第一章单自由度机械系统动力学建模

1、 绪论 机械系统动力学是应用力学的基本理论解决 机械系统中动力学问题的一门学科，其核心 问题是建立机械系统的运动状态与其内部参 数、外部条件之间的关系，找到解决问题的 途径 三体机械臂三体机械臂 可伸展卫星太阳能电池板可伸展卫星太阳能电池板 汽车汽车 五轴并联机床五轴并联机床 机械动力学研究内容机械动力学研究内容 ： 机械原理由三部分组成机械原理由三部分组成： 机械结构学、机构运动学和机械动力学机械结构学、机构运动学和机械动力学 机械结构学机械结构学：机构组成原理、机构运动的可能 性和确定性。 机构运动学机构运动学：1运动学分析不考虑力的作 用，从几何观点研究机构各构件运动参数（位 移、速度、

2、加速度） 2运动学综合仅从运动学角度设计新机构 的方法。 机械动力学机械动力学： 1 1动力学分析动力学分析研究机械在力作用下的运研究机械在力作用下的运 动和机械在运动中产生的力。动和机械在运动中产生的力。 2 2动力学综合（动力学设计）动力学综合（动力学设计）从力与运从力与运 动的相互作用角度对机械进行设计改进，使动的相互作用角度对机械进行设计改进，使 之达到运动学和动力学要求。之达到运动学和动力学要求。 在机械动力学发展历史上，提出了四种分析在机械动力学发展历史上，提出了四种分析 方法方法： 静力分析静力分析（staticstatic） 动态静力分析动态静力分析(kinetio-stati

3、c)(kinetio-static) 动力分析动力分析(dynamic)(dynamic) 弹性动力分弹性动力分析析(elastodynamic)(elastodynamic) 1 静力分析 对低速机械，运动中产生的惯性可以忽略不计，对机 械的运动过程中的各个位置，可以用静力学方法求出 为平衡载荷而需在驱动构件上施加的驱动力或力矩， 以及各运动副中的约束反力，可用此进行原动机功率 的计算、构件和运动副承载能力的计算。 2 动态静力分析 对高速机械，惯性力不能再被忽略，根据达朗伯原理 ，可将惯性力计入静力平衡方程来求出为平衡动载荷 和静载荷而需在驱动构件上施加的输入力和力矩以及 运动副中的反作用

4、力。 3 动力分析 抛弃了对驱动构件运动规律的理想假定，把原动机包括 在机械系统之内来进行分析，分析的对象是整个机械系 统，求解的是微分方程或代数-微分混合方程。 4 弹性动力分析 随着机械系统向高速轻质化发展，构件的柔度加大，惯 性力急剧加大，构件的弹性变形可能给机械的运动输出 带来误差。机械系统柔度 系统的固有频率 ，机械 运转速度 激振频率 可能会发生共振，破坏运动精度 ，影响疲劳强度，引发噪声。 机构动力学模型主要有两种形式机构动力学模型主要有两种形式: : 一类是不含运动副约束反力的纯微分型动力学方一类是不含运动副约束反力的纯微分型动力学方 程程, ,其维数等于机构的自由度数目其维数

5、等于机构的自由度数目; ; 另一类是含运动副约束反力的代数与微分混合型另一类是含运动副约束反力的代数与微分混合型 方程方程, ,其维数大于机构的自由度数目。其维数大于机构的自由度数目。 机构动力学分析的发展与现状机构动力学分析的发展与现状 建立复杂机构动力学模型的常用力学方法有建立复杂机构动力学模型的常用力学方法有: : * * 牛顿牛顿- -欧拉欧拉(Newton-Euler)(Newton-Euler)法法 * * 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)法法 * * 虚功原理法虚功原理法 * * 凯恩凯恩(Kane)(Kane)法法 * * 旋量法和旋量法和R-WR-W法

6、等。法等。 机构动力学分析的发展与现状机构动力学分析的发展与现状 牛顿-欧拉(Newton-Euler) 的特点是以矢量描述运动和力，从而具有 很强的几何直观性，但列写各隔离体的动力学方程不可避免地出现理 想约束反力，从而使未知变量的数目明显增多，扩大了求解规模。 Lagrange法是以系统的动能和势能为基础建立动力学方程的, 可以避 免出现不做功铰的理想约束反力，使未知量的数目最少，但随着体的 数目和自由度的增多，求导数的计算工作量十分庞大。 凯恩(Kane) 方法 特点是利用伪坐标代替广义坐标描述系统的运动，并 将矢量形式的力和力矩包括达朗伯惯性力和惯性力矩直接向偏速度和 偏角速度基矢量方

7、向投影以消除理想约束反力，兼有矢量力学和分析 力学的特点。 罗伯森(Roberson)和维滕堡(Wittenburg) 应用图论的概念来描述多体 系统的结构特征，使各种不同结构体系的多体系统能用统一的数学模 型来描述. 机构动力学分析的发展与现状机构动力学分析的发展与现状 动力学方程的求解方法。动力学方程的求解方法。 欧拉法，欧拉法， 龙格库塔法，龙格库塔法， 微分方程组与高阶微分方程的解法，微分方程组与高阶微分方程的解法， 矩阵形式的动力学方程。矩阵形式的动力学方程。 第一篇 机械刚体动力学 1 11 1 机构系统的功能关系机构系统的功能关系 系统动能：系统动能： （1-11-1） 系统瞬时

8、功率：系统瞬时功率： （1-21-2） 根据动能原理：在任一时间间隔根据动能原理：在任一时间间隔 内，内， 系统上外力所做的功等于系统动能增量：系统上外力所做的功等于系统动能增量： (1-3)(1-3) 微分得微分得 即即 (1-4)(1-4) 22 11 11 22 rt iijj ij Em vJ 11 rt iijj ij PF vM )( 0 tt 0 0 t t NPdtEE d PE dt 22 1111 11 () 22 rtrt iijjiijj ijij d F vMm vJ dt 12 系统的等效力学模型系统的等效力学模型 等效转化的原则：等效构件的等效质量等效转化的原则：

9、等效构件的等效质量 具有的动能等于原机械系统的总动能；等效具有的动能等于原机械系统的总动能；等效 构件上作用的等效力或力矩产生的瞬时功率构件上作用的等效力或力矩产生的瞬时功率 等于原机械系统所有外力产生的瞬时功率之等于原机械系统所有外力产生的瞬时功率之 和。和。 把具有等效质量或等效转动惯量，其上把具有等效质量或等效转动惯量，其上 作用有等效力或等效力矩的等效构件称为机作用有等效力或等效力矩的等效构件称为机 械系统的械系统的等效动力学模型等效动力学模型。 一、等效动力学模型 等效力矩等效力矩 Me 等效转动惯量等效转动惯量 Je 等效力等效力 Fe 等效质量等效质量 me 二、等效参数的确定二

10、、等效参数的确定 等效质量和等效转动惯量可以根据等效质量和等效转动惯量可以根据 等效原则：等效构件所具有的动能等于等效原则：等效构件所具有的动能等于 原机械系统的总动能来确定。原机械系统的总动能来确定。 对于具有对于具有n n个活动构件的机械系统，构件个活动构件的机械系统，构件i i 上的质量为上的质量为m mi i，相对质心，相对质心C Ci i的转动惯量为的转动惯量为J JCi Ci, , 质心质心C Ci i的速度为的速度为 v vC i C i, ,构件的角速度为 构件的角速度为 ，则，则 系统所具有的动能为：系统所具有的动能为： i n i iCiCii JvmE 1 22 2 1

11、2 1 1、等效质量和等效转动惯量 当选取角速度为 的回转构件为等效 构件时，等效构件的动能为： 2 2 1 ee JE 根据等效原则： EEe 得等效转动惯量：得等效转动惯量： n i i Ci Ci ie J v mJ 1 22 当选取移动速度为 的滑件为等效构 件时，等效构件的动能为： v 2 2 1 vmE ee 根据等效原则： EEe 得等效质量： n i i Ci Ci ie v J v v mm 1 22 等效量的计算等效量的计算 1、等效力和等效质量、等效力和等效质量 1 S3 等效力等效力 Fe 等效质等效质me )( 2 1 2 1 2 1 2 1 3311 2 33 2

12、22 2 22 2 11 vFMvmvmJJ)( 33 3 1 1 2 33 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 1 1 )( 2 1 vF v Mvm v v m v J v J 等效质量 me 等效力 Fe n i i si si ie v J v v mm 1 22 n i i ii si ie v M v v FF 1 cos 等效量的计算等效量的计算 1 S3 等效力矩等效力矩 Me 等效转动惯等效转动惯 量量 Je )( 2 1 2 1 2 1 2 1 3311 2 33 2 22 2 22 2 11 vFMvmvmJJ)( 1 1 3 31 2 1 2 1 3 3 2 1 2

13、 2 2 1 2 21 )( 2 1 v FM v m v mJJ n i i si si ie J v mJ 1 22 n i i ii si ie M v FM 1 cos 2、等效力矩和等效转动惯量、等效力矩和等效转动惯量 1 不知道机构真实运动的情况下，可以求出等效量（F Fe、Me、 me、Je） 2 等效量（F Fe、Me、me、Je）均为为机构位置的函数位置的函数。 3 等效量（F Fe、Me、me、Je）均为假想的量假想的量，不是机构真实的 合力、合力矩、总质量和总转动惯量。 4 如果考虑惯性力和惯性力矩时，等效力和等效力矩等效力和等效力矩与动态静 力法中求出的平衡力和平衡力矩

14、平衡力和平衡力矩大小相等，方向相反大小相等，方向相反。 如图如图7-2所示为齿轮驱动连所示为齿轮驱动连 杆机构，求曲柄为等效构杆机构，求曲柄为等效构 件时，机构的等效转动惯件时，机构的等效转动惯 量和等效力矩量和等效力矩 2 2 4 4 2 2 3 32 2 2 1 1 v m v mJJJe解： 由速度分析得由速度分析得 : 2224 23 sinlsinvv lvv C C 故有： 2 2 22 4 2 2 2 32 2 1 2 1 sinl m l mJ z z JJ e 2 22 4 2 321 9sinlmlmJJ 2 4 4 2 2 1 1 180 v cosFMMe 则： 241

15、 2 22 4 1 2 1 3 sinLFM sinl F Z Z M 起升机构等效模型 1 12 2 系统的等效力学模型系统的等效力学模型 对单自由度系统而言，描述系统的运动只需要对单自由度系统而言，描述系统的运动只需要 一个独立坐标（称为广义坐标），一个独立坐标（称为广义坐标）， 故式故式 变为变为 (1-5) (1-5) 22 1111 11 () 22 rtrt iijjiijj ijij d F vMm vJ dt 2 222 1111 1 ().) 2 rtrt j ii ijij ijij uud FqMqmqJq qqdtqq 写为：写为： (1-6)(1-6) 式中式中 Q

16、Q广义力或称为等效力广义力或称为等效力 广义惯量或称为等效惯量广义惯量或称为等效惯量 (1-7)(1-7) (1-8)(1-8) 式（式（1-61-6）可表为：）可表为： 2 2 1 ()(6 ) 2 1 ()(6 ) 2 e e d QqJqa dt Qdqd Jqb 或 e J 11 rt j i ij ij u QFM qq 22 11 ()() rt j i eij ij u JmJ qq 2222 2 1111 ()22 2222 = 2 eee eeee e e dJdJdJddqdq dqdq QJqJqqJqJq dqdqdqdt dqdqdtdq dJq Jq dq (1-9

17、) 当广义力为力矩当广义力为力矩M M时，广义坐标为转角时，广义坐标为转角 的形的形 式式 (1-10) (1-10) 当广义力为力当广义力为力F F时，广义坐标为位移时，广义坐标为位移 u u的形式的形式 (1-11) (1-11) 2 2 e e dJd MJ dtd 2 2 e e dJdvv FJ dtdu 1 13 3 单自由度系统动力学建模统一方程单自由度系统动力学建模统一方程 不失一般性，把系统外力不失一般性，把系统外力F F和力矩和力矩M M统一记统一记 为为 ， 记广义坐标为记广义坐标为 q q ，把质量，把质量m m和转动惯和转动惯 量量 J J 统一记为统一记为 ，对应的

18、位移和转角统一记，对应的位移和转角统一记 为为 。则广义力式（。则广义力式（1-71-7）和广义惯量式（）和广义惯量式（1-81-8） 表为：表为： (1-12)(1-12) (1-13)(1-13) 1 n T i i i u QFTF q 2 1 () n T i ei i u MmTm T q (1,2) i F in i m i u 式中：式中： 则系统的运动方程则系统的运动方程 可表示为矩阵形式可表示为矩阵形式 2 2 2 11 11 () ) 22 nn T eiii eii ii dJuuud DmmTm T dqdqqqq 312 T n uuuu T qqqq 312 n u

19、uuudd TT dqdqqqqq 2222 2 1111 ()22 2222 = 2 eee eeee e e dJdJdJddqdq dqdq QJ qJ qqJqJq dqdqdqdt dqdqdtdq dJq J q dq 2 + TTT TFTm T qTm T q 简洁地表为：简洁地表为： 分别为等效惯量及附加等效惯分别为等效惯量及附加等效惯 量量 例例1 1正弦机构正弦机构 令令 2 + ee QM qD q , ee MD 11 2 3 u uulc uls q 2 2 10 , ii i uuu TlsTlc qq lcls 0 , ABC AA R mMMMFF MM g

20、222 01 1()( ) eABCABCA A MlslcMMMlsMMMl sMlc Mlc 22 00 1() eABCABCA A DlslcMMMlcMMMl csM l cs Mls 1 eA A R QlslcFRFlslcM g M g 得运动方程得运动方程: : 例例2 2起升机构起升机构 22222 ()() BCABCA MMl sM lMMl scRFlsl cM g 11 221 3 1 1/ /(2) u ui uxDai 1 1/ /(2) i u Ti q Dai 2 2 0 0 0 i u T q 0 R F mg 1 2 J MJ m 1 2 212 2 1 111 1()() 22 /(2) T e J DD MTMTJJJm iaiiiai m Dai 运动方程为运动方程为: : 例例3 3曲柄滑块机构曲柄滑块机构 1 10 22 T e R DD QTFRmg iaiai mg 0 e DTMT 2 2 1 2 () 22 JDD JmRmg iaiai 11 1 21 1 31 4111 122 1 51 12 2 62 71 122 /2 /2 /2 /2 ul c ul s u uTl cl c ul sl s u ul cl c 式中式中