同济六版高数下教案

1、 第十章 重积分【教学目标与要求】1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。4.会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。【教学重点】1.二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；2.三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。3.二、三重积分的几何应用及物理应用。【教学难点】1.利用极坐标计算二重积分；2.利用球坐标计算三重积分；3.物理应用中的引力问题。10. 1 二重积分的概念与性质教学内容：二重积分的概念及

2、性质重点难点：二重积分的概念及性质一、引例 1. 曲顶柱体的体积V设有一立体, 它的底面是xOy面上的闭区域D, 其侧面为母线平行于z轴的柱面, 其顶是曲面z=f(x, y)非负连续. 称为曲顶柱体. 若立体的顶是平行于xoy面的平面。体积=底面积高现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. （i）分割：用任意曲线网把D分成n个小区域 ： Ds 1, Ds 2, , Ds n . 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体. （ii）代替：在每个Ds i中任取一点(x i , h i), 以f (x i , h i)为高而底为Ds i

3、的平顶柱体的体积为 f (x i , h i) Dsi (i=1, 2, , n ). （iii）近似和： 整个曲顶柱体体积V . 分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得无限细, 则右端近似值会无限接近于精确值V. （iv）取极限：其中的直径是指中相距最远的两点的距离。则. 其中2. 平面薄片的质量. 当平面薄板的质量是均匀分布时, 质量 = 面密度面积.若平面薄板的质量不是均匀分布的. 这时, 薄板的质量不能用上述公式算, 应如何算该薄板的质量M?设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D, 它在点(x, y)处的面密度为, 这里非负连续. 现在要计算该薄片的质量M. （i）分

4、割：用任意一组曲线网把D分成n个小区域： Ds 1, Ds 2, , Ds n . （ii）代替：把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量: m(x i , h i)Ds i . （iii）近似和： 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值: . 将分割加细, 取极限, 得到平面薄片的质量（iv）取极限： 则 . 两个问题的共性：(1) 解决问题的步骤相同：“分割, 代替, 近似和,取极限”(2) 所求量的结构式相同曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 二、二重积分的定义及可积性 定义： 设f(x, y)是有界闭区域D上的有界函数. 将闭区域D任意分成n个小闭区域 Ds 1, Ds 2, , Ds

5、n . 其中Ds i表示第i个小区域, 也表示它的面积. 在每个Ds i上任取一点(x i, hi), 作和 . 如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在闭区域D上的二重积分, 记作, 即 .f(x, y)被积函数, f(x, y)ds被积表达式, ds面积元素, x, y积分变量, D积分区域, 积分和. 直角坐标系中的面积元素: 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D, 那么除了包含边界点的一些小闭区域外, 其余的小闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域Dsi的边长为Dxi和Dyi, 则Dsi=DxiDyi, 因此在直角坐标

6、系中, 有时也把面积元素ds 记作dxdy, 而把二重积分记作 其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素. 二重积分的几何意义: 如果f(x, y)0, 被积函数f(x, y)可解释为曲顶柱体的在点(x, y)处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f(x, y)是负的, 柱体就在xOy 面的下方, 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的. 说明：当函数f(x, y)在闭区域D上连续时, 则f(x, y) 在D上的二重积分必存在。于是我们总假定函数f(x, y)在闭区域D上连续，所以f(x, y) 在D上的二重积分都是存在的。例1.利用二重积分定义计算：，其中

7、。三. 二重积分的性质 设D为有界闭区域，以下涉及的积分均存在。性质1 . 性质2 设k为常数，则性质3 ，其中(为D的面积). 性质4 设，且无公共内点，则 . 性质5.若在D上, f(x, y)g(x, y), 则 . 特殊：（1）若在D上，则 （2） . 这是因为 性质6 设M、m分别是f(x, y)在闭区域D上的最大值和最小值, 为D的面积, 则 . 性质7(二重积分的中值定理) 设函数f(x, y)在闭区域D上连续, s 为D的面积, 则在D上至少存在一点，使 . 例2.比较下列积分的大小：，其中小结1.二重积分的定义：，2. 二重积分的性质（与定积分性质相似）教学方式及教学过程中应

8、注意的问题在教学过程中要注意二重积分的定义，性质以及应用，并且要与定积分的定义、性质进行比较，要结合实例，反复讲解。作业 P137: 4（1）（3），5（1）（4）10. 2 二重积分的计算法教学内容：二重积分的计算重点难点：区域类型的划分、利用极坐标计算 一、利用直角坐标计算二重积分 X-型区域: D : j1(x)yj2(x), axb . Y -型区域: D : y1(x)yy2(x), cyd . 混合型区域: 设f(x, y)0, D=(x, y)| j1(x)yj2(x), axb. 此时二重积分在几何上表示以曲面z=f(x, y)为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积. 对于x0a

9、, b, 曲顶柱体在x=x0的截面面积为以区间j1(x0), j2(x0)为底、以曲线z=f(x0, y)为曲边的曲边梯形, 所以这截面的面积为 . 根据平行截面面积为已知的立体体积的方法, 得曲顶柱体体积为 . 即 V=. 可记为 . 类似地, 如果区域D为Y -型区域: D : y1(x)yy2(x), cyd , 则有 . 例1. 计算, 其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域. 解: 画出区域D. 方法一. 可把D看成是X-型区域: 1x2, 1yx . 于是. 注: 积分还可以写成. 解法2. 也可把D看成是Y-型区域: 1y2, yx2 . 于是. 例2. 计算, 其中

10、D是由直线y=1、x=-1及y=x所围成的闭区域. 解 画出区域D, 可把D看成是X-型区域: -1x1, xy1. 于是 . 也可D看成是Y-型区域：-1y1, -1xy . 于是 . 例3 计算, 其中D是由直线y=x-2及抛物线y2=x所围成的闭区域. 解 积分区域可以表示为D=D1+D2, 其中; . 于是 . 积分区域也可以表示为D: -1y2, y2xy+2. 于是 . 讨论积分次序的选择. 例4 求两个底圆半径都等于r的直交圆柱面所围成的立体的体积. 解 设这两个圆柱面的方程分别为 x2+y2=r 2及x2+z2=r 2. 利用立体关于坐标平面的对称性, 只要算出它在第一卦限部分

11、的体积V1, 然后再乘以8就行了. 第一卦限部分是以D=(x, y)| 0y, 0xr为底, 以顶的曲顶柱体. 于是 . 二. 利用极坐标计算二重积分 有些二重积分, 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便, 且被积函数用极坐标变量r 、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分. 按二重积分的定义. 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式. 以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域, 小闭区域的面积为: , 其中表示相邻两圆弧的半径的平均值. 在Dsi内取点, 设其直角坐标为(x i, h i), 则有 , . 于

12、是 , 即 . 若积分区域可表示为j 1(q)rj 2(q), aqb, 则 . 讨论:如何确定积分限? . . 例5. 计算, 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域. 解 在极坐标系中, 闭区域D可表示为 0ra , 0q 2p . 于是 . 注: 此处积分也常写成. 利用计算广义积分: 设D1=(x, y)|x2+y2R2, x0, y0, D2=(x, y)|x2+y22R2, x0, y0,S=(x, y)|0xR, 0yR. 显然D1SD2. 由于, 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式 . 因为 , 又应用上面已得的结果有 , ,于是上面的不等式可写成. 令R+

13、, 上式两端趋于同一极限, 从而. 例6 求球体x2+y2+z24a2被圆柱面x2+y2=2ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积. 解 由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍. , 其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域. 在极坐标系中D可表示为 0r2a cosq , . 于是 . 小结1.二重积分化为累次积分的方法；2. 积分计算要注意的事项。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意二重积分化为累次积分的方法：分直角坐标和极坐标，以及在计算时要注意事项，要结合实例，反复讲解。作业 P154: 1 (2), (4); 2 (1), (3); 6 (2), (4); 12 (1

14、), (3); 13 (3), (4); 14 (1), (2)；15（1）（2）10.3 三重积分教学内容：三重积分的概念及其计算重点难点：三重积分的计算一、三重积分的概念 定义 设f(x, y, z)是空间有界闭区域W上的有界函数. 将W任意分成n个小闭区域： Dv1, Dv2, , Dvn 其中Dvi表示第i个小闭区域, 也表示它的体积. 在每个Dvi上任取一点(xi, hi, zi), 作乘积f(x i, h i, z i)Dvi(i=1, 2, , n)并作和. 如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y, z)在闭区域W上的三重积

15、分, 记作. 即 . 三重积分中的有关术语: 积分号, f(x, y, z)被积函数, f(x, y, z)dv被积表达式, dv体积元素, x, y, z积分变量, W积分区域. 在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的平面来划分W, 则Dvi=Dxi DyiDzi , 因此也把体积元素记为dv =dxdydz, 三重积分记作 . 当函数f (x, y, z)在闭区域W上连续时, 极限是存在的, 因此f(x, y, z)在W上的三重积分是存在的, 以后也总假定f(x, y, z)在闭区域W上是连续的. 三重积分的性质: 与二重积分类似. 比如 ; ; , 其中V为区域W的体积. 二、三重积分的

16、计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 三重积分的计算: 三重积分也可化为三次积分来计算. 设空间闭区域W可表为 z1(x, y)zz2(x, y), y1(x)yy2(x), axb, 则 , 即 . 其中D : y1(x) y y2(x), axb. 它是闭区域W在xOy面上的投影区域. 提示: 设空间闭区域W可表为 z1(x, y)zz2(x, y), y1(x)yy2(x), axb, 计算. 基本思想: 对于平面区域D: y1(x)yy2(x), axb内任意一点(x, y), 将f(x, y, z)只看作z的函数, 在区间z1(x, y), z2(x, y)上对z积分, 得到一个二元

17、函数F(x, y), , 然后计算F(x, y)在闭区域D上的二重积分, 这就完成了f(x, y, z)在空间闭区域W上的三重积分. , 则 . 即 . 其中D : y1(x) y y2(x), axb. 它是闭区域W在xOy面上的投影区域. 例1 计算三重积分, 其中W为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域. 解 作图, 区域W可表示为: 0z1-x-2y, , 0x1. 于是 . 讨论: 其它类型区域呢? 有时, 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分. 设空间闭区域W=(x, y, z)|(x, y)Dz, c1 zc2, 其中Dz是竖坐标为z 的平

18、面截空间闭区域W所得到的一个平面闭区域, 则有 . 例2 计算三重积分, 其中W是由椭球面所围成的空间闭区域. 解 空间区域W可表为: , -c zc. 于是 . 练习： 例3. 将三重积分化为三次积分, 其中 (1)W是由曲面z=1-x2-y2, z=0所围成的闭区域. (2)W是双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0, z=0所围成的闭区域. (3)其中W是由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所围成的闭区域. 例4. 将三重积分化为先进行二重积分再进行定积分的形式, 其中W由曲面z=1-x2-y2, z=0所围成的闭区域. 2. 利用柱面坐标计算三重积分 设M(x, y, z)为空间内一点

19、, 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P(r, q ), 则这样的三个数r、q 、z就叫做点M的柱面坐标, 这里规定r、q 、z的变化范围为: 0r+, 0q 2p , -z+. 坐标面r=r0, q =q 0, z=z0的意义: 点M 的直角坐标与柱面坐标的关系: x=rcosq, y=rsinq, z=z . 柱面坐标系中的体积元素: dv=rdrdqdz. 简单来说, dxdy=rdrdq , dxdydz=dxdydz=rdrdq dz. 柱面坐标系中的三重积分: . 例5利用柱面坐标计算三重积分, 其中W是由曲面z=x2+y2与平面z=4所围成的闭区域. 解 闭区域W可表示为:

20、 r2z4, 0r2, 0q2p. 于是 . 3. 利用球面坐标计算三重积分 设M(x, y, z)为空间内一点, 则点M也可用这样三个有次序的数r、j、q 来确定, 其中r为原点O与点M间的距离, j为与z轴正向所夹的角, q为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角, 这里P为点M在xOy面上的投影, 这样的三个数r、j 、q 叫做点M的球面坐标, 这里r、j、q 的变化范围为 0r+, 0jR)处的单位质量的质点的引力. 解 设球的密度为r0, 由球体的对称性及质量分布的均匀性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z轴的分量为 ,其中为球的质量. 上述结果表明: 匀质球对球外一质点的引力如

21、同球的质量集中于球心时两质点间的引力.小结1.曲面面积的计算；2. 质心的计算；3. 转动惯量的定义和求解。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意曲面面积的计算，质心的计算，转动惯量的定义和求解，要结合实例，反复讲解。作业 P175: 1，2，4（1），7（1）第十一章 曲线积分与曲面积分教学目的：1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。2. 掌握计算两类曲线积分的方法。3. 熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。4. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯

22、托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。5. 知道散度与旋度的概念，并会计算。6 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。 教学重点:1、 两类曲线积分的计算方法；2、 格林公式及其应用；3、 两类曲面积分的计算方法；4、 高斯公式、斯托克斯公式；5、 两类曲线积分与两类曲面积分的应用。 教学难点：1、 两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；2、 对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3、 应用格林公式计算对坐标的曲线积分；4、 应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；5、 应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。11.1 对弧长的曲线积分教学内容：对弧长的曲线积分的概念与性质及计算重点难点：

23、对弧长的曲线积分的概念与计算 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量: 设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上, 已知曲线形构件在点(x, y)处的线密度为m(x, y). 求曲线形构件的质量. 把曲线分成n小段, Ds1, Ds2, , Dsn(Dsi也表示弧长); 任取(xi , hi)Dsi, 得第i小段质量的近似值m(xi , hi)Dsi; 整个物质曲线的质量近似为; 令l=maxDs1, Ds2, , Dsn0, 则整个物质曲线的质量为 . 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧, 函数f(x, y)在L上有界.

24、在L上任意插入一点列M1, M2, , Mn-1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为Dsi, 又(xi, hi)为第i个小段上任意取定的一点, 作乘积f(xi, hi)Dsi, (i=1, 2, , n ), 并作和, 如果当各小弧段的长度的最大值l0, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作, 即. 其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段. 设函数f(x, y)定义在可求长度的曲线L上, 并且有界. 将L任意分成n个弧段: Ds1, Ds2, , Dsn, 并用Dsi表示第i段的弧长; 在每一弧段Dsi上任取一点

25、(xi, hi), 作和; 令l=maxDs1, Ds2, , Dsn, 如果当l0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作, 即 . 其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段. 曲线积分的存在性: 当f(x, y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分是存在的. 以后我们总假定f(x, y)在L上是连续的. 根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分的值, 其中m(x, y)为线密度. 对弧长的曲线积分的推广: . 如果L(或G)是分段光滑的, 则规定函数在L(或G)上的曲线积分等于函数在光滑的各

26、段上的曲线积分的和. 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2, 则规定 . 闭曲线积分: 如果L是闭曲线, 那么函数f(x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 . 对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c1、c2为常数, 则 ; 性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2, 则 ; 性质3设在L上f(x, y)g(x, y), 则 . 特别地, 有 二、对弧长的曲线积分的计算法 根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L的线密度为f(x, y), 则曲线形构件L的质量为 . 另一方面, 若曲线L的参数方程为x=j(t), y=y (t) (atb),则质量元素为 , 曲线的质量为

27、 . 即 . 定理 设f(x, y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为 x=j(t), y=y(t) (atb), 其中j(t)、y(t)在a, b上具有一阶连续导数, 且j2(t)+y2(t)0, 则曲线积分存在, 且 (ab). 证明（略） 应注意的问题: 定积分的下限a一定要小于上限b. 讨论: (1)若曲线L的方程为y=y(x)(axb), 则=?提示: L的参数方程为x=x, y=y(x)(axb), . (2)若曲线L的方程为x=j(y)(cyd), 则=?提示: L的参数方程为x=j(y), y=y(cyd), . (3)若曲G的方程为x=j(t), y=y(t), z=w(t)(atb), 则=? 提示: . 例1 计算, 其中L是抛物线y=x2上点O(0, 0)与点B(1, 1)之间的一段弧. 解 曲线的方程为y=x2 (0x1), 因此 . 例2 计算半径为R、中心角为2a的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量