怎样学好矩阵理论

1、第 卷 第 期 教学研究年 月怎样学好矩阵理论以非负矩阵为例徐大举 赵慧婷（ 山东交通学院 理学院，山东 济南 ； 阳谷县第三中学，山东 阳谷 ）摘 要 矩阵理论在自然科学和社会科学领域都有广泛的应用，然而大学生在学习线性代数矩阵理论时，往往感到枯燥、难学、不易掌握。提出学好矩阵理论的几点建议，其中重要的一点是了解某些概念的实际应用意义。并以非负矩阵为例，给出非负矩阵的分类及其谱理论。最后，指出可约矩阵、不可约矩阵及其特征值和特征向量在投入产出分析经济学中的具体经济意义。关键词 非负矩阵；可约矩阵；中间投入系数矩阵；投入产出分析中图分类号 文献标识码 文章编号引言甚至出现错误。比如非负矩阵一定

2、会有最大（按照关于矩阵论的发展史，至少可以追溯到和 ，尤其是 在 年所作的工作。近代数学如代数结构理论与泛函分析，都可模的大小排序）的正特征值及其对应的惟一的正特征向量 ；正方阵的最小特征值一定为实数 等等类似的不严谨的论述或者错误。针对这些问题，笔者结合 多年的教学经验，以在矩阵论中寻到它们的根源。作为一种基本工同时由于在科研工作中经常用到非负矩阵作为基具，矩阵理论在应用数学与工程技术学科，比如微础工具来解决实际问题，查阅了大量关于矩阵理论分方程、概率统计、最优化、运筹学、计算数学、的参考文献，在此基础上给出学好矩阵理论的几点控制论与系统理论等学科有着广泛的应用。同时， 建议。并对非负矩阵的

3、分类以及可约矩阵和不可约这些学科的发展反过来又极大地促进了矩阵理论 矩阵的定义、谱理论的结果进行归纳，并尽量利用的发展。所以，近几十年来，矩阵理论不仅在自然 通俗语言来概括。另外，在投入产出分析经济学科学领域得到了完美的应用和发展，在社会科学领 中，中间投入系数矩阵是一个非常重要的概念，本域也越来越得到应用和重视，比如在数理经济学、 文指出了其为不可约矩阵、可约矩阵时的具体的经社会统计学等领域，矩阵的理论都得到了很好的应济意义。用。因此，对大学生来说，学好矩阵理论具有非常重要的意义。学好矩阵理论的几点建议然而，大学生在学习矩阵理论时，经常会感到非常吃力，觉得矩阵理论的逻辑符号十分繁琐，运理解好

4、矩阵理论产生的来源以及用途对于大学生来说，他们不可能知道矩阵理论的算方法不易理解，定义定理很难掌握，最后导致学 起源，即使讲解他们也未必感兴趣。不过，关于矩习的效率不高、效果不好。比 如，实际中经常用到 阵行列式的运算规律、矩阵的基本初等变换，学生的是非负矩阵及其特征值和特征向量的性质，在教 在中学时就已经学过，这就是在解二元线性方程组学的过程中，发现学生经常出现问题，经常搞混非 和三元线性方程组时经常要用到的加减消元法和负矩阵的分类以及它们的特征值的性质。出现的问 带入消元法。对于多元线性方程组，比如几十个甚题有：非负方阵是否有正特征值，如果有的话，是 至上百个未知数，如果再用中学时的方法，

5、肯定是否惟一；是否有正的特征向量，如果有的话，是否 事倍功半。所以 ，才有了行列式运算的七条性质以惟一，等等。在一些学术论文中，关于非负矩阵的 及矩阵的三种初等行（列）变换。这样来讲，易于特征值和特征向量，发现一些文章论述不够严密，收稿日期 基金项目 山东交通学院科研基金项目（ ）；山东省高等学校优秀青年教师国际访问学者项目（ ）作者简介 徐大举（ ），男，山东聊城人。副教授，博士，主要研究方向为代数半群、运筹学与经济分析、投入产出分析。第 期 徐大举 赵慧婷 怎样学好矩阵理论以非负矩阵为例学生搞清出处，弄清这些性质和变换的原因，明白目的是为了求解线性方程组。非负矩阵的理论知识掌握矩阵理论关于

6、乘法运算的特点非负矩阵的理论研究，开始于 年对正矩阵谱理论的有关定理。 年从运算方法来讲，矩阵理论非常简单，因为矩 把 关于正矩阵的结果扩大到非负不阵运算只是用到了有理数运算的乘法和加法（减法 可约矩阵， 年一些学者对于非负可约矩和除法很少用到）。但是，两个矩阵怎样加、怎样 阵的研究也取得了令人满意的成果 ， 年中乘，以及矩阵的这些运算满足怎样的定律，学生不 国社会科学院的曾力生研究员又进一步发展了非容易掌握，有时常常出现错误。矩阵的加法运算非 负矩阵的谱理论，给出了非负可约矩阵存在惟一的常简单，可以想当然，矩阵的乘法则不然，关于矩 正特征向量的充要条件 。阵的乘法运算需要注意以下两点。关于非

7、负矩阵理论的书籍很多 ，但是内容）乘法不满足交换律。两个 阶方阵 和 ，非常数学化，不利于从中掌握非负矩阵的谱性质，一般来讲矩阵的乘法不满足交换律，即 ，这 不利于教学，这也是一个不易掌握的知识点。下文是由于矩阵乘法的定义规则。理解了这一点，就容 先给出非负矩阵的分类，然后从三个角度描述非负易理解关于矩阵方程 的解应该为 ，而 可约矩阵的本质，并总结非负可约矩阵和非负不可不是 ，这里假设矩阵 为可逆矩阵。然而， 约矩阵的谱性质。两个矩阵乘积的行列式相等，即 ，关于等式的证明见文献 。非负矩阵的分类 对于一个实数，可以分为负数、零和正数。但）乘法不满足消去律。两个实数的乘积等于 是，对于一个 阶

8、实数方阵 ，共有 个实零，则至少有一个实数等于零。但是，对于矩阵相 数，如果按照矩阵元素的正负来分，矩阵的种类繁乘来说，不满足这个性质，即 ，不能得到 多，其中一种为非负矩阵（ ）。或者 。之所以如此，也是因为两个矩阵乘积运 对于非负矩阵，依零元素的多少又分为以下几类。算的定义。换言之，矩阵乘法一般不满足消去律，第一类是半正矩阵（ ）。对 即 ，不能得到 ，除非矩阵 为可逆矩 于非负矩阵 ，至少存在一个元素不等于零，阵，这里假设矩阵 也为 阶方阵。重点掌握矩阵的一些概念的实际意义则称 为半正矩阵，记为 ，也就是说不为零矩阵的非负矩阵称为半正矩阵。在学习过程中，学生经常会问：矩阵的特征值 第二类

9、是严格半正矩阵（和特征向量究竟是什么含义？为什么要学习可约 ）。对于半正矩阵 ，至少存在一个元矩阵？可约矩阵的基本类、初始类和最终类概念有 素等于零，则称为严格半正矩阵。什么实际应用背景等等类似的问题。学生提出这样第三类是正矩阵（ ）。对于非负的问题是正常的，是好奇心的表现，是一种积极的矩阵 ，如果每一个元素都大于零，则称心态，教师只有解决了这些问题，因势利导，学生为正矩阵，记为 。才会进一步学好关于矩阵的理论知识，才能取得好从以上定义可以看出，对于一个半正矩阵，或的效果。下面以非负矩阵为例，给出非负可约矩阵和非负不可约矩阵在投入产出经济学上的实际意义。在投入产出分析中，中间投入系数矩阵为非负

10、矩阵，者它是正矩阵，或者是严格半正矩阵。另外，注意正矩阵（半正矩 阵）和正定矩阵（半正定矩 阵）意义不同 ，后者指的是满足一定条件的对称实矩阵。显然，单位矩阵是严格半正矩阵。单位矩阵的矩阵的每一个元素都有非常明确的经济含义。当中 两行（或者两列）互换后，得到的矩阵仍然是严格间投入系数矩阵为可约矩阵时，对应的经济系统的 半正矩阵，称为对换矩阵。几个对换矩阵的乘积称含义是什么？当矩阵为不可约矩阵时，对应的经济 为置换矩阵，用符号 表示。容易验证，置换矩阵系统的性质又是什么？为了回答这些问题，首先， 的逆矩阵等于它的转置矩阵，即 。对于非负给出关于非负矩阵的理论知识。矩阵 ， 表示同时交换矩阵 的教

11、学研究行和相应的列而得到的矩阵，是一种特殊的相似变 与 的矩阵图 的强连通有向子图之间存在换，所以不改变矩阵 的特征值，但是改变了 的 着一一对应。特征向量。非负可约矩阵 的集合拆分进一步可以描述如果根据非负矩阵零元素的位置，它又可以分 为：法式的分块法将集合 划分为为非负可约矩阵和非负不可约矩阵。 个彼此不交的非空真子集 ，定义 为由矩阵图 的连通关系导出的一个等价类非负可约矩阵（ ）。如果 ，那么等价类非负矩阵 ，如果存在置换矩阵 ，使得 称为基本类（ ），其中 表示矩阵 的谱半径；如果其它类没有通路到 ，那么 称为初始类（ ）；如果 没有通路到其它其中， 和 是子方阵（不一定同价），则称

12、 类，那么 称为最终类（ ）。矩阵 是非负可约的（ ）；否则，称矩阵 是非负不可约的（）。特别地，对于上述非负可约矩阵，如果 ，那么称矩阵 是完全可约的（） 。非负矩阵的可约性可以利用集合的拆分来描述。记 ，如果存在 的两个非空真子集 和 ，且 ， ，对任意的 ，都有 ，那么称矩阵 是可约的。非负矩阵的可约性也可以利用矩阵图的连通性来描述。对于矩阵 ，先画出 个顶点，并标上号，从 到 。对于矩阵的每一个元素，如果元素 不等于零，那么从顶点 到 划一条有向显然，任意非负可约矩阵至少有一个基本类，一个初始类和一个最终类。特别地， 与 分别为初始类与最终类。一般地， 为初始类当且仅当在 的法式中，

13、； 为最终类当且仅当在 的法式中， 。由上述定义， 为初始类的直观理解是在法式矩阵中，对角块子方阵 在矩阵 中对应的列的其它元素全为零； 为最终类的直观理解是对应的行的其它元素全为零。下面两个可约矩阵，边；否则，不画有向边。这样得到的一个有向图，称为矩阵 的矩阵图，记为 。非负矩阵 可约的充分必要条件为其矩阵图 不是强连通矩阵 有两个基本类 、 ，也是两个初 始类， 为最终类；矩阵 只有一个基本类 ，的，即存在两个顶点，这两点之间无有向路。也是惟一的初始类， 为最终类。 在非负可约矩阵的定义中 ，两个主对角块子方显然，由法式矩阵可以得到 ，非负可约矩阵的阵 和 如果是可约的，那么可以进一步实施

14、 特 征 值 集 合 由 不 可 约 矩 阵 或 者 一 阶 零 阵置换变换，直到为不可约矩阵为止，非负可约矩阵的所有特征值组成。的组合结构性质的进一步研究如下。 对于一个 阶实数方阵 ，众所周知在对于非负可约矩阵 ，存在置换矩阵 ，使得 复数范围内，它有 个特征值。对于 阶非负矩 阵，显然的问题是：它是否有非负的特征值，是否 有非负的特征向量；它是否有正特征值，是否有正特征向量。第一个问题，答案是肯定的；第二个问 题比较复杂。其中，对角块上的元素 或为不可非负矩阵 的谱半径 为它的特征值，如约矩阵，或为一阶零矩阵，那么上式称为非负可约 果矩阵 的可约法式不为严格下三角形矩阵，那么矩阵 的法式

15、（或为 标准型， 。并且，对应于特征值 ，矩阵 有非负）。 的特征向量，其它特征值一定没有正的特征向量。非负可约矩阵的法式一般不是惟一的，但是，非负可约矩阵 对应于特征值 有正特征其对角块是惟一的，这是因为每一个不可约对角块第 期 徐大举 赵慧婷 怎样学好矩阵理论以非负矩阵为例向量的充要条件为矩阵 的基本类与最终类一致。 部门进行生产的中间产品的价值数量，第 列元素 表示 部门进行生产需要消耗 个部门的中间产品非负可约矩阵 对应于特征值 有惟一的的价值数量。正特征向量的充要条件为矩阵 只有一个基本类，只有一个最终类，并且两者一致。 假设一个国民经济系统划分为 个生产部门， 中间投入系数矩阵是非

16、负可约矩阵，还是非负不可下面两个可约矩阵，约矩阵，或者是正矩阵，这和划分的部门个数的多少有关系。部门个数越多，矩阵中零元素的可能性越大。矩阵 有两个基本类 、 ，也是两个最 如果中间投入系数矩阵为正矩阵，那么正矩阵终类，所以对应于特征值 ，有两个正特 的经济意义为经济系统的每一个部门进行生产时，征向量 和 ；矩阵 都直接需要消耗经济系统所有部门的中间产品；如只有一个基本类 ，也是惟一的最终类，所以 果中间投入系数矩阵为非负不可约矩阵，那么不可对应于特征值 ，有惟一的正特征向量 约矩阵的经济意义为经济系统的每一个部门进行。 生产时，都直接或者间接需要消耗其它所有部门的非负不可约矩阵中间产品；如果

17、中间投入系数矩阵为非负可约矩阵，那么情况比较复杂。由于非负矩阵不是可约矩阵，就是不可约矩阵，所以对于非负不可约矩阵，有下列性质：（ ）非负不可约矩阵，则它仅有一个等价类，同时也是基本类、初始类和最终类；反之亦然；（）非负矩阵 不可约的充分必要条件为矩阵图 是强连通，即任意两个顶点，都有一条有向路；（）非负不可约矩阵 ，则矩阵 的谱半径 为它的正的特征值，并且只有一个正的特征向量与之对应（ 称为矩阵 的 根，与其对应的正特征向量称为矩阵 的 向量）；矩阵 的任一元素增大时， 根也随之增大 ；矩阵 的模为 的特征值都是特征多项式的单根；矩阵 为正矩阵时，矩阵 的其它特征值的模严格小于 。根据文献

18、，中间投入系数矩阵有一个惟一的正特征向量，含义为：经济系统存在一个重新确定的总产值列向量，使得每个部门的最终产出率都等于 减去中间投入系数矩阵的最大特征值；中间投入系数矩阵有一个惟一的正特征向量的充要条件是它只有一个基本类，同时它也是惟一的最终类。这样的矩阵或者是不可约矩阵，或者是可约矩阵，它只有一个基本类，也是惟一的最终类。只有一个最终类的经济意义为：和中间投入系数矩阵的法式相对应，或者根据部门之间中间产品的依赖关系，经济系统可以分解为 个子系统， 的每一个部门都直接或间接消耗 中其它部门的中间产品，或者 只由一个部门组成，非负矩阵在投入产出分析经济学中的实； 不消耗 的中间产际意义品，但是， 向 中至少一个子系统投入产出分析（ ）是创建的，是一门充分利用数学理论，尤其是代数矩阵谱理论的经济学。在投入产出分析经济理论中，一个非常基础的概念为价值型中间投入系数矩提供中间产