结构力学§4-6_影响线的应用

1、4-6 影响线的应用影响线的应用 1.1.求确定荷载下某量值的大小求确定荷载下某量值的大小 做影响线时，用做影响线时，用F FP P=1=1，可利用影响线求其他荷载下产生的影响。，可利用影响线求其他荷载下产生的影响。 332211 yFyFyFF PPPQC nPnPP yFyFyFZ 2211 一般式：一般式： n i iPi yF 1 设有一组集中荷载FP1、FP2、FP3，加在简支梁，位置如图。如FQC影响线在各荷载 作用点的竖距为y1、 y2、 y3，则由FP1产生的FQC等于FP1 y1，则由FP1产生的FQC等 于FP2 y2，则由FP3产生的FQC等于FP3 y3。则在这组荷载作

2、用下FQC的数值为： （2）均布荷载作用）均布荷载作用 0 qAydxqyqdxZ B A B A 均布荷载引起的均布荷载引起的Z值等于荷值等于荷 载集度乘以受载段的影响载集度乘以受载段的影响 线面积线面积（注意正负号）（注意正负号）。 例例11 简支梁全跨受均布荷载作用，求简支梁全跨受均布荷载作用，求FQC的数值。的数值。 21 AAqFQC 2 3 1 2 1 4 3 2 2 1 20 kN20 解：解： 注意负号注意负号 Aii YP yqA A M204102 1 444132kN m 2 例例22 试作梁的试作梁的YA 、 、MA、 FQB的影响线，并利用影的影响线，并利用影 响线计

3、算在图示荷载作用响线计算在图示荷载作用 下的下的YA 、 、MA、 FQB值。 值。 201100.5441 41kN QB F201100.5 25kN 左左 解：解： QB F100.55kN 右右 截面在截面在“从结构从结构”上上 截面在截面在“主结构主结构”上上 2. 求荷载的最不利位置求荷载的最不利位置 最不利位置：最不利位置：如果荷载移动到某个位置，使某量如果荷载移动到某个位置，使某量Z达到最大达到最大 (绝对绝对)值，则此荷载位置称为最不利位置。值，则此荷载位置称为最不利位置。 一般原则：一般原则：应当把数量大、排列密的荷载放在影响线竖距应当把数量大、排列密的荷载放在影响线竖距

4、较大的部位。较大的部位。 理由是：理由是： n i iPi yFZ 1 (1) 移动荷载是单个集中力时移动荷载是单个集中力时最不利位置是这个集中最不利位置是这个集中 荷载作用在影响线的竖距最大处；荷载作用在影响线的竖距最大处； (2) 移动荷载是一组集中力时移动荷载是一组集中力时最不利位置是必有一个最不利位置是必有一个 大的集中力作用在影响线的顶点；大的集中力作用在影响线的顶点； 2. 求荷载的最不利位置求荷载的最不利位置 （3）如移动荷载是均布荷载，且可按任意方式分布，则）如移动荷载是均布荷载，且可按任意方式分布，则 最不利位置是在影响线正号部分布满荷载最不利位置是在影响线正号部分布满荷载(

5、求最大正求最大正 号值号值)，或者在负号部分布满荷载，或者在负号部分布满荷载(求最大负号值求最大负号值)。 例例4-5 图示为两台吊车的轮压和轮距，试求吊车梁图示为两台吊车的轮压和轮距，试求吊车梁 AB在截面在截面C的最大正剪力。的最大正剪力。 要使要使FQC为最大正号剪力，首先，荷载应放在为最大正号剪力，首先，荷载应放在FQC影响线的正号部分。影响线的正号部分。 其次应将排列较密的荷载（中间两个轮压）放在影响系数较大的部位其次应将排列较密的荷载（中间两个轮压）放在影响系数较大的部位 (荷载荷载435kN放在放在C点的右侧点的右侧)。图。图b所示为荷载最不利位置。求得：所示为荷载最不利位置。求

6、得： FQCmax=FP1y1+FP2y2=435kN*0.667+295kN*0.425=415kN 例例4-6 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载q=20kN/m作用，荷载可以作用，荷载可以 任意布置，求任意布置，求FQC的最大正号值和最大负号值。的最大正号值和最大负号值。 荷载布满荷载布满CB段时段时 kN mmkN qAF CBQC 7 .26 3 4 /20 max 荷载布满荷载布满AC段时段时 kN mmkNqAF ACQC 67. 6 3 1 /20 min (AC段空段空) (CB段空段空) FQC的最大正号值的最大正号值 FQC的最大负号值的最大负号值 3. 临界位置的判定临界

7、位置的判定针对影响线为多边形的情况针对影响线为多边形的情况 如移动荷载是一组集中力，如移动荷载是一组集中力，要确定某量要确定某量Z的最不利位的最不利位 置，通常分成两步进行：置，通常分成两步进行： v 求出使求出使Z达到极值的荷载位置，即临界位置达到极值的荷载位置，即临界位置; v 从荷载的临界位置中选出荷载的最不利位置，从荷载的临界位置中选出荷载的最不利位置， 也就是从极值中选出最值。也就是从极值中选出最值。 以多边形为例，说明荷载临界位置的特点及其判定方法以多边形为例，说明荷载临界位置的特点及其判定方法 图示为一组集中荷载，荷载运动时其间距和数值保持不变。某量Z的影响线为一 多边形。各边的

8、倾角以1，2， 3 表示(其中1，2为正， 3 为负)。各 边区间内荷载的合力用FR1 ,FR2 ,FR3表示。按各边区间内荷载的合力计算得： 3 1 332211 i iRiRRR yFyFyFyFZ 荷载右移荷载右移 x( (右移为正）右移为正）： ii xy tan 3 1 tan i iRi FxZ Z增量：增量： 显然，使显然，使Z成为极大值的临界位成为极大值的临界位 置，必须满足条件：荷载自临界置，必须满足条件：荷载自临界 位置向右或向左移动时，位置向右或向左移动时，Z值均值均 应减少或等于零。即应减少或等于零。即 .即：即： 以多边形为例，说明荷载临界位置的特点及其判定方法以多边

9、形为例，说明荷载临界位置的特点及其判定方法 可分为两种情况：可分为两种情况： 同理，使同理，使Z成为极小值的临界条件，需满足：成为极小值的临界条件，需满足： 当当x0时时(荷载稍向右移荷载稍向右移)，x FRitani 0 当当x0时时(荷载稍向右移荷载稍向右移)，x FRitani 0 当当x0时时(荷载稍向左移荷载稍向左移)，x FRitani 0 当当FRitani 0时，如果时，如果Z为极值，在荷载稍向左、右移动时，为极值，在荷载稍向左、右移动时， FRitani 必须变号必须变号 分析：分析：1. tani是影响线中各段直线的斜率，为常数，是影响线中各段直线的斜率，为常数， 2. 要

10、使要使 FRitani 变号，只有各段合力变号，只有各段合力FRi改变数值。改变数值。 3. 整个荷载稍向左右移动时，整个荷载稍向左右移动时，要使要使 FRi改变数值，则在临界位置中改变数值，则在临界位置中 必须有一个集中荷载正好作用于影响线的顶点。必须有一个集中荷载正好作用于影响线的顶点。 4. 总之，当荷载稍向左右移动时，一个集中荷载作用于影响线的顶点是总之，当荷载稍向左右移动时，一个集中荷载作用于影响线的顶点是 FRitani 变号的必要条件（但不是充分条件）变号的必要条件（但不是充分条件） 归纳起来，确定荷载最不利位置的步骤如下：归纳起来，确定荷载最不利位置的步骤如下： 从荷载中选定一

11、个集中荷载，使它作用于影响线的一个顶点。从荷载中选定一个集中荷载，使它作用于影响线的一个顶点。 当此集中荷载在该顶点稍左或稍右时，计算当此集中荷载在该顶点稍左或稍右时，计算 变号，则为临界位置；若不变号，则不是临界位置。变号，则为临界位置；若不变号，则不是临界位置。 iRi tanF 符合临界条件的可能有多个，对每个临界位置可求出符合临界条件的可能有多个，对每个临界位置可求出Z 的的 一个极值，从中选出最值，一个极值，从中选出最值， 其对应的位置即为最不利位置。其对应的位置即为最不利位置。 例例3 图图a为一组移动荷载，图为一组移动荷载，图b为某量的影响线。试求荷载最为某量的影响线。试求荷载最

12、 不利位置和不利位置和Z的最大值。已知的最大值。已知FP1= FP2= FP3= FP4= FP5=90kN， q=37.8kN/m。 解：解： 1) 设想将设想将FP4放在影响线的最高点放在影响线的最高点 2) 计算计算 iRi tanF 8 1 1 tan 4 250 2 . tan 6 750 3 . tan 假设各段荷载假设各段荷载稍向右移稍向右移，各段荷载合力为，各段荷载合力为 kNkNFR270390 1 kN.mm/kN.kNFR82171837290 2 kN.mm/kN.FR82266837 3 kN. . . . .tanF iRi 28 6 750 8226 4 250

13、8217 8 1 270 假设各段荷载假设各段荷载稍向左移稍向左移，各段荷载合力为，各段荷载合力为 kNkNFR360490 1 kN.mm/kN.kNFR8127183790 2 kN.mm/kN.FR82266837 3 kN F iRi 7 . 8 6 75. 0 8 .226 4 25. 0 8 .127 8 1 360tan iRi tanF 变号变号，故此位置是临界位置。，故此位置是临界位置。 3) 计算计算Z值值 Rii0 ZF yqA 3.556.5 90kN190kN0.90637.8kN / m 888 0.810.750.756m 1m455kN 22 4) 再设想依次将

14、再设想依次将FP5, FP3 , FP2 , FP1放在影响线的最高点，放在影响线的最高点， iRi tanF 不变号。不变号。 计算结果是计算结果是 设设Z的影响线为一三角形。如求的影响线为一三角形。如求Z的极大值，则在临界位置必有一荷载的极大值，则在临界位置必有一荷载FPcr正好在正好在 影响线的顶点上。以影响线的顶点上。以 表示左方荷载的合力；以表示左方荷载的合力；以 表示右方荷载的合力。则有：表示右方荷载的合力。则有： 上式不等式两边可理解为各边的上式不等式两边可理解为各边的“平均荷重平均荷重”。 将将 代入代入 tan c a tan c b RR Pc R r L FFF ab R

15、R L r R Pc FF ab F 结论：对与三角形影响线：临界位置和临界荷载的特点：结论：对与三角形影响线：临界位置和临界荷载的特点： 1.在三角形影响线上，正好有一个集中荷载在三角形影响线上，正好有一个集中荷载FPcr“高踞顶峰高踞顶峰”； 2.这个集中荷载这个集中荷载FPcr正好扮演一个正好扮演一个“举足轻重举足轻重”的角色，它左移则左重，右移则右重。的角色，它左移则左重，右移则右重。 4. 临界位置的判定临界位置的判定针对影响线为三角形的情况针对影响线为三角形的情况 高踞顶峰，举足轻重高踞顶峰，举足轻重 例例7 图示梁图示梁AB，跨度为，跨度为40m，承受汽车车队荷载。试求，承受汽车车队荷载。试求 截面截面C的最大弯矩。的最大弯矩。 解：解： 1) 设汽车车队设汽车车队 向左行向左行 25 200130 15 70 25 200 15 13070 即所试位置是临界位置，即所试位置是临界位置，MC值为值为 mkNm.kNm.kN m.kNm.kNm.kNMC 269438050006100 575038913088670 将轴重将轴重130kN130kN置于置于C C点点 2) 设汽车车队向右设汽车车队向右 行，