西安交大复变函数课件6-4几个初等函数所构成的映射教学课件

1、 4 2 0 )3 0 n 角形域角形域 0 0 n 角角形形域域 . 0 倍倍来的来的 射变为原射变为原处角形域的张角经过映处角形域的张角经过映即在即在 n z ) 0 ) 0 n 0 )(w 0 )(z .0 ,2 ,处没有保角性处没有保角性在在映射映射时时当当因此因此 zzwn n 5 0 )(z 特殊地特殊地: 2 0 n 角角形形域域 20 角角形形域域 ) n 2 00 映映射射成成正正实实轴轴的的上上岸岸 2 2 映映射射成成正正实实轴轴的的下下岸岸 n 上岸上岸 )(w 0 沿正实轴剪开的沿正实轴剪开的w平面平面 下岸下岸 6 映射特点映射特点:把以原点为顶点的角形域映射成以原

2、把以原点为顶点的角形域映射成以原 点为顶点的角形域点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的但张角变成为原来的 n 倍倍. 4 arg0 映射成单位圆映射成单位圆求把角形域求把角形域 z . 1的一个映射的一个映射 w 0 )(z ) 4 ? 0 )(w ? 如果要把角形域映射成角形域，常利用幂级数如果要把角形域映射成角形域，常利用幂级数. 例例1 1 7 解解 4 z i i w iz iz w 4 4 0 )(z ) 4 0 )(w 0 )( 因此所求映射为因此所求映射为: 8 2 C 1 C 0 )(z 21 所所围围成成的的交交角角为为与与求求把把下下图图中中由由圆圆弧弧CC arg 00

3、 的一的一的月牙域映射成角形域的月牙域映射成角形域 z 个映射个映射. 0 )(w 0 ? ? 例例2 2 9 0 )( 解解 i 2 C 1 C 0 )(z 1 , 21 iiCC 的的交交点点为为与与 , 0 iz, iz i 实现此步的映射是分式线性函数实现此步的映射是分式线性函数: . 为为待待定定的的复复常常数数其其中中k iz iz k iz iz k 10 1 z此映射将此映射将 , 1 , 使使取取ik . 1 平平面面上上的的正正实实轴轴则则 C . .arg0 ,根根据据保保角角性性:月牙域被映射成角形域月牙域被映射成角形域 0 )( i 2 C 1 C 0 )(z 1 i

4、 iz iz k . 1 1 ik i i k i 11 0 )( i 2 C 1 C 0 )(z 1 i iz iz i . 0 )(w 0 0 逆时针旋转逆时针旋转 0i ew 因此所求映射为因此所求映射为: iz iz iew i 0 iz iz e i) 2 ( 0 12 B D . )(ihaC a )Im(0 ,)Re( 的的上上求求把把具具有有割割痕痕hzaz .的一个映射的一个映射半平面映射成上半平面半平面映射成上半平面 分析分析: 关键点是将垂直于关键点是将垂直于x轴的割痕的两侧跟轴的割痕的两侧跟x轴轴 之间的夹角展平之间的夹角展平. 2 zw 映映射射可可利利用用 0 )(

5、z 0 )(w ? ? 例例3 3 13 解解 如图所示如图所示: 0 )(z B D . )(ihaC a azz 1 0 )( 1 z B D .ih C 2 12 zz 0 )( 2 z B D . C 2 h 0 )( 3 z B D . C 2 h 2 23 hzz 14 0 )(z B D . )(ihaC a 0 )( 3 z B D . C 2 h 0 )( 4 z BDC h . . h azw 4 0 )(w BDC ha . . ha . 34 zz ahazw 22 )( 解解 如图所示如图所示: 15 二、指数函数二、指数函数 z ew )( z ew因因为为 , ,

6、 i ewiyxz 设设 , , ye x 那末那末 平面平面z平平面面w z ew wzln , 0 z e .的共形映射的共形映射 平面上平面上所构成的映射是一个全所构成的映射是一个全所以由所以由 z ew 16 常数常数直线直线 x 常常数数圆圆周周 0 )(z 0 )(w 1) 常数常数直线直线 y 常常数数射射线线 0 )(z 0 )(w 2) 17 0 )(z 0 )(z )(w 0 0 )(w 特殊地特殊地: az )Im(0 )3 带形域带形域 )20( a aw arg0 角角形形域域 ai i 2 18 ? ? 映射特点映射特点: )Im(0 映射成映射成把水平的带形域把水

7、平的带形域az .arg0aw 角形域角形域 如果要把带形域映射成角形域如果要把带形域映射成角形域, , 常利用指数函数常利用指数函数. . )Im(0 映映射射成成单单位位圆圆求求把把带带形形域域 z 1 . w 的一个映射 解解 )Im(0z 0)Im( 上上半半平平面面 1w z e i i w ie ie w z z 例例4 4 19 i a b . 0)Im(的一个映射w 解解 0 )(z 0 )( 0 )(w )( az ab i ew ? ? )(az ab i ew )Re( 映射成上半平面求把带形域bza 例例5 5 20 三、小结与思考三、小结与思考 本课我们学习了幂函数、指数函数的映射特本课我们学习了幂函数、指数函数的映射特 点点, 将分式线性映射与初等函数相结合将分式线性映射与初等函数相结合, 求一些求一些 边界由圆周、圆弧、直线、直线段所围区域的边界由圆周、圆弧、直线、直线段所围区域的 共形映射问题是本章的难点共形映射问题是本章的难点. 21 思考题思考题 . 0)Im( )Im( . 2 的一个映射 映射成下半平面求把带形域 w bza . 0)Im( )Im( . 1 的一个映射 映射成上半平面求把带形域 w bza .