数列的递推与通项练习题

1、1.若数列an中,务2,an2.若数列an中,a12,an3.若数列an中,a12,an4.若数列an中,a11,an1 an 2，则 an an右，则an 数列的递推与通项(一)1 an ，则 an。2i an 2n，贝V aioo的值是5已知数列 an满足an 1a1才且a1 1，又bn二,(1 )求证：bn是等差数列；(2)求an的表达式。6已知数列 an满足an 12an1 且 a11，又 bn an 1,(1 ) 求证：bn是等比数列；(2)求an的表达式。7已知数列 an满足an 1 3an2an 1 (n 2)且1, a23，又 bnan 1 an，(1)求证：bn是等差数列；(

2、2)求an的表达式。1，求an和Sn的表达式。&已知数列 an满足an 1 Sn (n 1)且a19已知数列an中，Sn表示数列的前n项和，满足SnSn 12Sn 11(n2)且 a11，求 an的通项公式an。10 已知数列an满足Sn11* .设函数y2x x nx2 1(n N*)的最小值为an，最大值为bn，又Cn 4anbn，求和:SnC1 C2C2 C3C3 C41(求函数的值域)Cn=4n-1cn cn 1(二)考点一：已知数列相邻两项的递推关系，求数列的通项公式 1例 1.已知数列an中a11 ,an an 1 (n 2)，求 .n n变式 1.数列an中a1 1,nan1n

3、1 an 1(n 1),求 an.变式 2.数列an中 a1 2,an 1 2% 3g2n( n 1),求务.1例 2.数列a.中 a12 an 1(12)(n2),求 a.n(n 1)an 1 (n2)则 an 的通项 an变式.已知数列 an，满足a1=1, an a1 2a2 3a3例3.已知数列an满足a 1,an 12an 1(n N ).求数列an的通项公式;例4.变式.已知数列 an中，a1丄，2an 12设ao为常数，且an 3n 1ai2an i(n例5.在数列an中，印 2，an1anan n .求数列an的通项；求ann 1 (2)2n(n N )，其中 0.求数列an的

4、通项公式；例6.在数列an中，a11,an 1ain 12na(I)设bn勺，求数列bn的通项公式； n(II)求数列an的前n项和Sn例7已知数列an的首项ai，an 13an2an 1,n i,2,L .求a.的通项公式;变式1 .已知数列an满足aan 1 anan 12an，求数列an的通项公式.例8. (06江西22)已知数列an满足:3a1 =2n2玄甘+ n12，n N )，求数列an的通项公式;a变式1.在数列an中，a1=1，an+1=，求1 nanan.例9。(10全国)已知数列an中，a11,an11can5.设 c -,b21，求数列bn的an 2通项公式。变式2.已知

5、a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中(1)证明数列 lg(1+an)是等比数列；求数列an的通项;变式3.已知数列an满足：a1 0,an 1 an 1 2 an 1，则an 考点二：已知数列相邻三项的递推关系，求数列的通项公式例1. (06福建22)已知数列an满足a113,an23an12a“(nN*).求数列an的通项公式；、552*变式1:已知数列 an满足a1 1,a2, an 2an 1 an (n N ).求a*333例2.设数列an的前n项和为Sn,已知a11,Sn14an2(II)求数列an的通项公式(I)设bn am 2an，证明数列g是等

6、比数列;高考递推数列题型分类归纳解析(三)类型 的通项an类型3 an 1 pan q (其中p，q均为常数，(pq(p 1)0)。解法(待定系数法)：把原递推公式转化为：an 1 t p(an t)，其中t ，再利用 换元法转化为等比1 p数列求解。例：已知数列an中，a11， an 1 2an 3，求an.变式：(2006，重庆,文,14)在数列an中，若a11耳12%3(n1)，则该数列的通项a.变式：(2006.福建理22.本小题满分14分)已知数列 an满足a11,an 12an1(nN ).(I) 求数列 an的通项公式；(II) 若数列bn满足4b1 14b2 1L 4bn 1

7、(an 1)bn(n N*),证明：数列bn是等差数列； an 1 an f(n)解法：把原递推公式转化为例1.已知数列an满足a1an ，求 an。n n变式:已知数列an中a11，且 a2k=a2k-1+( 1)K,a2k+1=a2k+3k,其中 k=1,2,3.(I)求a3, a5；(II) 求 an的通项公式类型 2 an 1 f (n)an解法：把原递推公式转化为an 1f (n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1：已知数列an例2：已知a12，an33n 1a n 1 a n (n3n 2满足a1 an，求 an。n 11)，求 an。变式：(2004，全国I,理 15.)已知数

8、列an，满足 a1=1，ana1 2a23a3(n 1)an 1 (n2)，则anan 1 anf (n)，利用累加法(逐差相加法)求解。（川）证明：2123aa?a?a3电 (n N*).an 12类型 4 an ipanqn （其中p, q 均为常数，(pq(p 1)(q 1)0)。(或 an i pan rqn，其中P,q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边 同除以qn 1，得：q引入辅助数列bn （其中bn得：bn 1 bn 1再待定系数法解决。q q5 ii例:已知数列 an 中，ai 5,an i-an （-）n 16 32变式：（2006，全国I,理22,本小题满分

9、12分），求 an。4设数列an的前n项的和Snan3n 1,2,3,ggg（i）求首项印与通项an ； （n）设TnS1,2,3,g0，证明:Tii 1类型5递推公式为an 2 pan 1 qan (其中 p，q均为常数）。解法一（待定系数法）:先把原递推公式转化为ansan i t(an 1san)其中s, t满足sst解法二（特征根法）：对于由递推公式an 2pan i qan ，ai , a2给出的数列an方程2小x pX q 0 ,叫做数列 an的特征方程。若XX2是特征方程的两个根，当XiX2时，数列 an的通项为an Ax： iBx； i ,其中 a ,B由ai,a2决定(即把

10、ai,a2,Xi,X2 和 n 1,2 ,代入an Ax； 1 Bx2i，得到关于A、 B的方程组）；当Xin 1X2时，数列an的通项为an （A Bn冈，其中A , B由ai,a2决定（即把ai,a2,Xi,X2 和1,2，代入an（A Bn）x； 1，得到关于A、B的方程组）。解法一（待定系数迭加法）数列 an : 3an 2 5an 1 2an0(n0,n N),aia,a2 b，求数列 an的通项公式。例:已知数列an中，ai 1 ,a22,an2 12 3ani 3an，求 an。变式:1已知数列 an 满足 ai 1,a2 3,an 2 3an 1 2an(n N ).(I)证明

11、：数列an 1 an是等比数列；(II)求数列 an的通项公式；(III )若数列bn满足4b1才2 l.4bn 1 (an 1)bn(n N*),证明0是等差数列2 12. 已知数列 an 中，a1 1, a2 2, an 2an 1，求 a*3 33. 已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn1 4an 2(n 1,2,L ),a1 1，设数列bnan 12an (n 1,2,)，求证：数列bn是等比数列;aan的通项公式及前n项和。设数列cnn, (n 1,2,)，求证：数列cn是等差数列；求数列2类型6递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn f (an)解法：这种类型一般利用 aS1

12、SnSn 1(n 1与 an Sn(n 2)Sn 1f(an) f(an1)消去 Sn (n 2)或与 Snf (Sn Sn 1) (n2)消去an进行求解。例：已知数列an前n项和Sn 4an1尹.(1)求an 1与an的关系;(2)求通项公式(2)应用类型4( an 1panqn(其中p，q均为常数，(pq(P1)(q1)0)的方法，上式两边同乘以2n1 得：2n1am 2nan由a1.于是数列2nan是以2为首项，2为公差的等差数列，所以2nann2n 1(2006，陕西，理,20本小题满分12分)2 2(n 1) 2nan变式：已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5a

13、n+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an 变式：(2005,江西，文,22 .本小题满分14分)1已知数列an的前n项和Sn满足Sn Sn-2=3() n 3),且S11,S223,求数列an的通项公式.2类型 7 an 1 pan an b (p 1、0,a 0)y p(an xn y)，与已知递推解法：这种类型一般利用待定系数法 构造等比数列，即令an 1 x(n 1)式比较，解出 x, y,从而转化为 an xn y是公比为p的等比数列。2n 1,(n2)，求 a.例:设数列 an : a14, an 3an 1变式：(2006，山东，文,22,本小题满分14分)1an

14、中，a1 、点(n、2a2已知数列n 1an)在直线y=x上，其中n=1,2,3(I )令 bnan 1 an 3,求证数列bn是等比数列;(n)求数列an的通项;(川)设Sn、Tn分别为数列an、bn的前n项和,是否存在实数,使得数列一Tn为等差数列若存在试求出不存在，则说明理由.类型8 anr1 Pan(P 0,an 0)解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an 1 pan q，再利用待定系数法求解。例：已知数列 an中，a11,an 1变式：(2005，江西,理,21 .本小题满分1 2 an a12 分)(a 0)，求数列an的通项公式已知数列an的各项都是正数，且满足:a01n

15、1-an(4 an),n N.(1)证明 anan 1 2,n N；(2)求数列a.的通项公式an.变式：(2006,山东,理,22,本小题满分14分)已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中(1)(2)=1 , 2, 3,证明数列 lg(1+an)是等比数列；设 Tn=(1 + a1)(1+ a2)(1+n), 求 Tn 及数列 an的通项;记 bn=an1丁，求幅数列的前项和“证明2Sn+=13Tn 1类型9 anf(n)ang(n)anh(n)解法：这种类型一般是等式两边取倒数 后换元转化为an 1pan q。例：已知数列 3n满足：anan 1,a11

16、，求数列 an的通项公式。3 a n 11变式：(2006，江西，理,22,本大题满分14 分)1已知数列 an满足：a1 = 3，且2十亠n2an-1+ n 12, n N )(1) 求数列 an的通项公式;(2) 证明：对于一切正整数不等式a1 a2 an 2 n!2、若数列的递推公式为 a13丄an 12(n)，则求这个数列的通项公式。an3、已知数列 an满足a11,n 2时，an 1 an 2an 1an，求通项公式。4、已知数列 an满足：anan 13 an 111 ,求数列 an的通项公式。5、若数列 an 中，a1=l, an12anan 2n N，求通项a类型10 an 1

17、pan qran h解法：如果数列an满足下列条件：已知 a1的值且对于n N，都有an 1pan h (其中 p、q、nran为常数，且phqr,r 0,印 一),那么，可作特征方程xrpX q，当特征方程有且仅有一根rx hXo时,则是等差数列；当特征方程有两个相异的根an X0x1、x2时，则an为anx2是等比数列。例：已知数列an满足性质：对于n N,anan2an4,且a133,求an的通项公式.例：已知数列an满足：对于nN,都有an 125an 313an()若 a15,求 an; (2)若 a13,求 an； (3)a16,求 an；(4 )当a1取哪些值时，无穷数列an不存

18、在变式：(2005，重庆，文,22,本小题满分12分)数列an满足a11 且 8an1an 16an12an 50(n1).记 bn(n 1).1 an2(I)求 m、b2、b3、b4的值;求数列bn的通项公式及数列anbn的前n项和Sn.类型 11 an 1 anpn q 或 an 1annpq解法：这种类型一般可转化为a2na2n是等差或等比数列求解。例: (l)在数列an中，a1 1, an 1 6n ，求 a“(ll)在数列a“中，a1 1耳玄“ 1 3n，求类型12归纳猜想法解法：数学归纳法变式：(2006，全国II,理,22,本小题满分12分)设数列 an的前n项和为Si,且方程x

19、2 anx an= 0有一根为 Si 1, n= 1, 2, 3,(I)求 a1, a2 ；(n) an的通项公式类型13双数列型 解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。1 1例:已知数列 an 中，a11 ；数列bn中，d 0。当 n 2时，an(2ambn1),bn-(an 12bn1),33求 an, bn.类型14周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。12an,(0 an)例：若数列an满足an 12 6，若ai,贝Ua 20的值为1 72an 1,( an 1)2变式：(2005，湖南,文，5)a/3*已知数列an满足 a10,an 1 _

20、-(n N )，则 a20=()J3an 1B.3C.、3D .三2数列的通项公式与求和(四)1练习 1 数列an的前n项为Sn,且a1 1, an 1 -Sn(n 1,2,3,L)3(1求a2,a3,a4的值及数列a*的通项公式.(2)求a2 a4 La?n练习2数列佝的前n项和记为Sn,已知a11,an1-Sn(n1,2,L ).证明:n(1)数列主是等比数列；n& 1 4an1 *练习3已知数列an的前n项为Sn, Sn-佝 1)(n N )3(1) 求 砂2；(2) 求证:数列an是等比数列.已知数列an满足a11,an 1 an12,求 an.2nn已知数列an满足2,a1, an

21、1nan,求 an3n15已知数列an中,a1561,an 1an3(1)n21,求 an.练习4练习5练习6an 13 an 11a1练习7已知数列an满足:an1,求数列an的通项公式练习8等比数列 %的前n项和Sn= 2n-l,则2a12a22a3练习9求和：5, 55, 555, 5555,9(10n 1)1 11练习10求和：L144 7(3n2) (3n 1)1111 -L练习11求和：1 2 12312 3 L n练习12 设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列,且 a-i bi 1 a3 b521 a5 b313bn的通项公式;(n)求数列 bn的前n项和Snan数列求

22、和习题(五)基本练习1等比数列an的前n项和=2 1,则 a；2 2a2a32an2设 Sn13.1 4(3n2)1(3n 1)4.2?43?514?6(n 1)(n 3)5.数列 1,(12),(12 22),L,(1 2 22 L2n1),L的通项公式an，刖n项和Sn2n 1;的前n项和为1)n(2n 1)，则 Sn提高练习1.数列an满足:a1= 1，且对任意的m.* 1n N 都有：am+n= am+ an + mn,贝Va1a2a3a2008( )4016 A .20092008 B.20092007 C.10042007 D .20082.数列an、bn都是公差为1的等差数列，若

23、其首项满足a1 + b1 = 5, a1b1,a1,b1 n*，则数列 abn前10项的和等于D . 55( )A . 100B. 85C. 703. 设 m=1 x 2+2x 3+3 x 4+(n-1) n,则 m 等于2n(n21)111A.B. n(n+4) C. n(n+5) D. n(n+7)2 2224. 若 3=1-2+3-4+(-1)n-1 n,则 S17+S33 + S 50等于A.1B.-1C.0D.25 .设an为等比数列,bn为等差数列，且b1=0,Cn=an + bn,若数列Cn是1,1,2,则Cn的前10项和为( )A.978B.557C.4676. 1002-992+982-972+ +22-12 的值是A.5000B.5050C.101007.&9.D.979D.20200一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为若 12+22+ +(n-1)2=an3+bn2+cn，则 a=已知等差数列an的首项a1= 1,公差d 0,三、四项.(1)求数列an与bn的通项公式；, b=, c=.且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二、C1C2(2)设数列cn对任意自然数n均有一 一b1b2C3b3bnan 1成立.求