理学 第五版第五版 由转动定律由转动定律 q q q d d J d d dt d JJM r dr f 4 RkM 2 2 1 mRJ 0 0 2 0 2 q qmddkR 2 0 2 kR m q 22 0 42kR m N q 物理学物理学 第五版第五版方法二、角动量定理 方法二、角动量定理 12 d 2 1 LLtM t t 因为力矩和角动量方向在同一直线因为力矩和角动量方向在同一直线 上，上， 0 0 0JMdt t 4 RkM 0 0 4 JdtkR t 0 24 2 1 qmRkR )(qddt 物理学物理学 第五版第五版 （5） 在自由旋转

17、的水平圆盘边上，站一在自由旋转的水平圆盘边上，站一 质量为质量为 m的人。圆盘的半径为的人。圆盘的半径为R，转动惯量为，转动惯量为 J ，角速度为，角速度为。如果这人由盘边走到盘心，。如果这人由盘边走到盘心， 求角速度的变化及此系统动能的变化。求角速度的变化及此系统动能的变化。 物理学物理学 第五版第五版 + = J 2 Rm J E k = E k E k = 2 Rm J 2 1 =J +J () 2 Rm 2 J 2 2 = 2 1 J + J 2 Rm2() 2 Rm 解：系统角动量守恒解：系统角动量守恒 +=J() 2 RmJ(1) 2 1 = +J () 2 Rm 2 J 2 (2

18、) 2 1 = J 2 E k 物理学物理学 第五版第五版 （6） 在半径为在半径为R1、质量为、质量为 m 的静止水的静止水 平圆盘上，站一质量为平圆盘上，站一质量为 m 的人。圆盘可无摩的人。圆盘可无摩 擦地绕通过圆盘中心的竖直轴转动。当这人擦地绕通过圆盘中心的竖直轴转动。当这人 开始沿着与圆盘同心，半径为开始沿着与圆盘同心，半径为R2（R1）的）的 圆周匀速地走动时，设圆周匀速地走动时，设 他相对于圆盘的速度为他相对于圆盘的速度为 v，问圆盘将以多大的，问圆盘将以多大的 角速度旋转？角速度旋转？ R 1R 2 物理学物理学 第五版第五版 = R 2 v 人对盘的角速度人对盘的角速度 盘对

19、地的角速度盘对地的角速度 由角动量守恒得：由角动量守恒得： 0+=R2 2 mJ += R 2 + v 人对地的角速度人对地的角速度 RJ 1 2 2 1 = m 解：解： 0 =R1 2 2 1 m +R2 2 m R 2 + v () = R 1 2 2 1 m + R 2 mv R 2 2 m = R 1 2 2 + R 2v R 2 2 2 R 1 R 2 物理学物理学 第五版第五版 （7）在一半径为）在一半径为 R、质量为、质量为m的水平圆的水平圆 盘的边上，站着一个质量为盘的边上，站着一个质量为 m的人。这圆的人。这圆 盘可绕通过中心的竖直轴转动，转轴与轴承盘可绕通过中心的竖直轴转

20、动，转轴与轴承 之间的摩擦阻力可忽略不计。当人沿盘的边之间的摩擦阻力可忽略不计。当人沿盘的边 缘走一周回到盘上原缘走一周回到盘上原 有位置时，这圆盘将有位置时，这圆盘将 转过多大的角度？转过多大的角度？ R m m 物理学物理学 第五版第五版 盘对地的角速度盘对地的角速度 由角动量守恒得：由角动量守恒得： 0+=R 2 mJ RJ 2 2 1 = m 解：解： = R v 人对盘的角速度人对盘的角速度r 0 =R 2 2 1 m +R 2 m R + v () r += R + v 人对地的角速度人对地的角速度 r = R 2 2 1 m + Rmv R 2 m r R m m = R 2 1

21、 m + m v m r () 物理学物理学 第五版第五版 t由题意在由题意在 时间内，人相对盘转过的角度为：时间内，人相对盘转过的角度为： r = R2m+ m v m() R r v 2 = 2m+ m m() 4 r q qt= = R+ m v m() t 2m t在在时间内，盘相对地转过的角度为：时间内，盘相对地转过的角度为： R = r v t 2 R = t r v t2q q= 物理学物理学 第五版第五版 （8）如图所示，转台绕中心竖直轴以角）如图所示，转台绕中心竖直轴以角 速度速度 作匀速转动。转台对该轴的转动惯量作匀速转动。转台对该轴的转动惯量 J = 51O-5 kg.m

22、。现有砂粒以。现有砂粒以 1 g/s 的速的速 度落到转台，并粘在台面形成一半径度落到转台，并粘在台面形成一半径 r =0.1 m的圆。试求砂粒落到转台，使转台角速度的圆。试求砂粒落到转台，使转台角速度 变为变为0/2所花的时间。所花的时间。 0 物理学物理学 第五版第五版 J 2 2 1 + =()0 J Jmr 0 = mdtd t m 2 J rmdtd = 510-5 110-30.1 2 () 5s 0 0= 2 2 1 Jm 2 1 r = J510-5kg.m2 1 m -3d = td 10kg/s 已知：已知： 解：由角动量守恒解：由角动量守恒 2= J m r 0 r 物理

23、学物理学 第五版第五版 （9） 飞轮的质量为飞轮的质量为60kg，直径为，直径为0.50m， 转速为转速为1000rmin，现要求在，现要求在 5s内使其制内使其制 动，求制动力动，求制动力 F ,假定闸瓦与飞轮之间的摩擦假定闸瓦与飞轮之间的摩擦 系数系数= 0.4，飞轮的质量全部分布在轮的外，飞轮的质量全部分布在轮的外 周上。尺寸如图所示。周上。尺寸如图所示。 F d 闸瓦闸瓦 0.5m0.75m 物理学物理学 第五版第五版 =3.75kg.m2 0t= 1000 60 n = 202 =104.7 r/s 5t= = 0 f N F N f l1l2 RJm 2 = = 60 (0.25)2 解：解： 104.7 20.9 r/s2 5 0 t = 0 l1+=()Fl2N l10 =RJf =NR l1 = F l1+ l2 R J = 314N = N R J 物理学物理学 第五版第五版 （10）如图，滑轮的转动惯量）如图，滑轮的转动惯量 J= 0.5kg m2，半径，半径 r =30cm，弹簧的劲度系数为，弹簧的劲度系数为 k = 20 N/m，重物的质量，重物的质量 m =2.0 kg。当此滑。当此滑 轮一重物系统从静止开始启动，开始时弹簧轮一重物系统从静止开始启动，开