第二章 刚体的定轴转动

1、1 课程指导课三课程指导课三 5. 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 5.1 刚体运动学刚体运动学 5.2 转动定理转动定理 转动惯量转动惯量 5.3 刚体的动能与势能刚体的动能与势能 5.4 角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律 教师：郑采星教师：郑采星 大学物理大学物理 2 第第2章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 基本要求基本要求 教学基本内容、基本公式教学基本内容、基本公式 理解转动惯量，掌握刚体绕定轴转动定理，理解力矩的功和转动动能。理理解转动惯量，掌握刚体绕定轴转动定理，理解力矩的功和转动动能。理 解动量矩和动量矩守恒定律，能用其分析和计算有关刚体定轴转动的力学解动量矩

2、和动量矩守恒定律，能用其分析和计算有关刚体定轴转动的力学 问题。问题。 (1) 力矩力矩FrM (2) 转动惯性（转动惯性（I） 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，跟刚体的总质量、质量的分布及转转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，跟刚体的总质量、质量的分布及转 轴的位置有关。轴的位置有关。 2 i i ir mI 质量连续分布的刚体对转轴的转动惯量质量连续分布的刚体对转轴的转动惯量 Vm VrmrIdd 22 平行轴定理平行轴定理 2 mdII c 刚体对某轴的转动惯量刚体对某轴的转动惯量I 等于通等于通 过质心而平行该轴的转动惯量过质心而平行该轴的转动惯量Ic 加上刚体的质量乘以两轴之间的加上

3、刚体的质量乘以两轴之间的 距离的平方。距离的平方。 3 (3) 转动定律转动定律MI 刚体所受的对某一定轴的合外力矩刚体所受的对某一定轴的合外力矩M等于刚体对同一转轴的转动惯量等于刚体对同一转轴的转动惯量I与与 刚体在合外力矩作用下所获得的角加速度刚体在合外力矩作用下所获得的角加速度 的乘积。的乘积。 (4) 刚体的动能与势能刚体的动能与势能 2 2 1 IEk cp mghE 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 2 0 2 2 1 2 1 dIIMA 刚体绕固定轴转动动能的增量等于合外力矩所作的功刚体绕固定轴转动动能的增量等于合外力矩所作的功 对于包含有刚体在内的系统，若运动过

4、程中只有保守力作功对于包含有刚体在内的系统，若运动过程中只有保守力作功 （或（或 A外力 外力+A非保守内力非保守内力= 0）， ），则系统的总体械能守恒。则系统的总体械能守恒。 恒量 222 2 1 2 1 2 1 IkxmmghE c v 4 (5) 刚体的角动量及角动量守恒定律刚体的角动量及角动量守恒定律 IrmrmL i i iii i ii 2 v 刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量 角动量定理角动量定理 0 dIItM 刚体在某时间间隔内所受合外力矩的冲量矩等于刚体在这段时间内刚体在某时间间隔内所受合外力矩的冲量矩等于刚体在这段时间内 的角动量的增量。的角动量的增量。 角动量守恒

5、定律角动量守恒定律 当刚体所受的合外力矩等于零时刚体的角动量保持不变。当刚体所受的合外力矩等于零时刚体的角动量保持不变。 恒量 外 IM , 0 5 对刚体定轴转动的公式及计算要采用对应的方法来帮助理解和记忆，即刚对刚体定轴转动的公式及计算要采用对应的方法来帮助理解和记忆，即刚 体转动的物理量跟平动的物理量相对应：体转动的物理量跟平动的物理量相对应： ax,v,MFIm , at 0 vv )(2 0 2 0 2 xxavv 2 00 2 1 attxxv t 0 )(2 0 2 0 2 2 00 2 1 tt maF IM 0 dvv mmtF 0 dIItM 2 0 2 2 1 2 1 d

6、vvmmrFA 2 0 2 2 1 2 1 dIIMA 6 1. 半径为半径为 20cm 的主动轮，通过皮带拖动半径为的主动轮，通过皮带拖动半径为 50cm的被动轮转动，皮带的被动轮转动，皮带 与轮之间无相对滑动，主动轮从静止开始作与轮之间无相对滑动，主动轮从静止开始作匀角加速匀角加速转动，在转动，在 4s 内被动轮内被动轮 的角速度达到的角速度达到 8 rads -1， 则主动轮在这段时间内转过了则主动轮在这段时间内转过了 圈圈。 R1，主，主 R2，被，被 221121 ,RRvv 2 1 2 1 R R )4( ,2085 . 2 1 st , 01 t 5 01 t 2 0 2 1 t

7、t4020 2 n 因为轮作因为轮作匀角加速匀角加速转动，有转动，有 7 2. 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有的定滑轮，绳的两端分别悬有 质量为质量为m1和和m2的物体的物体(m1m2)，如图所示绳与轮之间无相对滑动若某时，如图所示绳与轮之间无相对滑动若某时 刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力 (A) 处处相等处处相等 (B) 左边大于右边左边大于右边 (C) 右边大于左边右边大于左边 (D) 哪边哪边大无法判断大无法判断 m2 m1 O C ) 1 ( 111 amTgm )2( 222

8、amgmT )3()( 21 IRTT )4(Ra 继续分析继续分析滑轮，滑轮，设角加速度设角加速度 方向如图，方向如图，则则 1 m gm1 1 T a 2 m 2 T gm2 a 设加速度设加速度a方向如图方向如图 1 T 2 T R 联立解出：联立解出： 0 )( )( 2 21 21 RmmIR gRmm 与原假设方向相反与原假设方向相反 应该是：应该是： 根据转动定理：根据转动定理：M=I 合外力矩的方向应该也是合外力矩的方向应该也是 ， 12 TT 8 3. 如图所示，如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑轮为两个相同的绕着轻绳的定滑轮A滑轮挂一质量滑轮挂一质量 为为M的物体，

9、的物体，B滑轮受拉力滑轮受拉力F，而且，而且FMg设设A、B两滑轮的角加速度两滑轮的角加速度 分别为分别为 A和和 B，不计滑轮轴的摩擦，则有，不计滑轮轴的摩擦，则有 (A) A B (B) A B (C) A B (D) 开始时开始时 A B，以后，以后 A B A M B F 1 T R A M Mg 1 T ) 1 ( 1 MaTMg F R B )2( 1A IRT I agM I RT A )( 1 )3( B IFR I Mg I FR B AB C 9 4. 一质量均匀分布的圆盘，质量为一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为，半径为R， 放在一粗糙水平面上放在一粗糙水平面上( 圆

10、盘与水平面之间的摩擦系圆盘与水平面之间的摩擦系 数为数为 )，圆盘可绕通过其中心，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴的竖直固定光滑轴 转动转动则则盘盘转动时受的摩擦力矩的大小为转动时受的摩擦力矩的大小为。 R O r 解：设解：设 为圆盘单位面积的质量，取所图所示为圆盘单位面积的质量，取所图所示圆环圆环， 求该求该圆环圆环所受水平面的摩擦力矩的大小。所受水平面的摩擦力矩的大小。 rrSd2d rrgmgd2d rrgrrfM f d2d 摩擦 R ff rrgrMM 0 d2d MgRgR 3 2 3 2 3 若该若该圆盘圆盘绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度绕通过其中心且垂直板面的固定

11、轴以角速度 0开始旋转，它将开始旋转，它将 在旋转几圈后停止？在旋转几圈后停止？ 根据转动定理，得角加速度根据转动定理，得角加速度 I M 2 2 1 mRI R g 3 4 因为盘作匀角加速转动，有因为盘作匀角加速转动，有 2 2 0 g R 8 3 2 2 0 2 0 g R n 16 3 2 2 0 rrgfd2 摩擦 10 5. 一转动惯量为一转动惯量为I的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为 0设它设它 所受阻力矩与转动角速度成正比，即所受阻力矩与转动角速度成正比，即Mk (k为正的常数为正的常数)，求，求 圆盘的角速度从圆盘的角速度从 0变为变为 0/

12、2时所需的时间时所需的时间 解：解： t IM d d t Ik d d d d t I k t t I k 0 2/ dd 10 0 I kt 2ln k I t 2ln 6. 光滑的水平桌面上有长为光滑的水平桌面上有长为2l、质量为、质量为m的匀质细杆，可绕通过其中点的匀质细杆，可绕通过其中点O 且垂直于桌面的竖直固定轴自由转动，转动惯量为且垂直于桌面的竖直固定轴自由转动，转动惯量为ml2/3/3，起初杆静止。有，起初杆静止。有 一质量为一质量为m的小球在桌面上正对着杆的一端，在垂直于杆长的方向上，以的小球在桌面上正对着杆的一端，在垂直于杆长的方向上，以 速率速率v运动，如图所示当小球与杆

13、端发生碰撞后，就与杆粘在一起随杆运动，如图所示当小球与杆端发生碰撞后，就与杆粘在一起随杆 转动则这一系统碰撞后的转动角速度是转动则这一系统碰撞后的转动角速度是_._. O v 解：角动量守恒解：角动量守恒 ) 3 1 ( 22 mlmlmvl l 4 3v 11 7. 空心圆环可绕光滑的竖直固定轴空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量为自由转动，转动惯量为I0，环的半径为，环的半径为R， 初始时环的角速度为初始时环的角速度为 0质量为质量为m的小球静止在环内最高处的小球静止在环内最高处A点，由于某种微小点，由于某种微小 干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心干扰，小球沿环向下滑动

14、，问小球滑到与环心O在同一高度的在同一高度的B点和环的最低处点和环的最低处 的的C点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大?( 设环的内壁和小球都是设环的内壁和小球都是 光滑的，小球可视为质点，环截面半径光滑的，小球可视为质点，环截面半径rR.) 解：选小球和环为系统运动过程中所受合外力矩为零，角动量解：选小球和环为系统运动过程中所受合外力矩为零，角动量 守恒对地球、小球和环组成的系统机械能守恒取过环心的水守恒对地球、小球和环组成的系统机械能守恒取过环心的水 平面为势能零点平面为势能零点 小球到小球到B点时：点时： )2( 2 1 2 1 2 1

15、 2222 0 2 00B RmImgRIv 式中式中vB表示小球在表示小球在B点时相对于地面的竖直分速度，也等于它相对于环的速度由式（点时相对于地面的竖直分速度，也等于它相对于环的速度由式（1） 得：得： 代入式（代入式（2）得）得 0 2 22 00 2 ImR RI gR B v 当小球滑到当小球滑到C点时，由角动量点时，由角动量 守恒定律，系统的角速度又回守恒定律，系统的角速度又回 复至复至 0，又由机械能守恒定律，又由机械能守恒定律 知，小球在知，小球在C的动能完全由重的动能完全由重 力势能转换而来即：力势能转换而来即： Rmgm C 2 2 1 2 v gR C 4v R A B

16、C 0 ) 1 ()( 2 000 mRII )/( 2 000 mRII 12 8. 一质量为一质量为M、长为、长为l 的均匀细棒，悬在通过其上端的均匀细棒，悬在通过其上端O且与棒垂直的水且与棒垂直的水 平光滑固定轴上，开始时自由下垂，如图所示现有一质量为平光滑固定轴上，开始时自由下垂，如图所示现有一质量为m的小泥的小泥 团以与水平方向夹角为团以与水平方向夹角为a a 的速度击在棒长为的速度击在棒长为3/4处处,并粘在其上求：并粘在其上求： (1) 细棒被击中后的瞬时角速度；细棒被击中后的瞬时角速度； (2) 细棒摆到最高点时，细棒与竖直方向间的夹角细棒摆到最高点时，细棒与竖直方向间的夹角

17、0 v O (3/4)l a 解：解：(1) 选细棒、泥团为系统泥团击中后其转动惯量为选细棒、泥团为系统泥团击中后其转动惯量为 2 2 4 3 3 1 lmMlI 在泥团与细棒碰撞过程中对轴在泥团与细棒碰撞过程中对轴O的角动量守恒的角动量守恒 aIlmcos 4 3 0 v lmM m mlMl lm 2716 cos36 16 9 3 1 4 3 cos 0 22 0 a a v v 泥团碰击前对轴泥团碰击前对轴O的的 角动量为：角动量为： ) 4 3 ( cos ) 4 3 ( cos 0 2 0 0 2 0 l lm r mrI a a v v 13 mglMgl mlMl 4 3 2

18、1 ) 16 9 3 1 ( 2 1 cos1 222 gmM lmM 7248 2716 1cos 2 1 glmMmM m 271632 cos54 1cos 22 0 2 1 av 8. 一质量为一质量为M、长为、长为l 的均匀细棒，悬在通过其上端的均匀细棒，悬在通过其上端O且与棒垂直的水且与棒垂直的水 平光滑固定轴上，开始时自由下垂，如图所示现有一质量为平光滑固定轴上，开始时自由下垂，如图所示现有一质量为m的小泥的小泥 团以与水平方向夹角为团以与水平方向夹角为a a 的速度击在棒长为的速度击在棒长为3/4处处,并粘在其上求：并粘在其上求： (1) 细棒被击中后的瞬时角速度；细棒被击中后

19、的瞬时角速度； (2) 细棒摆到最高点时，细棒与竖直方向间的夹角细棒摆到最高点时，细棒与竖直方向间的夹角 0 v O (3/4)l a 解：解：(2) 选泥团、细棒和地球为系统，选泥团、细棒和地球为系统， 在摆起过程中，机械能守恒在摆起过程中，机械能守恒 cos1 4 3 cos1 2 1 2 1 2 mglMglI mM l m l M c r 4 3 2 )cos1 ()( 2 1 2 c grmMI 14 9. 9. 长为长为l的匀质细杆，可绕过杆的一端的匀质细杆，可绕过杆的一端O O点的水平光滑固定轴转动，开始时静点的水平光滑固定轴转动，开始时静 止于竖直位置紧挨止于竖直位置紧挨O点悬

20、一单摆，轻质摆线的长度也是点悬一单摆，轻质摆线的长度也是l，摆球质量为，摆球质量为m若若 单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且摆球与细杆作完全弹性碰撞，碰撞后单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且摆球与细杆作完全弹性碰撞，碰撞后 摆球正好静止求：摆球正好静止求： (1) (1) 细杆的质量细杆的质量 (2) (2) 细杆摆起的最大角度细杆摆起的最大角度 O M m l l 解：解：(1)(1) 设摆球与细杆碰撞时速设摆球与细杆碰撞时速 度为度为v0，碰后细杆角速度为，碰后细杆角速度为 ， 系统角动量守恒，系统角动量守恒， 得：得： Ilm 0 v 由于是弹性碰撞，所以单摆的动由于是弹性碰撞，所以

21、单摆的动 能变为细杆的转动动能能变为细杆的转动动能 22 0 2 1 2 1 Imv 代入代入 2 3 1 MlI (2)(2) 由机械能守恒式由机械能守恒式 2 0 2 1 vmmgl cos1 2 1 2 1 2 MglI 并利用并利用(1)(1) 中所求得的关系可得中所求得的关系可得 3 1 arccos得得 mM3 cos1 2 1 Mglmgl cos1 2 3 m m 对摆球对摆球 对细杆对细杆 15 10. 一匀质细棒长为一匀质细棒长为2L，质量为，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑水在光滑水 平面内平动时，与前方一固定的光滑支点平面内平动时，

22、与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞。碰撞点发生完全非弹性碰撞。碰撞点 位于棒中心的一侧位于棒中心的一侧L/2处，如图所示求棒在碰撞后的瞬时绕处，如图所示求棒在碰撞后的瞬时绕O点转动的角点转动的角 速度速度 (细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为ml 2/3/3 ， 式中的式中的m和和l分别为棒的质量和长度分别为棒的质量和长度) L 2 1 L 2 1 L O 0 v 0 v 解：碰撞前瞬时，杆对解：碰撞前瞬时，杆对O O点的角动量为点的角动量为 LmLxxxx LL 0 2 0 2/ 0 0 2/3 0 0 2 1 ddvvv

23、v 或者刚体平动作为质点，对或者刚体平动作为质点，对O O点的角动量为点的角动量为 2 0 L mv 碰撞后瞬时，杆对碰撞后瞬时，杆对O点的角动量为点的角动量为 2 2 22 12 7 2 1 )2( 12 1 ) 2 1 (mLLmLmLmII C 因碰撞前后角动量守恒，所以因碰撞前后角动量守恒，所以 Lm mL 0 2 2 1 12 7 v L7 0 6v 0 x x xd 0 v md xx xmL d dd 0 0 v v 方向：方向： 式中式中 为杆的线密度为杆的线密度 16 11. .如图所示，如图所示，A和和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量两飞轮的轴杆在同一中心线上

24、，设两轮的转动惯量 分别为分别为 J10 kgm2 和和 J20 kgm2开始时，开始时，A轮转速为轮转速为600 rev/min， B轮静止轮静止C为摩擦啮合器，其转动惯量可忽略不计为摩擦啮合器，其转动惯量可忽略不计A、B分别与分别与C的的 左、右两个组件相连，当左、右两个组件相连，当C的左右组件啮合时，的左右组件啮合时，B轮得到加速而轮得到加速而A轮减速，轮减速， 直到两轮的转速相等为止设轴光滑，求：直到两轮的转速相等为止设轴光滑，求： (1) 两轮啮合后的两轮啮合后的转速转速n； (2) 两轮各自所受的两轮各自所受的冲量矩冲量矩 AB C A 解：解：(1) 选择选择A、B两轮为系统，啮

25、合过程中只两轮为系统，啮合过程中只 有内力矩作用，故系统角动量守恒有内力矩作用，故系统角动量守恒 )( BAAA III rad/s93.20 )( BA AA II I 转速转速 minrev/200 2 60 9 . 20 n (2) A轮受的冲量矩轮受的冲量矩 smN1019. 4 d 2 AA AA IItM B轮受的冲量矩轮受的冲量矩 smN1019. 4 d 2 BA ItM 负号表示与负号表示与 A方向相反方向相反 方向与方向与 A方向相反方向相反 17 12. 地球对自转轴的转动惯量是地球对自转轴的转动惯量是0.33mR2，其中，其中m是地球的质量是地球的质量 （5.98 10

26、24kg），），R是地球的半径（是地球的半径（6370 km）求地球的自转动能求地球的自转动能 由于潮汐对海岸的摩擦作用，地球自转的速度逐渐减小，由于潮汐对海岸的摩擦作用，地球自转的速度逐渐减小，每百万年自每百万年自 转周期增加转周期增加16s这样，这样，地球自转动能的减小相当于摩擦消耗多大的功率？地球自转动能的减小相当于摩擦消耗多大的功率？ 潮汐对地球的平均力矩多大？潮汐对地球的平均力矩多大？ 解题：地球的自转动能为解题：地球的自转动能为 222 k ) 2 )(33. 0( 2 1 2 1 T MRIE J102.14) 1064. 8 2 ()1037. 6()1098. 5(33. 0

27、 2 1 292 4 2624 86400606024 地球自转动能的变化率为地球自转动能的变化率为 ) d d ( )2( ) 2 ( d d ) 2 ( d d ) 2 1 ( d d d d 3 2 2 k t T T I TtT I t II tt E J/S )1015. 3(10 16 )10(8.64 4 )104 . 6()1098. 5(33. 0 7634 2 2624 )1015. 3(10)606024365(10 766 kW10-2.6J/s106 . 2 912 即相当于摩擦消耗的功率为即相当于摩擦消耗的功率为2.6 109kW，由此可以算出，一年内潮汐消，由此可

28、以算出，一年内潮汐消 耗的能量相当于我国耗的能量相当于我国1999年的发电量（年的发电量（4 1018J）的大约）的大约20倍倍 18 11. 地球对自转轴的转动惯量是地球对自转轴的转动惯量是0.33mR2，其中，其中m是地球的质量是地球的质量 （5.98 1024kg），），R是地球的半径（是地球的半径（6370 km）求地球的自转动能求地球的自转动能 由于潮汐对海岸的摩擦作用，地球自转的速度逐渐减小，每百万年自由于潮汐对海岸的摩擦作用，地球自转的速度逐渐减小，每百万年自 转周期增加转周期增加16s这样，这样，地球自转动能的减小相当于摩擦消耗多大的功率？地球自转动能的减小相当于摩擦消耗多大的功率？ 潮汐对地球的平均力矩多大？潮汐对地球的平均力矩多大？ 即相当于摩擦消耗的功率为即相当于摩擦消耗的功率为2.6 109kW，由此可以算出，一年内潮汐消，由此可以算出，一年内潮汐消 耗的能量相当于我国耗的能量相当于我国1999年的发电量（年的发电量（4 1018J）的大约）的大约20倍倍 潮汐作用对地球的平均力矩为潮汐作用对地球的平均力矩为 t T T I Tt I t IIM d