整理导数与微分8744

1、精品文档第三章导数与微分一、本章提要1. 基本概念瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分.2. 基本公式基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式.3. 基本方法 利用导数定义求导数；利用导数公式与求导法则求导数；利用复合函数求导法则求导数；隐含数微分法；参数方程微分法；对数求导法；利用微分运算法则求微分或导数.二、要点解析问题1从瞬时速度出发论述导数的实际意义，并列举一些常见变化率解析 对于作变速直线运动的质点，若位移变量s与时间变量t之间的函数关系为s =s(t)，当t从t变化到i t时，在间隔At内的平均速度为s(t M -s(t)，此式只反At映了在

2、t点附近速度变化的快慢程度， 即为t时刻速度的近似代替量， 欲使其过渡到精确值， 必须使：t 0，即t时刻瞬时速度为 v(t)二1.叫S(t ；t) _ S，也即瞬时速度反映函数S二s(t)在t时刻函数的变化率(导数)，所以导数的实际意义表示函数在此点变化的快慢程度.常见的变化率： 曲线y二f(x)的切线斜率dy是纵坐标y对横坐标x的变化率，这是导数的几何dx意义； 电流强度dQ是电荷Q对时间t的变化率；dt 线密度dm是质量m对长度I的变化率；dl 比热容dQ是热量Q对温度B的变化率，d 0以及人口出生率，经济增长率，化学反应速度等等.问题2讨论函数的可导性及如何求函数的导数？解析1.我们知

3、道，函数的连续性只是可导性的必要条件.函数f (x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数fL(x0)与右导数f (x0)存在并且相等，即f(Xo) = f _(Xo) = f . (xo)因此，要判定一个函数在某点是否可导，可先检查函数在该点是否连续，如果不连续，就一 定不可导，如果连续，再用下面两种方法判定：直接用定义；求左、右导数看其是否存在而且相等.当然，也可以不先检查连续性而直接用两种方法判定，但对于不连续函数，先检查连续性往 往比较方便.2.由于在科学技术和工程中所遇到的函数大多是初等函数因此，我们把求初等函数 的导数作为求导的重点.先是根据导数的定义，求出了几个基本初等函数一一幕函

4、数、正弦函数、余弦函数、对数函数与指数函数的导数.然后再用定义推出了几个主要的求导法则一求导的四则运算法则、复合函数的求导法则与反函数的求导法则.借助于这些法则和上述的几个基本初等函数的导数公式，求出了其余的基本初等函数的导数公式.在此基础上解决了基本初等函数的求导问题下面是我们解决这个问题的思路：基本初等函数的导数公式S的定义求导的四则运算法则复合函数的求导法则反函数的求导法则还需指出的是关于分段函数在分界点的求导问题.例如，有一定义于(：，：)的函数f(x)其中(x)与 (x)分别在区间-：:x乞a与a x - ：可导，x=a为其分界点，求f(x) -：:x ： a 时，由于 f(x)=

5、(x)，所以 f(x) = (x); a：x ”血二时，由于 f(x) = (x)，所以 f(x)= (x)； 在x=a的左、右邻域，由于f(x)要从两个不同的表达式(x)与匸(x)去计值,所以求f(a)必须先用左、右导数的定义求f_(a)与f .(a) 如果它们都存在而且相等,那么f (a)= f_(a)= f(a) 在这里特别注意求左、右导数要按照定义f 一(a):f(a ：x) - f (a)(a ：x) 7 (a)-limlim.X0Lx.Lxf (a):f (a：x) - f (a) (a：x)(a)=limlimSTx0x我们不要因为当-二：:x-a 时，f(x)$r：(x)而认为

6、 f(a) =F:(a).在-:x ： a时，f(x) = (X)是对的，这在上面已经说过但不能误认为(a)就是f(a),有时f(a)可能不存在，如下例所示: 证明函数f(x)= x2x,在x =1处的导数不存在. 因为f (1. ：x) - f (1)2(1. ：x) -1=lim x0_xTm0,1 -1f (1) = lim f(j ：x) f(1)= lim -r x4)o+Axlx7mo(1 -1，精品文档所以f(1)不存在.问题3为什么说复合函数求导法是函数求导的核心？复合函数求导法的关键是什么？解析复合函数求导法是函数求导的核心在于：利用复合函数求导法可以解决复合函 数的求导问题

7、，而且还是隐含数求导法、对数求导法、参数方程求导法等的基础.复合函数求导法的关键是： 将一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合形 式在分解过程中关键是正确的设置中间变量，就是由表及里一步步地设置中间变量，使分 解后的函数成为基本初等函数或易于求导的初等函数，最后逐一求导.求导时要分清是对中间变量还是对自变量求导，对中间变量求导后，切记要乘以该中间变量对下一个中间变量(或自变量)的导数当熟练掌握该方法后，函数分解过程可不必写出.例 1 设 y = In sin2(1 x)，求 y.解 令y=l nu, u二v2, v二si nw , w = 1. x，由复合函数求导法则有y = yu

8、uv vw wx =(ln u)u (v2)v (sin w)w (1 x).1c“1、1o .11“1、212v cow ( 亍)2s i n c o s (2)2 c 0七,ux . 2 1 x x x x xs i n x如果不写中间变量，可简写成(sin2 丄人=sin21 2sin - (sin-)xxx x x1、， 1y x =(lnsin 人：x . 2 1 sin 一x1111.2 12si ncos-()xxxxsin -x1 111212 sin - .2 1xsincos-(-2) - 2cot-xxxxx在相当熟练之后，可进一步简写成2 1 1 111 2 1yx=(

9、ln sin -)x2si n cos ( 2)2c ot .x. 2 1x x x x xs i n x问题4 微分概念在实际应用中有何实际意义？微分与导数有何区别？解析 微分概念的产生是解决实际问题的需要.计算函数的增量是科学技术和工程中经常遇到的问题，有时由于函数比较复杂，计算增量往往感到困难，希望有一个比较简单的方法.对可导函数类我们有一个近似计算方法，那就是用微分dy去近似代替：.y ,根据函数的微分定义知dy 二 f (x)dx (dx = ：x)是函数增量y = f (x) ：x o( ：x)的线性主部，它有两个性质：(1) dy是二x的线性函数；(2) 也y与dy之差是Ax的高

10、阶无穷小(当 Axt 0).正是由于性质(1),计算A y的近似值dy是比较方便的，同时由于性质(2), 当 |Ax很小时，近似程度也是较好的因此， 一些科学工作者、工程师以及在实际工作中必须同函数的增量：y或导数史打交道的人，dx在自己所要求的精确范围内，往往就用微分dy去代替增量 冷，用差商卫 代替导数.xdx微分还有一个重要性质，就是微分形式不变性，即不论是一个自变量还是一个变量的函数，y二f (u)的微分dy二f(u)du这一形式不变需要说明一点是：当u为自变量时，作为定义，du二u ；当u是另一个变量的函数时，du、：u .微分与导数是两个不同的概念.微分是由于函数的自变量发生变化而

11、引起的函数变化量的近似值，而导数则是函数在一点处的变化率对于一个给定的函数来说，它的微分跟x与x都有关，而导数只与 x有关因为微分具有形式不变性，所以提到微分可以不说明是关 于哪个变量的微分，但提到导数必须说清是对哪个变量的导数.三、例题精解例2 若f (X)在点x0处可导，求f (x。川二h) f (x。冷)h解 因为f (x)在点x0处可导，所以m.,Hhf(X。h) 一 f(x。)hf(Xo)f(X。： h) 一 f(X。一 冷)h二 lhmootf(X。 ： h) - f(X。) : f(X。-： h) - f (x。)ah-Phh,f(x。)f(x。)Jf(x。)eXx 兰。例3 设

12、f(x) =当a,b为何值时，f (x)在x = O处连续且可导a + bx, x 0,解 因为 lim f (x)二 lim ex 二 1, lim f (x)二 lim (a bx) = a ,xj Q。X P X -fl 所以欲使f (X)在X二。处连续，须有lim f (x) = lim f (x) = f (0)， X。X -fl 由此解得a = 1，又fwpm f(x) f(。)Xe -1彳=lim1,X刃_ xf(0) = lim-f(x)一f(0)X。.= limS=b ,X j。. x要使f (。)存在，则b =1 故当a = b = 1时，f (x)在x二0处连续且可导.例

13、4 设函数 (u)可微，求函数y=l (sin x) (sin x) cosx2(sin x) (si n x)的微分dy .1解一 因为 y=22(sin x) = (sinx)cosx，所以dydx.甲(sin x)解二由一阶微分形式不变性得dyd 2(si x)2 (s i w)d ( s i x)(s i w)(sin)2(sin x)少 x) (sinx)d(sinx)/ Wnx(sinx)cosxdx . (sin x)例 5 设 f(x)=s inxsin 3xs in5x，求 f (0).解一利用乘积求导法则f(x) = coxsir3xsir5x 3sirxco3xsir5x

14、 5sirxsir3xcox.继续用乘积求导法则求导得f(x)二-35sin xsin 3xsin 5x 30sin xcos3xsin 5xlOcosxsin3xcos5x 6cosxcos3xsin5x，所以所以解二对函数先用和差化积公式得1f (x)二 sinxsin3xsin5x =(?)sinx(cos2x-cos8x)-sinx sin3x sin 7x -sin9x),解三为偶函数,f(x)二-cosx 3cos3x 7cos7x - 9cos9x),f (x(-)(sin x -9sin 3x -49sin7x 81sin9x), 4f (OHO.利用“可导的奇(偶)函数的导数

15、为偶(奇)函数” 由f (x)为奇函数知f(x)f(x)为奇函数,又因为奇函数在x = 0处函数值为零，知f(0)=0.f(0) =0 .比较上述方法知解三较优例6已知摆线的参数方程广ox=a(t -sint),求 d y =a(1 cost),dx2dydxs i rt1 - c o s 解一利用参数方程求导法求导 a(1 -cost)a(t - si nt)sin tdx2dx dxdx(1 -cost)2a(1 - cost)-12a(1 - c o s)解二利用导数为微分之商求得dydxs i rta s i rtdta(1 -co s)dt 1 -c o sd2ydx2dy (1 -

16、cots)cosdt dL(1 - cos)2dxs i rls i rldta(1 _ c o s)dt-1dt 1-costcost(1-cost)-sirtsirt求由y x二X y确定的y二f (x)在1,1处的切线方程解方程两边取对数，得In x In y，即 x lr x = y Ir y ， y x方程两边对x求导得11曰,1+I nx疋，y :1 +1 n y所以，切线方程为例8设有一深为In x x _ = y In y y y，xyy = 1y (1,1)-y -1 = x -1，即 y -x = 0 .18cm，顶部直径为12cm的正圆锥形漏斗装满水，下面接一直径为10c

17、m的圆柱形水桶(如图所示)，水由漏斗流入桶内，当漏斗中水深为12cm,水面下降速度为1cm/s时，求桶中水面上升的速度.解 设在时刻t漏斗中水面的高度 h = h(t)，漏斗在高为h(t)处的截面半径为r(t)，桶中水面高度H =H (t).建立变量h与H的关系，r2(t)h(t) 52 姑=63由于在任意时刻t,漏斗中的水与水桶中的水量之和应等于开始时装满漏斗的总水量, 则冗,又因罟叮，所以r(t)h，代入上式得n 33()h3(t) 25dH(t) =63 nh(t)与H(t)之间的关系将上式两边对t求导得所以(t)h(t)25nH(t) =0,H(t) =h2(t)一 9 25h(t)，

18、f(x)为偶(奇)(V )由已知，当h(t) = 12cm时，h(t) - -1cms，代入上式得H(t)八95(-iH1|(cms)，9 x 2525因此，当漏斗中水深为 12cm，水面下降速度为1cm s时,16桶中水面上升速度为cms .25四、练习题1.判断正误 若函数y = f (x)在点xo处可导，则f (x)在点xo处一定可导；(x )解析函数在一点可导的充要条件是函数在该点的左右导数存在并且相等如函数,| 一x,x v0 ,f(x) = x在x = 0处可导，而 f (x) = x =丿在x = 0处左右导数存在但不相x , x 色 0等，所以f (x)在x=0处不可导.若f

19、(x)在点X0处可导，则f (x)在点X0处一定可导；(X )“一1 X 0解析f (x)在一点可导，f (x)在该点不一定可导.如函数 f(X)=丿1, X K 0 ,f(x) =1在x =0处可导，但f (x)在x = 0处却不可导.初等函数在其定义域内一定可导；(X )解析 初等函数在其定义区间内连续，但连续不一定可导如函数y m；x2是初等函数，其定义区间为，但y二x2二x在x = 0点处却不可导.若y二f (x)在(-a,a)可导且为奇(偶)函数，则在该区间内,函数；精品文档解析 若y二f(x)为奇函数，即f(_x)=-f(x)，则由导数定义f(x)pmf(xf(-x)LX所以f(x

20、)为偶函数.f(x-.：.x)f(x)Axf x 亠 i、x L f (x)-Ax二 f (x),若y二f (x)为偶函数，即f(-x)二f (x)，则由导数定义f (-X =x) - f ( -X) f (一x)二 lim2ixf(x Ax)f(x) =lim.x0Axf lx+(山Xf (x)=lim.jo-1-f (x)，所以f(x)为奇函数.若y二f (x)在点xo处可微，则f (x)在点xo处也一定可导 解析 因为函数在一点处可微和可导是等价的，所以命题正确2.选择题 y =|x -1 在 x =1 处(A )；(A)连续；(B)不连续；(C)可导； (D)可微.LX 一 1, X

21、色 1,解析 y = x _1 =丿1 X,X 1,xm_f(x)=卵1 -X)=0,四+f(X)巳卅 -1)=0，所以 xmf(X)=0，且f (1) =0，则lim f (x) = f (1)，所以函数y = x T在x =1处连续; xT另一方面,f =|mf(1心xf( X) -f(1)f (1) = X1叫lim=1,*0. X左右导数存在但不相等，所以函数y =|x -1在x =1处不可导，也不可微.X精品文档精品文档y =xx(x . 0)的导数为(D );(A) xxxl；(B) xx ln X ；(C) xxxJ xx ln X ;(D) xx(ln x 1).精品文档解析

22、y二xx二exlnx，由复合函数求导法x(ln x 1).y = exln X(x) In x x(ln x) = exln x(ln x 1) = x1下列函数中(A )的导数等于(；)sin2x ；1 2 1 1(A) q)sin x ；( B) (g)cos2x；(C) g)sin2x ；(D)1 2 * 1 -(A) ( )sin x 2sinx sinx(丄)cos2 X .2解析=sinx cosx Jsin2x2(B)(C)(D)(1) cos2x二 sin2x2x - -sin2x，(1) sin 2x二 1 cos2x 2x 二 cos2x，1 2 1 1 ()cos x 2

23、cosx cosx 二-cosx sinxsin2x .2 2 2若f(U)可导，且 y = f (e )，则有(B )；(A) dy=f(ex)dx；(B) dy = f(ex)exdx ；(C) dy = f (ex)exdx ；(D) dy = f (ex)exdx .解析 y = f(eX)可以看作由y = f (u)和u = e*复合而成的复合函数由复合函数求导法y丄f (u) ex二f (u) ex,所以dy =ydx =f(ex)exdx .已知y = sin x，贝H y(10) = ( c).(A)sinx ；( B) cosx ；(C)-sinx ；(D) - cosx .

24、解一y = s i nx，贝U y = cosx ,y = sin x , y =-cosx , y=sin X，依次类推，可知 y(8) =sinx，所以 y(10) - -sinx .解二(s i rx )n)=s in X +号 n，所以(sin x )(1)=si n(x + 5 n = s in x .3.填空题 曲线y = ln x上点(1,0)处的切线方程为y = x -1；* 1解 曲线在(1,0)点的切线斜率为yx=(lnx)=-=1,X-Xx X4所以曲线y = ln x在(1,0)点处的切线方程为y = x 一 1 作变速直线运动物体的运动方程为s(t)二t2 2t，则其

25、运动速度为v(t)=2t 2，加速度为a(t)二 2；解 已知变速直线运动的速度是位移的变化率，加速度是速度的变化率，则有运动速度为v(t) =s(t) =(t22t) =2t 2，加速度为a(t) =v(t) =(2t2/-2 已知 f(3) = 2，则 lim 仁3旳- f(3) =-1；口0i72h.f(3-h)-f(3)f3 (h)】-f(3)l i mlimh-02hh_01 ,=(?) f(3)=(?) 2=1.(弓(由导数定义) dln(1x) = dx ；f sin 以)cosVx 解 dln 1 + x)】 =n(1+x)】dx -f g (x)H f =ex x若f (u)

26、 可导，则y = f (sin . x)的导数为= f(sinx)由y=f(u), u=s inv, v复合而成，由复合函数求导法,y = f (u) u (v) v(x)二 f (u)cosv 2x二 f (sin、:x) cos以 一I 2Jx4.解答题设 f (x) =ex,g(x) =l nx，求 flg(x)】；f (x) = ex= ex,g (x) = Inx所以已知f (x) =72 . 1x sin ,x0,x = 0,求 f(x);x = 0 ,2 1 ， 1 2 11 1 1 解 x = 0时，f(x) =(x2sin ) =2x sinx2 cos(2) =2xsincoa ,xxx x一 x 2 sin丄x时，f(0)=lim2f(0 x) f(0) = |im0=lim lx sin 丄40x=0,所以f(x) =2xs叱.11c-cos, x = 0 ,xx0,x = 0 .求曲线x22y -2x 3y 2