最新解三角形完整讲义

1、精品文档正余弦定理知识要点:1、正弦定理asin Absin Bcsin C2R或变形:a:b: c sin A:sin B:sin C .2、余弦定理:cosA2 ab22 c2bccosAb22 a2 c2accosB 或cosB2 cb22 a2ba cosCcosCb22 c2 a2bc222acb2ac222bac2ab精品文档3、解斜三角形的常规思维方法是：(1 )已知两角和一边(如 A、B C),由A+B+C = n求 C,由正弦定理求 a、b；(2) 已知两边和夹角(如 a、b、c)，应用余弦定理求 c边；再应用正弦定理先求较短边所 对的角，然后利用 A+B+C = n求另一角

2、；(3) 已知两边和其中一边的对角(如a、b、A),应用正弦定理求 B,由A+B+C = n求C, 再由正弦定理或余弦定理求 c边，要注意解可能有多种情况；(4) 已知三边a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由A+B+C = n求角C。4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定 理及几何作图来帮助理解”。6、 已知三角形两边 a,b,这两边夹角 C,贝U S= 1/2 * absinC7、 三角学中的射影定理：在ABC中，b a cosC c cosA，&两内角与其正弦值：在 AB

3、C中，A Bsin A sinB ,A. cosAsinB 且 cosBsinAC. cosAsinB 且 cosBsinA【例题】在锐角三角形 ABC中，有(B )B. cosAsinB且 cosBsinAD. cosAsinA9、三角形内切圆的半径:2S a b，特别地,精品文档2精品文档专题：公式的直接应用正弦定理1、已知 ABC中，a ,2 , b 、3 , B 60，那么角A等于（A. 135B.90C. 45D. 302、在厶 ABC 中，a= 2、.3,b = 2 2 , B= 45,则 A 等于(CA. 30 B.60C. 60 或 120 D.303、 ABC的内角A B,C

4、的对边分别为a, b, c，若cB 120，则 a等于（）A.6B.D. . 24、已知 ABC中,A 30o, C105, b 8，则a等于A. 4b.4、2C.4.3D.4.55、在 ABC 中，a = 10, B=60,C=45 ,则 c 等于(BA. 103B. 10 3 1C. 3 1D. 10 .一 36、已知 ABC的内角A , B , C所对的边分别为a , b , c，若si nA则a等于7、 ABC 中,45o, C 60,1，则最短边的边长等于（A ）精品文档精品文档1:2, C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，则cosA113A B -C324cos 2 Aco

5、s2B1 19、在 ABC中，证明：2 22T2ab2a b& ABC中，A： BD .0证明:cos2A2acos2Bb21 2si n2A2a1 2sin2 Bb1 1 c sin2 Asin2 B22 . 2 2 . 2a ba b由正弦定理得:sin2 Asin2b2cos2B1b2cos 2 A2a专题：两边之和1、在厶 ABC 中，A = 60, B= 45,12 ,a=(36 12、, 6,12、624 )2、已知 ABC 的周长为,2 1，且 sin A sin B2 sinC -(1)求边AB的长；1(2 )若厶ABC的面积为si nC,求角C的度数.6专题：三角形个数1 A

6、BC中，/ A=60 , a= 6 , b=4,那么满足条件的厶 ABC( C )A有一个解B有两个解C无解D不能确定2、 ABC 中，a=1,b=、3, / A=30，则/ B 等于(B )A. 60B. 60 或 120C. 30。或 150D. 1203、 在 ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是(D )A. b = 10, A = 45, B = 70B. a = 60, c = 48, B = 100C. a = 7, b = 5, A = 80D. a = 14, b = 16, A = 454、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（D ）A. a=1,b=2 ,c=

7、3B. a=1,b= . 2 ，/ A=30C. a=1,b=2, / A=100C. b=c=1, / B=455、 在 ABC中，a= 12, b = 13, C= 60,此三角形的解的情况是（B ）A.无解B. 解C.二解D.不能确定6、满足A=45 ,c=. 6 ,a=2的厶ABC的个数记为 m,则a m的值为（ A ）A. 4B. 2C. 1D.不定7、已知 ABC中，a181,b209, A 121，则此三角形解的情况是无解&在厶ABC中，已知50 .3 , c 150 , B30,则边长a。1oo .3 或 50.3专题：等比叠加1 ABC 中，若 A60o，a3，则sin A等

8、于（sin B sin CA .2c. -3dV22、在ABC 中，A=60,b=1面积为, 3，则a b csin A sinB sinC2 393专题：变式应用1、 在厶 ABC 中，若/ A:/B:Z C=1:2:3，则 a：b：C 1:、3:22、已知ABC中，a : b : c= 1 : . 3 : 2,贝U A : B : C等于（A ）A. 1 : 2 : 3B. 2 : 3 : 1C. 1 : 3: 2D. 3: 1 : 23、在厶ABC中，周长为7.5cm ,且si nA：sinB： si nC= 4: 5: 6,下列结论： a：b：C 4 ：5 : 6 a :b : c 2

9、 :、. 5 :、6 a2cm,b2.5cm,c 3cm A: B:C 4:5:6 其中成立的个数是A. 0个B. 1个C.D. 3个4、在 ABC中，已知边c10,cosAcosB4，求边a、b的长。3解：由豐仝，鶉cosB acos Ab，可得a cosBsin B sin A 变形为 sinAcosA=sinBcosB / sin2A=sin2B,又 b, 2A=n 2B,/ A+B= . / ABC为直角三角形.2b 4由 a2+b2=102 和，解得 a=6, b=8。a 3a cosC ,贝U cosA5、在厶ABC中，角A、B、C所对的边分别为 a、b、c ,若,3b c cos

10、A6、设锐角三角形 ABC的内角A B, C的对边分别为a, b, c, a 2bsin A.(1 )求B的大小；(2)求cosA sinC的取值范围.专题：求取值范围1 ABC中，已知a x,b 2, B 60,如果 ABC两组解，则x的取值范围(C)4 4 rA. x 2B. x 2C. 2 x 3 D. 2 x ；3精品文档6、精品文档2、已知锐角三角形的边长分别为3、x,则x的取值范围是（ B ）A.13c. 0 x 5 D. 13 x 5在锐角ABC 中，BC1,B2A,则便-cs A的值等于AC的取值范围.2 ( .2, .3)答案：AC.由正弦定理得一ACsin 2BCsin旦1

11、2cs竺2.cs由锐角ABC得90045,又0180 3903060，故 3045cs2，所以2余弦定理专题：公式应用1、在厶ABC中，a= 3, b=,c= 2,那么B等于2、3、4、5、A. 30B. 45C. 60D.120在三角形ABC中，AB 5,2A.3长为5、7、A. 90在厶ABC中,在厶ABC中,A. 900AC3, BC 7,8的三角形的最大角与最小角之和为B. 120若(a c)(aB.2, Bc)600在厶ABC中，三边长分别为aD ）C. 135150b(bC.3,b，则b =BAC的大小为（D.3D. 150c)，则 A ( C1200D.5,c 6,则 bccos

12、A150cacosBabcosC的值为精品文档精品文档A. 3837 C . 36 D . 357、在厶ABC中，已知a2b2 c2 be，则角 a为（C）D. 或-338、在钝角 ABC中，已知a 1 , b2，则最大边e的取值范围是、5 e 39、设a、b、e是ABC的三边长,对任意实数x.f(x)b2x2 (b2 ea2 )x c2 有9、A. f(x) 0 B.f(x)C. f (x)D.f(x)三角形的两边分别为一边长为（B ）5和3,它们夹角的余弦是方程5x27x6 0的根,则三角形的另A. 52B.2 13C. 16D. 410、在厶ABC中，已知AB=4, AC=7, BC边的

13、中线 AD72，那么BC=11、设 A B、C为三角形的三内角，且方程(sinB sinA)x2+(sinA sinC)x +(sinC sinB)=0有等根，那么角 B ( D )A . B60 B . B 60 C . B60D. B 1，则 ABC （ A ）A. 一定是锐角三角形B.可能是钝角三角形C. 一定是等腰三角形D.可能是直角三角形2、 在厶ABC中，角 代B均为锐角，且eosA sin B,则厶ABC的形状是（C ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形， ABC中, B 60o，b ac，则 abc.宀曰定是(D )A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角

14、形D.等边三角形4、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（A ）A.锐角三角形B. 直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定abc5、A ABC中，则厶ABC一定是(D )cosAcosB cosCA.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形6、在厶ABC中，若cosA cosB sinC则厶ABC（A.有一内角为30的直角三角形B.等腰直角三角形C.有一内角为30的等腰三角形D.等边三角形7、若厶ABC的内角A B C的对边分别为 a b c，且acosA bcosB,则（A. ABC为等腰三角形B. ABC为直角三角形C. ABC为等腰直角三角形

15、D. ABC为等腰三角形或直角三角形8、 ABC的内角A、B、C的对边分别为a、bc，根据下列条件判断三角形形状:2si n B cosC，则 ABC 是B)，则 ABC是(1) . (a b c)(b c a) 3bc,且 si nA(2) . (a2 b2)sin(A B) (a2 b2)sin(A9、若(a+b+c)(b+c a)=3abc,且 sinA=2sinBcosC, 那么 ABC是(B )A 直角三角形B.等边三角形C .等腰三角形D等腰直角三角形10、在厶 ABC中，已知 2sinAcosB sinC,那么 ABC一定是（ B ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形

16、D.正三角形11、在厶 ABC中，若 acosA bcosB，则 ABC的形状是（D ）D.等腰或直角三角形2bcosC，则此三角形一A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等腰或直角三角形13、在厶 ABC中，若 tan Atan B则厶ABC的形状是A.直角三角形B.等腰或直角三角形C. 不能确定 D.等腰三角形A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形 12在 ABC中，a , b , c分别为角A , B , C所对边，若a 定是(C )14、已知锐角三角形的边长分别为1， 3，a，则a的范围是( B )A. 8,10B.8,. 10C.,8,10D. . 10,815

17、、A为厶ABC的一个内角口7,且 sinA+cosA= ,则厶ABC是三角形钝角1216、在厶ABC中，已知 2ab c , sin2 A sinBsinC，试判断厶ABC的形状。abcabc解：由正弦定理2R 得:si nA,sinBsi nCsin A sin Bsi nC2R2R 2R所以由sin2 Asin Bsin C可得：(启)2bc2，即：abc。2R2R2R又已知2a bc，所以4a2(b c)2 ,所以4bc (bc)2 ，即(bc)20 ,因而 b c。故由 2a b c得：2a b b 2b, a b。所以 a b c, ABC 为等边三角形。17、已知 ABC的三个内角

18、A B C所对的边分别为 a、b、c,向量m (4, 1),r 2 au r 7n (cos2 ,cos 2A)，且 m n2 2(1)求角A的大小；(2 )若a 、3，试求当b c取得最大值时ABC的形状urr 2 a9.解：(1)由 m (4, 1), n (cos ,cos2A)2u r2 Ai cos A2m n 4coscos 2 A4(2cos A 1)2 222cos A 2cos A 3ir r又因为m n72,所以-2cos A 2cos A 3272解得1cosA -2分Q 0A, A -3n)在ABC 中，2 ab2 c22bccos A,且 a.3,(3)22 2b c

19、2bc1 b22 bc2 bc - Q b22c 2bc, 3 2bc bc ,bc 3,当且仅当b c时,b c取得最大值5又由（I）知A , B C ,所以， ABC为正三角形3 318、在4 ABC中,求分别满足下列条件的三角形形状：B=60 ,b2=ac ;由余弦定理cos 60a2 c2b22ac2 2 2a cb 122/、2a c ac ac (a c) 2ac 2b2 sin AcosAa c.由a=c及B=60可知 ABC为等边三角形 b2ta nA=a2ta nB ;由 b2 ta nA a2 ta nB2 2 2sin2B,a sin Bsin BcosAbsinB. A

20、 A .小，22si nA cos A si n BcosB, si n 2AcosBsinAcosBasinA精品文档22精品文档 A=B或 A+B=90 , ABC为等腰或 Rt. sin C=cosAsinA snB cosBsin Csin A sin B品E，由正弦定理：c(cosA cosB)a b,再由余弦定理:2 2a b2bc2 2 2a c b,a b2ac(a b)(c2a2b2)0,c2a2b2, ABC 为 Rt .(a2 - b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A-B).由条件变形为第Hb22sin (A B) sin(A B) asin (A B) si

21、 n(A B)b22sin A cos B sin A2 sin 2 A sin2B,cos As in B sin BB 90 . ABC是等腰或 Rt .专题:1、在 ABC中，如果 sinA:sinB:sin C2:3: 4，那么cosC等于2、在 ABC 中，已知 sin A: sin B : sinC6:5:4，则 cosA3、在厶ABC中，b4:5:6，则厶ABC的最大内角的度数是1204、在厶ABC中, ab 10，cosC是方程2x23x20的一个根，求 ABC周长的最小值。解:2x2 3x2xcosC是方程2x23x20的一个cosC由余弦定理可得:c2a2b2 2ab?b

22、2 ab则:c210010a 5 2755时，c最小且c755 3 此时c 105.3 ABC周长的最小值为105. 3精品文档5、在ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos- 匸5 , AB AC 3 -25（I ）求 ABC的面积;(II )若 bc 6，求a的值.A2,52 A34丄uuuUULT解 （1）因为cos, cos A2cos1,sin A，又由ABAC 325255得 bccos A 3, bc5 ,S丄ABCbcsin A 2uu2（2）对于bc 5，又b c6 ,b5,c 1 或 b1,c5,由余弦定理得a2 b2 c2 2bc cos A 20，

23、 a 2.5专题：已知面积31已知 ABC的面积为，且b 2,c3，则/ A等于 （D ）2A. 30B. 30 或 150C. 60D. 60 或 1202、在 ABC中，已知角 A、B、C所对的边分别是 a、b、J 边c 2，且c 0 ,又 ABC的面积为3怎，则a2b112UULTTUULTrr r15rr3、已知 ABC中，ABa，ACb，a b 0， S abc4a3,1b 5，则（)A. 30oB150oC.1500D30o 或 15004、若厶ABC的周长等于20，面积是10.、3 , A= 60，则BC边的长是（A. 5C. 7D. 8精品文档精品文档15、在4 ABC中，若

24、SA ABCd (a2+b2 c2),那么角/ C=.4 4B 1。6、在厶 ABC中, BC= a,AC= b,a,b是方程 x2 2 3x 2 0 的两个根，且 2cos A 求：角C的度数；(2)AB的长度。解：(1) cosC cos A Bcos A BC= 120 (2)由题设:ab 2AB2 AC2BC2 2AC?BCcosC2 2a b 2abcos1202 2a b ab2a b ab2 .3 210AB . 107、在ABC中，内角A、B C的对边长分别为b、c，已知 a2c22b,sin AcosC 3cosAsinC,求 b解法一：在 ABC中Q sin AcosC 3

25、cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理有agb2 c22ab2 2 23b c a2bcgc,化简并整理得:2(a2 c2) b2.又由已知a2 c2 2b4b b2.解得 b 4或 b 0(舍)解法二：由余弦定理得b2 2bccosA.又 a2 c22b, b 0.所以 b 2ccosA 2又 sin AcosC 3cosAsinC ,sin AcosC cos As inC4cos Asi n Csin(A C) 4cosAsinC，即 sinB 4cosAsinC精品文档精品文档由正弦定理得sinB sinC，故b 4ccosAc由，解得4.专题：求三角形面积1、在厶 ABC中, AB

26、 、.3，AC 1, /A= 30，则 ABC面积为 （B ）A.3B .仝C.3 或. 3D.或、3242422、已知 ABC的三边长a 3,b5,c 6,则厶ABC的面积为(B)A. 14B.2、14C. . 15D. 2.153、三角形的一边长为14,这条边所对的角为60o，另两边之比为8:5,则这个三角形的面积为。40、34、在厶 ABC中,a sin10 , bsin 50 , / C= 70,那么 ABC的面积为（C）1111A.-B .C.D.64321685、 ABC 中，b 8 , c 8. 3 ,Svabc16、3，则A等于（C ）A 30oB60oC30o 或 150oD

27、60o 或 120o16、 在 ABC中，sin(C A) 1 , sinB=. (I )求 sinA 的值；(II) 设 AC= 6 ,求 ABC3的面积.17、 A、B、C 为 ABC 的三内角，对边分别为 a、b、c,若 cosBcosC sin Bsi nC-.2精品文档精品文档(I)求 A ;(n)若 a 2.3,b c 4，求 ABC 的面积.解:1(I)cosBcosC sin BsinC 2cos(B C)12又 0 B CB CA BCA 23，3(n)由余弦定理a2 b22 c2bccosA 得(2 3)2(b2c) 2bc22bc cos -3即:12 16 2bc 2b

28、c (1),bc4 S ABC-bc1sin A 3厂4322228、在锐角三角形中，边a、b是方程x2 2 3 x+2=0的两根，角A B满足：2sin(A+B) 3 =0,求角C的度数，边c的长度及厶ABC的面积。厂史解：由 2sin(A+B) 3 =0 ,得 sin(A+B)= 2 ,/ ABC为锐角三角形 A+B=120 , C=60 ,又T a、b 是方程 x2 2 3 x+2=0 的两根，二 a+b=2 3 , c=J6 ,1 1百心Svabc-absinC=2 x 2 x 2 = 2。2a - b=2, c2=a2+b2 2a - bcosC=(a+b)2 3ab=12 6=6,

29、 c=i.,6 ,1 133Svabcabsi n C =2 x 2 x 2 =T。29、已知 ABC的内角 代B,C的对边分别为a,b,c，其中c 2，又向量m (1, cosC), n ( cosC , 1) , m- n=1.(1 )若A 45，求a的值；(2 )若a b 4，求 ABC的面积.解: (1 )t mn cosC cosC 2cosC 1精品文档精品文档35精品文档 cosC -2Q0 C180 C 60由正弦定理得,asin 452sin60 60 ,a2b22abcos60，二 a2b2 ab 4 ,b2 2ab 16，ABC1 absin C2.3 5410、在 AB

30、C 中，cosA 石sinB -(I)求 cosC 的值； (n)设 BC 15，求ABC的面积.5410.解：(I)由 cos A ,sin B -135得 si nA 12 , cosB13/ ABCcosC cos (AB)cos(AB) -463 (cosAcosB sin Asin B)65(n)由 cosC -，得 sinC1365，BC sin B由正弦定理得AC -sin A1310所以ABC的面积S 1 BC2AC sinC11513兰6524-12分11、在 ABC中，角A, B,C所对的边分别为a, b,c，且满足A cos2uuuABuuurAC 3 (I )求 ABC的面积;(II )若 c1，求a的值.”2 A解(【)cos A 2 cos 12235又 A (0, ) , sin A 1 cos2 A-，而 AB.AC5AB . AC . cos Abc 3，所精品文档114besin A522251，所以b525 1 2 32 5以be 5，所以 ABC的面积为:(n)由(