第3章：多自由度振动3

1、STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 3.3 频率方程的零根和重根情形 看右图示例子，其 刚度矩阵和质量矩 阵为 一.零根情形 11 1122 22 0 0 kk Kkkkk kk 1 2 3 00 00 00 m Mm m 代入频率方程 可解得 2 0KM 1 0 请你思考：造成固有频率为零的数学原因和物理 原因是什么？ STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 2 0KM 一般说来，将0 代入频率方程 导出0K 可见，从数学的角度来看，造成频率方程有零根的 充分必要条件是0K 由于刚度矩阵的行列式值等于零，所以此时刚度矩 阵为奇异矩阵，即：此时柔度矩阵不存在

2、。 仔细观察刚才的系统，发 现它没有外界的约束，系 统可以含有任意的刚体位 移，因此，要求系统的柔 度矩阵是不可能的。 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 因此，从物理的角度来看，造成频率方程有零根的充 分必要条件是：系统含有刚体位移。 上述系统称为半正定系统。 1 0 假定相应的主坐标方程为 1 0 P x 1P xatb 积分得 表明此主振动转化为随时间t匀速增大的刚体位移 系统的刚体自由度可以利用模态的正交性条件消除 设 (1) 为零固有频率对应的刚体位移模态 正交性条件要求 (1)( ) 0 Ti M (2,3, )in 为系统的除刚体位移之外的其它模态 ( ) i

3、 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 将上式各项乘以与 )(i 相应的主坐标 Pi x 并对i=2至n求和 ( ) 2 n i Pi i xx 令 为系统消除刚体位移后的自由振动，导出以下约束条件 (1) 0 T Mx 利用此约束条件可消去系统的一个自由度，得到不 含刚体位移的缩减系统。缩减系统的刚度矩阵不再 奇异 例例4 4 讨论两端自由的轴上三个圆 盘的扭转振动。各盘绕转动轴的 转动惯量分别为J，2J和J，轴的 抗扭刚度均为k。 1 2 3 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 解解 以 1 ， 2 ，3 为广义坐标，系统的动能和势能分别为 ),2(

4、2 1 2 3 2 2 2 1 JT 2 32 2 21 )()( 2 1 kV 1 2 3 代入拉氏方程，导出动力学方程为 0 Kxx M 100 020 001 MJ 其中 110 121 011 Kk 1 2 3 x 直接验证可知 0K 刚度矩阵为半正定 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 系统的本征方程为 2 2222 2 0 2()2()(2 )0 0 kJk kkJkJJkJk kkJ 解出固有频率 1 0 2 k J 3 2k J 并可计算出相应模态 (1) 1 1 1 (2) 1 0 1 (3) 1 1 1 其中与零频率对应的一阶模态为刚体转动，其模态示 意

5、图见下面 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 系统模态 111 1 -1 1 1 -1 为消去刚体转动自由度，将刚体转 动模态代入 (1) (1) 0 T Mx 导出如下的约束条件 123 20JJJ 解出 123 2 将解出的再代入系统的动能 和势能得到 1 22 2233 (32)TJ 22 2233 52Vk 代入拉氏方程，缩减系统的质量矩阵和刚度矩阵 31 2 11 MJ 51 2 11 Kk STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 缩减后的刚度矩阵为正定矩阵，对应的本征方程为 22 22 22 53 2()(2 )0 kJkJ JkJk kJkJ

6、解出缩减系统的频率和模态为 2 k J 3 2k J (2) 0 1 (3) 1 1 缩减系统与未缩减系统的计算结果完全相同 注：缩减系统的动力学方程也可以将约束方程直接 代入原来的未缩减系统动力学平衡方程得到 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 二.重根情形 在复杂系统中会出现某些特征值非常接近甚至相等的 现象，如柔性航天结构。 下面讨论特征值重根时系统的模态和其正交问题 12 不失一般性，假设 则在计算与该频率相对应的模态时，振幅方程组中 会有两个方程不独立 将A的最后两个元素 n A 1n A 的有关项移至等号右端 和 22 1111111,211,22 22 1,1

7、11,111,11, 22 2,111,112,212,22 22 2,112,112,12, ()() ()() ()() ()() nnn nnnnnn nnnnnnnn nnnnnnnnn kmAkmA kmAkmA kmAkmA kmAkm n A STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 任意给定 1n A ， n A两组线性独立的值 )1( 1n A， )1( 1n A 和 )2( 1n A， )2( 1n A 比如令 (1) 1 (1) 1 0 n n A A (2) 1 (2) 0 1 n n A A 从前面方程组解出其余 n-2个(1,2, ) j Ajn 的两

8、组解 记作 (1)(1)(1)(2)(1) 122 (2)(2)(2)(2)(2) 122 (10) (01) T n T n A A 此组合的第1、第2阶模态显然不是唯一的,也不是正交 的。为 保证它们之间满足正交性条件，令 (2)(2)(1) Ac (2)(1) c 也是原方程组的解 显然 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES (2)(1) c 与令 (1) 正交 (1)(2)(1) ()0 T Mc 解出待定常数 (1)(2) (1)(2) (1)(1) 1 1 () T T T P M cM M M 从而得到相互独立且正交的第1、第2阶模态。 思考：这样求得的前两阶模

9、态与其余的n-2个模态 是否正交？为什么？ 例例 讨论图示由等刚度弹簧支承 的质点的平面运动，设质点 的质量为m ，弹簧的刚度均 为k/2 。 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 解解 系统的动力学方程为 0mxkx 0myky 本征方程为 22 ()0km 固有频率为 12 k m 取模态为 (1) 10 T (2) 01 T 满足正交性条件 取模态为 (1) 11 T (2) 11 T 也满足正交性条件 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 3.4 多自由度系统在简谐激励下的受迫振动 回顾:单自由度系统的受迫振动 11 sinmycykyFt 或 2

10、2sin F yyyt m ( )sin()y tAt st Ay /s2 2 tan 1 s s 2222 1 (1)4ss 2 st F y m 稳态解为 其中 若不考虑阻尼,则稳态解为 ( )siny tAt st Ay /s 2 1 1s 2 st F y m STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 设n自由度系统沿各个广义坐标均受到频率和相位相同 的广义简谐力的激励 ，为简单起见，先不计阻尼影响 系统的受迫振动方程 0 sinMxKxFt 其中x为位移向量. 为激励频率 0 F为广义激励力的幅值向量 001020 ()T n FFFF 设动力方程的稳态解为 sinxX

11、t 其中X为受迫振动振幅组成的列阵 12 ()T n XXXX 代入动力方程导出 2 0 ()KM XF 记 21 ( )()HKM 0 XHF 一.按刚度法求解 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 0 sinxHFt 于是有 结论 2 21 2 () ( )() det() adj KM HKM KM 因 0 2 MK为系统的特征方程 而 故: 激励频率接近系统的任何一个固有频率都会使受迫振 动的振幅无限增大而引起共振 在求得结构的振幅之后，若要计算结构的最大内力， 可将最大惯性力和最大干扰力同时作用在结构上， 然后按静力问题求解 STDU DYNAMICS OF STR

12、UCTURES 例例 1 m 1 k0 sinFt 2 m 2 k 1 k设刚度系数为的弹簧支承的物体 1 m 上受到简 0 sinFt 2 m 2 k 谐力 此物体上安装由小物体 和刚度系数为 试证明在一定条件下吸振器能消除 1 m物体的受迫振动 的激励。 的弹簧组成的吸振器 解解 sinMxKxFt 1 2 0 0 m M m 122 22 kkk K kk 1 2 x x x 0 0 F F 动力方程为: 令: 12 ()TXXX sinxXt 代入动力方程后得到 2 0 ()KM XF STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 计算复频响应矩阵 2 21222 22 21

13、21 1 () () kmk HKM kkkm 22 ()KM 其中 导出受迫振动的振幅 2 220 02 2 () kmF XHF k 显然,当 2 m 2 k和 满足如下条件时 2 22 /km 1 0X 可以得到 这表明:处于共振状态的吸振器, 2 m 激励力平衡，从而吸收了外界激励的全部能量，使 1 m 物体的振动抑制为零。 的惯性力恰好与 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 例题 三层刚架。质量、侧移刚度及动荷载如图所示， p(t)=100sint kN。每分钟振动200次。略去横梁变形。试求 该刚架各层振幅值及各层柱的剪力幅值。 2 A KMKMF将、代入方程：

14、 tm315 1 tm270 2 tm180 3 mMNk/ 245 1 mMNk/ 196 2 mMNk/ 98 3 )t (p 4.5 -2 01.75 0 0 98/-2 3 -1 M180 0 1.5 0 0 -1 1 0 0 1 KMN mt 解：（一）求各楼层的振幅： 2 2200 1 20.96 6060 p np s 1 23 2 3 0 4.5 -2 01.75 0 0 98/-2 3 -1(20.96)180 0 1.5 0100 10 0 -1 1 0 0 10 A MN mtA A STDU DYNAMICS OF STRUCTURES （二）求动内力值： N89187

15、)10130. 1()96.20(10180I N26045)10220. 0()96.20(10270I N1975)10143. 0()96.20(10315I 3230 3 3230 2 3230 1 kN187.89 kN045.26 kN751.19 kN100 44.594 7.616 17.492 Q图（图（kN) 位移（位移（cm.) 130. 1 220. 0 143. 0 动动M图（图（kN.m) )( h EI6 23 2 3 3 )( h EI6 12 2 2 2 1 2 1 1 h EI6 .m 10130. 1A 10220. 0A 10143. 0A 3 3 3

16、2 3 1 解方程，得：解方程，得： STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 二.按柔度法求解 运动方程 设达到稳态后，各质点按干扰力频率作简谐振动： 2 sin tsin t F sin tMAA sin MYYFt 2 IMAF sin tyA 2 sin yAt 代入动力方程得 也可写成 22 11 - 0MIAF 若动力荷载不是直接作用在结点上，则以 iP F代替 22 11 - 0 P MIA STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 在平稳阶段,各质点作简谐振动,振动频率与荷相同 22 11 - 0 P MIA 02 I FMA 10 2 1 I AM

17、F 20 ( )sinsin IiiiiiIi F tmymAtFt各质点的惯性力为 各质点的惯性力的幅值为 02 Iiii Fm A 惯性力的幅值向量为 代入方程 整理得 1 0 2 1 -0 IP MF 利用以上二式可以求得结构振动的振幅向量和惯性 力的幅值向量 与刚度法一样，若要计算结构的最大内力，可将最 大惯性力和最大干扰力同时作用在结构上，然后按 静力问题求解 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 1 m 2 m EI tPsin 3/l3/l3/l 例：求图示体系的稳态振幅、动弯矩幅值图。例：求图示体系的稳态振幅、动弯矩幅值图。 , 21 mmm 3 415. 3

18、 ml EI 已知：已知： 1 y 2 y 解：解： 3 1221 7 486 l EI 3 1122 8 486 l EI 200 111112211 (1/)0 II mFFP 020 211222221 (1/)0 II FmFP 00 12 0.06930.01440.01650 II FFP 00 12 0.01440.06930.01440 II FFP 0 1 0.2936 I FP 0 2 0.2689 I FP EIPlA/02517. 0 3 1 EIPlA/02306. 0 3 2 1 I 2 I P 1 A 2 A P2689.0 P2936.1 Pl3173.0 Pl

19、2035.0 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 利用对称性可简化计算利用对称性可简化计算 m tPsin m t P sin 2 t P sin 2 t P sin 2 t P sin 2 对称荷载对称荷载 t P sin 2 1 3/ l EIl /03087. 0 3 11 32 /394.32mlEI 32 /662.11mlEI 5625. 1 EIPlyst/015435. 0 3 EIPlA/024117. 0 3 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 反对称荷载反对称荷载 t P sin 2 1 9/ l EIl /00206. 0 3 1

20、1 32 /003.486mlEI 32 /662.11mlEI 0246. 1 EIPlyst/0103. 0 3 EIPlA/00106. 0 3 反对111 AAAEIPl /025177. 0 3 反对222 AAAEIPl /023057. 0 3 质量1处的静位移 EI lF Fy p ppst 243 4 3 1111 质量1的位移动力系数 529. 1 1 1 1 st y y Y 质量1处的静弯矩 9 2 1 lF M p st 质量1的弯矩动力系数 428. 1 1 max1 1 st M M M 结论 在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。 STDU DYNAMICS

21、 OF STRUCTURES 10.8.5 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 10.8.6 10.8.6 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 10.8.7 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 直接解法:只适合于外部激励为同步的简谐激励 模态叠加法:适合于外部激励为任意激励 ( ) 1 n i PiP i xxx 12 ()T PPPPn xxxx 12 ()T n xxxx ( )MxKxF t 动力方程 坐标变换 主坐标 几何坐标向量 ( )( )( )iii 振型矩阵 12 ()T n FFFF 其中 荷载向量 3.5 多自由度

22、系统在任意激励下的受迫振动 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES PPPPP M xK xF 坐标变换式代入动力方程，并两边左乘 T 得到 12 () TT PPPPn FFFFF 其中 1 () T PPPn MMdiag MM 1 () T PPPn KKdiag KK 主坐标形式的动力学方程显然是解耦的，即 PjPjPjPjPj M xK xF (1,2,)jn ( )Tj pj FF 可利用杜哈梅积分求出各主坐标的受迫振动特解 0 1 ( )( )sin() (0) (0)cossin t PjPii Pii Pj Pjii i xtFtd M x xtt (1,2,

23、)jn STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 模态叠加（振型分解)法计算步骤 1.确定体系的自振频率和主振型； 2.求广义质量，广义荷载； 3.求广义坐标； 4.求质点位移。 例：求图示结构在突加荷载 作用下的位移 0 F L/ 3 y( t) 1 L/ 3L/ 3 m =m 1 12 m =m y( t) 2 1p F 解 12 33 5.69222.045 EIEI mlml 确定自振频率和主振型 主振型 (1)(2) 11 11 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 求广义质量、广义荷载 (1)(1) 1 (2)(2) 2 2 2 T P T P MM

24、m MMm 0(1) 10 0(2) 20 ( ) ( )1 1 0 ( ) ( )11 0 T P T P F FtF tF F FtF tF 111 2 0 111 1 ( )sin()(1 cos) 2 t P P F xtFtdt Mm 222 2 0 222 1 ( )sin()(1 cos) 2 t P P F xtFtdt Mm 求广义坐标 PiPiPiPiPi M xK xF 求质点位移 P yx 11212 2 1 21212 2 1 ( )( )( )(1cos)0.067(1cos) 2 ( )( )( )(1cos)0.067(1cos) 2 PP PP F y txt

25、xttt m F y txtxttt m STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 可见，第一主振型对位移的影响远大于第二主振型的 影响。多自由度体系位移计算时，由于高阶振型分量 影响很小，故通常只计算前23个振型的影响即可。 例.求图示体系在突加荷载作用下的位移反应. 解: 1 2 k 1 EI 1 EI 1 k 2kNP8 已知: ;102;103 3 2 3 1 kNkkNk ;10200 21 kgmmm 加荷前静止。 ss/125.24;/1899. 9 21 1 1 2 2 1 1/2 1 11 51000 T P MMkg 2 22 12750 T P MMkg S

26、TDU DYNAMICS OF STRUCTURES 1 11 0 11 ( ) ( )sin() t P P P F xttd M 1 1 11 (1cos) P P F t M )cos1(0032.0 1t 22 ( )0.000534(1cos) P xtt 1 12 2 ( )11 ( )( ) ( )21/ 2 PP y t xtxt y t 112 0.002670.0032cos0.000534cosytt 212 0.006670.0064cos0.000267cosytt 1 1 0 ( )( )1216 8 T P FtF tkN 2 2 ( )( )4 T P FtP

27、tkN STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 3.6 有阻尼的受迫振动 一.多自由度系统的阻尼 阻尼力的机理很复杂，难以给出恰当的数学描述 通常等效为粘性阻尼 1 n diijj i Fc x (1,2,)jn ij c 粘性阻尼系数 系统仅沿第j个坐标有单位速度 时，沿第i个坐标必须施加的力 二. 动力学方程 利用拉格朗日方程，可以得到系统的动力学方程 1 ( ) n ijjijjijji j m xc xk xF t (1,2,)jn STDU DYNAMICS OF STRUCTURES ( ) 1 n i PiP i xxx 12 ()T PPPPn xxxx 12 ()T n xxxx ( )MxCxKxF t 写成矩阵形式 仍然利用振型叠加法 主坐标 几何