高一寒假(清北班)资料3(数列的概念)

1、专题三：数列的概念序：本章注意培养：观察归纳思想、递推思想、等价转化思想、函数思想解决数列问题。实例引入：印度国王奖励象棋发明者时，对象棋各格子里放麦粒，各格子里的麦粒数按位置放置的先后排成一列数：正整数从小到大依次排成一列：正整数的倒数排成一列：的精确到的不足近似值排成一列：的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂、，排成一列：无穷多个1排成一列：一、数列的概念1数列的定义：_叫做数列。（这列数可“有限”也可“无限”）注意：数列的一列数是有次序性的，注意“数列”与“数集”的区分!数列中的项：数列中的每个数。数列的项数：数列中项的序号。如：）； ）。2函数观点下“数列”的定义：数列实质上可以看做一个定

2、义域为_的函数，当自变量从1开始从小到大依次取正整数值时对应的一列函数值（或）。注意：数列视为正整数为自变量的函数值，与普通的函数有区别，它是离散的。3数列的表示：，简记为。其中叫数列的第项。如数列：，简记为。数列的第项（通项），为项数；数列。数列的表示方法：1）通项公式表示法：一个数列的第项（通项）与项数之间的函数关系可以用一个公式来表示的话，这个公式就叫做这个数列的_，记为。如上面引入中的6个数列的通项公式为：_；_；_；_；_；_。2）图象表示法：如：数列： 数列：3）递归（推）公式表示法（后面讲）二、数列的分类：（1）按数列项数的多少可分为：；（2）按数列中项的大小可分为：；（3）按值

3、域分为：注意：有穷数列必为有界数列，无穷数列则可为有界，也可为无界数列。三、数列的通项公式（1）函数并不是都能用解析式表示，所以并不是所有数列的通项能写成关于的公式。即并非所有的数列都能写出它的通项公式。如数列。（2）通项公式作用：已知，写出数列的某些项；已知，求。例1数列的通项公式为，写出的前三项，并判断是否为该数列的项？（3）已知数列的若干项，写出数列的通项公式：练习：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：； 。注意：对于一个确定的数列，其通项公式形式上不一定唯一。如数列：，其通项公式可为：或或。有些数列，只给出它的前几项，由此归纳出的通项公式常常不唯一。如数列：，其通项

4、公式可为：，也可为。例2根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； 变式：（6）； 变式：（7）； （8）；（9）； （10）。变式训练1：1根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：（1）； （2）；（3）； （4）。2根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第个图中有_个点。（1）（2）（3）（4）（5）四、数列最值问题及数列的增减性问题例3（1）已知的通项公式为。求的最小值，证明的增减性；求使最小的值。（2）设函数，数列的通项满足。求数列的通项；对于任意正整数，比较与的大小。变式训练2：已知，则在数列的前30项中最大项和

5、最小项分别是（ ）A. B. C. D.五、递推数列表示法引入：前面的数列：麦粒数中发现。递归（推）公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式叫做数列的递归（推）公式。例4已知数列分别满足下列条件：（1）； （2）；（3）； （4）。分别写出它们的前五项，并归纳出数列的一个通项公式。变式：对例4中的（1）、（2）、（3）还有其它方法求通项吗？六、与的关系若数列的前项和记为（简记为），则，故数列的通项与前项和间的关系： 例5（1）设数列的前项和为，分别求满足下列条件的数列的通项公式：； 。（2）数列的前项和为，且，这个数列是否

6、为常数列？并说明理由。变式：设数列的前项和为，且，求数列的通项公式。（3）一个数列的前项的乘积用表示（即），若，求的通项公式。（4）已知数列，满足，求的通项公式。（5）在数列中，其前项和，问该数列有没有最大的项？若有求其项数；若没有说明理由。课后作业1已知数列，则是这个数列的第_项。2写出下列数列的一个通项公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。3（1）在数列中，。求的最小值并求出相应的值；讨论此数列的增减变化情况。（2）若数列是递增数列，且对于任意正整数，恒成立，求实数的取值范围；（3）已知数列的通项公式，问：数列中有没有最大、最小项？若有，求出最大、最小项；若没有，说明理由。4已知函数，数列满足。（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是递减数列。5若对于任意的恒成立，求实数的最大值。6（1）数列中，求此数列的前4项，由此推测出通项公式；（2）已知数列的前项和满足,求数列的通项；（3）在数列中，且，求。（4）数列的前项和，求数列的前项和。课后作业答案172（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。3（1），此时，；当时递减，时递增。（2）对任意恒成立，。（