结构力学第4章静定刚架的内力计算

1、结构力学 青岛理工大学工程管理系 结构力学教研室 静定刚架的内力分析 第四章 4.14.1 概概 述述 组成刚架的杆件主要产生弯曲变形， 可承受弯矩。 刚架的构造特点: 具有刚结点 (a) (b) (c) 能传递力矩 （弯矩） 刚结点的特点: 静定刚架有如下几种最简形式, 较复杂的刚架一般是由若干简 单刚架按基本组成规则构成的。 (a)悬臂刚架 (b)简支刚架 (c)三铰刚架 4.24.2 简单刚架的内力分析简单刚架的内力分析 悬臂刚架的支座反力 1、支座反力计算 2m2m 3m q=2kN/m q=2kN/m FAx FAy 取上部整体为隔离体 建立该隔离体的平衡方程 为： 0 A M (左

2、侧受拉) mkNM A 23 2 3 3227 0 X FkNFAx7 () 0 Y F kNFAy632 () 6m 2m2m M=18kNm FAx FAy FBy (a) 简支刚架的支座反力： 图(a)左所示刚架支座反力的计算， 同样取刚架上部整体为隔离体，见 图(a)右，建立平衡方程： 0 X F () kNFF PAx 12 0 A M )236( 6 1 PBy FMqF kN10)21218363( 6 1 () 0 O M )236( 6 1 PAy FMqF kN8)21218363( 6 1 () FBy FAx M=30kNm FAy 4m 2m2m M=30kNm (b

3、) 当两铰支座在一条水平线上时，见 图(b)左取刚架上部整体为隔离体， 见图(b)右，建立平衡方程并求解 () 0 A M 224 PBy FMqF kNFBy5 . 2)220302410( 4 1 0 B M )242( 4 1 qMFF PAy () kNFAy5 . 2)241030220( 4 1 0 x F 4qFF PAx () kNFAx2041020 三铰刚架的支座反力： (a) L/2L/2 L/2L/2 如果仅用上部整体的平衡条件 I I FAy FBy FAx FBx (b) FCy FCx FAy FBy FAx FBx FCy FCx (c) 分别取两个折杆为隔离体

4、，见图(c)。 解法1： 0 A M 0 22 L Lq L FLF CyCx (a) 0 B M 0 22 L F L F CyCx(b) 联立(a)、(b)两式，求解得： qLFCx 3 1 ( ) qLFCy 3 1 () (c) qLFAx 3 2 ()qLFAy 3 1 () qLFBx 3 1 () qLFBy 3 1 () 将式(c)所示的结果带回图(c)的 两个隔离体上，容易得出该三铰 刚架的四个支座反力，即： 取整体和图(c)右所示体系为隔离体。 0 A M 0 22 L qLLF L F ByBx (a) 0 C M 0 22 L F L F ByBx (b) 解法2： 联

5、立(a)、(b)两式，求解得： qLFBx 3 1 () qLFBy 3 1 () 再有隔离体整体平衡条件 ，即可 求得A支座的两个支座反力同上。 说明：当必须解联立方程时， 先集中列出一个铰上的约束力的两个 方程。即截开在三个铰中所选的任意 一个铰，以另两个铰为矩心，分别列 关于所选铰处约束力的力矩方程。 要点 是 L/2L/2 L/32L/3 I FAx FAyFBy FBx I 图(d) 当三铰刚架的两个底铰在一条直线上时： 由于两个水平支座反力在一条线上， 取刚架整体为隔离体，分别建立以 铰A、铰B为矩心的力矩平衡方程， 这两个方程分别是关于两个竖向支 座反力的独立的方程，因此可先求

6、出这两个反力。 0 A M由 842 1qLLL q L FBy 得： (a) () 0 B M由得： 8 3 ) 24 ( 2 1qLLLL q L FAy() (b) 如取截面I-I以右部分，由 0 C M 得： 162 1qLL F L F ByBx () 再由整体的平衡方程 0 X F 得： 16 qL FF BxAx () 2、刚架的内力计算和内力图制作 4m 2m2m M=30kNm (a) F=20kNAx F =2.5kNAy M=30kNm F =2.5kNByF =2.5kNBy F=20kNAx M=30kNm F =2.5kNAy (b) 图4-2-5 （1）杆端力计算

7、 取隔离体暴露杆端力的计算方法： （取隔离体，由平衡条件解） 刚架各杆杆端截面见图(b)上端 线所注，截开各杆端截面后，刚 架离散成图4-2-6所示各隔离体。 FQDA M=30kNm MDA FNDC FNDA FQDC MDC FQDC FNDC MDC FQCD FNCD MCD FQCD FNCD MCD FQCB FNCB MCB F =20kNAx F =2.5kNAy FNDA FQDAMDA F =2.5kNBy FQCB FNCB MCB 图4-2-6 刚架的内力的正负号规定同梁。各 内力图均以杆轴为原始基线垂直杆 轴画出。弯矩不规定正负，但规定 弯矩画在受拉侧；在同一杆上的

8、轴 力或竖标剪力图，若异号分画在杆 轴两侧，若同号则在杆轴任一侧， 但须在图中注明正负号。 各杆端力计算如下： kNFF AyNDA 5 . 2 kNFFF AxPQDA 40 mkNFFM AxPDA 12042 （左侧受拉） AD杆： F =20kNAx F =2.5kNAy FNDA FQDAMDA kNFF QDANDC 40 kNFF NDAQDC 5 . 2 mkNMMM DADC 90 （上侧受拉） 结点D： FQDA M=30kNm MDA FNDC FNDA FQDC MDC kNFF ByNCB 5 . 2 kNqFQCB404 mkNqM CB 8024 （右侧受拉） B

9、C杆： F =2.5kNBy FQCB FNCB MCB kNFF QCBNCD 40 kNFF NCBQCD 5 . 2 mkNMM CBCD 80 （上侧受拉） 结点C： FQCD FNCD MCD FQCB FNCB MCB 直接法（不暴露杆端力）计算 杆端力方法： 则是以外力相对于截面的左或右区 分正负，即，剪力以左上、右下为 正；轴力以左左、右右为正；弯矩 以左顺、右逆为正。 F=20kNAx F =2.5kNAy M=30kNm F=2.5kNBy 图4-2-7 计算D下（AD杆D端截面）内力时， 若计算者在杆AD以左，则所取部分 在截面以右，则： kNFFF AxPQDA 40

10、mkNFFM AxPDA 12042 计算D右（DC杆D端截面）内力时，若 计算者在杆DC以下，取D以左部分， 则： kNFF AyQDC 5 . 2 mkNMFFM PAxDC 9024 mkNqFM ByDC 90244 kNFF ByQDC 5 . 2 取D截面以右部分，则： (2) 内力图的制作 90 120 60 90 40 (a)M图(kNm) 40 2.540 20 (b)FQ图(kN) 20 40 20 (c)FN图(kN) (3) 内力图的校核 当刚结点仅连接两个杆端，且无力 矩作用在结点上时，该两杆端的弯 矩值相同，受拉侧一致（弯矩方向 相反）。 计算图示静定刚架，并作内力

11、图。 4m 1.5m1.5m F=8.75kNBy F=2kNBx F=7.25kNAy (a) (b) 例4-2-1 1)求支座反力 见图(b)，去掉支座链杆，取上部结 构整体的平衡条件， 得： kNFF PBx 2 （） kNFqF PBy 75. 8)5 . 124( 4 1 () 25. 7)5 . 124( 4 1 PAy FqF () 弯矩图： 2)作内力图 (c) M图(kNm) 剪力图和轴力图： (d)FQ图(kN) (e)FN图(kN) Q FQF Q F 由弯矩图作剪力图： 当结构的弯矩图求出后，通过弯 矩图作斜梁的剪力图相对比较容 易。当结构的剪力图求出后，也 可通过剪力

12、图作轴力图。 从弯矩图(c)中将CB杆两端切断 取出画受力图，见图(f)。 FQBC MCB FQCB (f) 由弯矩图作剪力图方法：取所考 虑的杆件为隔离体，分别由其两 端点为矩心的力矩平衡方程求两 杆端剪力，然后作该杆的剪力图。 由剪力图作轴力图： F=8.75kNBy F=2kNBx FNCAFNBC F=2kNQCA FkNQBC=5.8 FNCB F7kNQCB= (g) 斜杆两端轴力计算，取斜杆两端所 连的结点和支座（支座结点）为隔 离体，见图(g)。 由剪力图作轴力图方法：取结点为 隔离体，由结点的投影平衡方程计 算它所连的杆端的轴力。当杆件两 端的轴力均求出后，可作该杆的轴 力

13、图。 4.34.3 刚架内力计算举例刚架内力计算举例 例4-3-1计算图(a)所示刚架，并作内力图。 2m2m (a) FAx FByFCy FCx (b) 该刚架有四个支座反力。若由结 构上部整体考虑，有类似于前述 三铰刚架的求解思路。不再讲述。 该刚架由铰G处分开，右侧为基本 部分，左侧为附属部分。因此有 附属部分开始计算如下。见图(c)。 解： F=30kNBy F=-3kNAx F=2kNCy F=1kNCx 1kN 8kN F=-1kNGx F=-8kNGy (c) 1）计算约束反力 AHG部分： 0 X FkNF Gx 1 () 0 G M kNFqF PA 3)212( 4 1

14、x kNqF Gy 82 () 0 y F () GDCB部分： 见图(c)右。计算如下： 0 X FkNFCx1 () 0 C M kNFqF PBy 30)2416836( 4 1 () 0 B M kNFqqF PCy 2)241281224( 4 1 () 2）作内力图： 24 488 8 6 4 28 (d)M图(kNm) (e)FQ图(kN) (f)FN图(kN) 3）校核： 4kNm F=30kNBy 1kN 14kN 28kNm 24kNm 1kN 16kN 2kN 1kN 1kN (h) (g) 例4-3-2 画下列刚架的弯矩图。 解：图(a)：所示为简支刚架。 水平支座链杆的约束力可一眼 看出。余下的两个支座约束力 不必求出，即可画出结构的弯 矩图。 6m 2m2m 24kNm 25.5kNm 24kNm (a) 例4-3-3 判断下列刚架的弯矩图是否正确。 如果是错误的，请改正。 (a) 解： 刚架上只有一个水平支座链杆， 在仅有