第一章 傅里叶光学基础

1、将信息科学中的线性系统理论引入光学 把光学成像系统看成一种二维的图像信号的 传输、变换和处理系统由空间域扩展到空间 频率域，对光学成像系统进行空间频谱分析 光学成像系统的单一成像功能扩展到二维信 息处理 二维信号（图像）的各种运算方法，图像处 理与识别技术，高密度信息存储的光学方法， 三维面形测量，全息散斑干涉技术（特点） 数学基础数学基础 常用函数常用函数 变形变形 x f(x) x f(x- x0) x0 x f(x/a) x f(-x) x -f(-x) x bf(x) 平移平移 (原点移至原点移至x0) 折叠折叠 与与f(x)关于关于y轴轴 镜像对称镜像对称 取反取反 与与f(x)关于

2、关于x轴轴 镜像对称镜像对称 倍乘倍乘 y方向幅度变方向幅度变 化化 比例缩放比例缩放 a1, 在在x方向展宽方向展宽a倍倍 a1, 在在x方向压缩方向压缩a倍倍 常用函数常用函数变形变形 x f(x) 01 x, 0 x0 1/2, x=0 0, x0 0, x=0 -1, x0 定义: Sgn(x)= 原型 代表“p”相移器、反相器 与 Step函数的关系: Sgn(x)=2 Step (x)-1 常用函数常用函数 (续续) 三三.矩形函数矩形函数 Rectangle Function 定义 x rect(x) 0 1/2 -1/2 1 - - 其它 标准型 其它 , 0 2 1 , 1

3、)(rect:, , 0 2 1 x , 1 )(rect 0 0 a xx a xx x 原型特点: rect(0)=1, 矩形宽度=1，矩形面积=1, 偶函数 快门; 单缝, 矩孔,区域限定 )( rect 0 a xx - x0 a x0 /a)xx(rect0- a x x0, y0 y a b 0 )( rect )( rect 00 b yy a xx- 常用函数常用函数 (续续) 四、三角形函数四、三角形函数 Triangle Function 底宽:2|a|, 面积: S= |a| - - - - 其它 标准型 其它 原型 , 0 1 ,1 )(tri:, , 0 1 ,1 )

4、(tri: 00 0 a xx a xx a xxxx x 底宽: 2 最大值：tri(0)=1 曲线下面积: S=1 x tri(x) 01-1 1 1 x a+x0-a+x0 x0 又写成：L(x) 要关注它和矩形函数的关系 （两个相同矩形函数的卷积） 常用函数常用函数 (续续) 五、五、sinc函数函数 )(sinc: , )sin( )(sinc: 0 a xx x x x - p p 标准型原型 x sinc(x) 0 1-1 1 1 x a+x0 -a+x0 x0 特点: 最大值：sinc(0)=1；lim sinc(x)=0 x 曲线下面积: S=1，偶函数 0点位置:x=n (

5、n=1, 2, 3)等间隔 两个一级0点之间的主瓣宽度=2 常用函数常用函数 五五.sinc函数函数(续续) Sinc函数的重要性: 数学上sinc函数和rect函 数互为傅里叶变换 物理上，单一矩形脉冲 rect(t)的频谱是sinc函数; 单缝的夫琅和费衍射花 样是sinc函数 x sinc2(x) 0 1-1 1 sinc (x) sinc2(0)=1, S = 1 与sinc(x)相比,曲线形状不同, 但曲线下面积相同 二维sinc函数: sinc(x)sinc(y) sin2(px) (px)2 附: sinc2函数 sinc2(x)=sinc(x)2 常用函数常用函数 (续续) 六

6、、高斯函数六、高斯函数 Gaussian Function Gaus(x) = exp(-px2) Gaus(0) = 1 S = 1 是非常平滑的函数，即 Gaus(x) 0 x 二维情形: Gaus(x)Gaus(y)=exp- p(x2+y2) 可代表单模激光束的光强分布 常用函数 (续) 七、圆域函数七、圆域函数 Circular Function 定义: circ(r) = 其它 , 0 1 , 1 )(circ 22 22 yx yx circ函数是不可分离变量的二元函数 描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率 1 x y 0 a yx circ 22 a 0 常用函数常用函数

7、 (续续) 八、复指数函数八、复指数函数 Complex exponential function Aexp(jq)=Acosq +jAsinq q：振子的位相角 对于简谐振动，q = 2pn t 推广到二维： Aexpj 2p (ux+vy) A 0 q w = 2pn 九、九、 d d -函数函数 的阵列的阵列-梳状函数梳状函数 comb(x) )(comb 1 )( 1 )( d d x n x nx nn - - - 表示沿 x 轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列。 例如：不考虑缝宽度和总尺寸的线光栅。 间隔为 的脉冲系列: )( )(comb - - n nxxd定义: n为整数 梳

8、状函数与普通函数的乘积: )-( )()( )()(comb 1 )( - - - nn nxnfnxxf x xfdd f(x) 0 x = x 0 x comb(x) . 0 利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样. x y 二维梳状函数: comb(x,y)= comb(x) comb(y) 一、定义及存在条件一、定义及存在条件 函数f(x,y)在整个x-y平面上满足狄氏条件, 定义函数： - -dxdyyxjyxfF)vu(2exp),()v, u(p 为函数f(x,y)的傅里叶变换, 记作： F(u,v)= f(x,y)=F.T.f(x,y), 或 f(x,y) F(u,

9、v) F.T. f(x,y): 原函数, F(u,v): 像函数或频谱函数 - dxKfxF),()()( 变换核 积分变换: 傅里叶变换的核: exp(-j2pux) 由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换: f(x,y)和F(u,v)称为傅里叶变换对； 记作: f(x,y)= -1F(u,v). 显然 -1 f(x,y)= f(x,y) 综合可写: f(x,y) F(u,v) F.T. F.T.-1 x (y) 和 u (v )称为一对共轭变量, 它们在不同的范畴 (时空域或频率域) 描述同一个物理对象。 - vu)vyu(2exp)v, u(),(ddxjFyxfp 描述了各频率分量的

10、相对幅值和相移。 x, y, u, v均为实变量， F(u,v)一般是复函数, F(u,v) =A(u,v)e jf (u,v) 振幅谱 位相谱 - vu)vu(2exp)v, u(),(ddyxjFyxfp F(u,v)是f(x,y)的频谱函数 体现了分解与叠加的概念 原函数在全平面绝对可积； 原函数在全平面只有有限个间断点，在任何 有限的区域内只有有限个间断点； 原函数没有无穷大型的间断点。 对于某些不符合狄氏条件的函数, 求F.T.的方法： 例: g(x,y)=1, 在(-, + )不可积 对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数, 函数系列变换式的极限原来函数的广义F. T

11、. 可定义: g(x,y)=lim rect(x/)rect(y/) 则 g(x,y)=lim rect(x/)rect(y/) 1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 二、广义 F.T. 根据广义傅立叶变换的定义和d 函数的定义: g(x,y)=lim2sinc(u)sinc(v) = d(u, v) 则 rect(x/)rect(y/) =2sinc(u)sinc(v) 1 = d(u, v) 按照广义变换的概念可以 得出一系列特殊函数的F.T. rect( ) x )u (sinc u )usin( )( u 2 1 )u 2exp( u 2 1 )u 2ex

12、p( )u 2exp()(rect uu 2/ 2/ 2/ 2/ p p p p p p p pp - - - - - - - - - jj ee j xj j dxxj dxxj x 重要推论: rect(x) =sinc(u) d 1、d 2、 1y, x(, 0y, 0 x )vyux(i2exp)yy,x-x 00 0000 - ） （ d pd 3、 ( lk lk lk ) l ,k( ) l .k( )n(nn )vi2(ui2)y,x( yx y,x )y,x( )0(g)1(dx)x(g)x( ppdd d d ）（ 的傅里叶变换为： - - 特别适合于圆对称函数的F.T.

13、依F.T.定义： - q q q sin cos )(tan 1 22 ry rx x y yxr 空域 - f f f sinv cosu ) u v (tan vu 1 22 频域 极坐标变换 - -dxdyyxjyxfF)vu(2exp),()v, u(p )sin ,cos(),( )sin ,cos(),( qqq fff rrfrg FG - p fqpqqq ff 2 00 )cos(2exp)sin,cos( )sin,cos( rdrrjrrfd F - - p p fqpfqq fqpqqf 2 00 2 00 )cos(2exp),(),( )cos(2exp),(),(

14、 drjGdrg drrjrrgdG 0 0 0 0 )2()(2)( )2()(2)( pp pp drJGrg drrJrrgG 圆对称函数的F.T. 仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变 换,记为 G() = g(r), g(r) = -1G() drdrjrrgG - 0 2 0 )cos(2exp)( ),( p qfqpf 当 f 具有圆对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)= g(r,q) = g (r). 依F.T.定义: 利用贝塞尔函数关系 )(2)cos(exp 0 2 0 aJdjapqfq p - 傅里叶-贝塞尔变换 例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T. 定

15、义: 是圆对称函数 22 , , 0 1 , 1 )(circyxr r r 其它 1 0 0 )2(2)(circdrrrJrpp 作变量替换, 令r =2pr, 并利用: x xxJdJ 0 10 )()( p p p )2( ) ( 2 1 )(circ 1 2 0 0 2 J drrJrr 三. 虚、实、奇、偶函数的 F.T. 将频谱函数G(u)分别写成实部(余弦变换)和虚部(正弦 变换)，然后根据g(x)的虚、实、奇、偶性质讨论频谱 的相应性质。 注意：并非实函数的频谱一定是实函数，只有厄米 函数(实部为偶函数、虚部为奇函数)的频谱才一定 是实函数。 例: rect (x) (实、偶

16、) sinc(u) (实、偶) F.T. 但是, rect (x-1) (实、非偶) 复函数 F.T. 四、 F.T.定理 - F.T.的基本性质 1. 线性定理 Linearity 设 g(x,y) G(u,v), h(x,y) H(u,v), F.T.F.T. 2. 空间缩放 Scaling (相似性定理） g(x,y)+b h(x,y)= G(u,v) + b H(u,v) F.T.是线性变换 ba G ab byaxg v , u1 ),( 注意：空域坐标(x,y)的扩展(a,b1)，导致频域中 坐标(u,v)的压缩及频谱幅度的变化；反之亦然。 g(x) x 0 1/2 -1/2 1

17、g(ax) a=2 x 01/4 -1/4 1 f G(u) 0 1-1 1 f 0 2-2 1/2 ) u ( 1 a G a 空域压缩 F.T.F.T.频域扩展 3. 位移定理 Shifting g(x-a, y-b)= G(u, v) exp-j2p(ua+vb) 设 g(x,y) G(u,v), F.T. 频率位移：原函数在空间域的相移，导致频谱的位移。 g(x,y) expj2p(ux+vy)= G(u- u, v- v) 空间位移：原函数在空域中的平移，相应的频谱函数振幅 分布不变，但位相随频率线性改变。 推论: 由1= d (u,v) expj2p(ux+vy)= d (u-u,

18、 v-v) 复指函数的F.T.是移位的d 函数(物理意义） 4. 帕色伐(Parseval)定理 若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压， 则| g(x) |2dx 代表信号的总能量(或总功率) | G(u) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔 的能量或功率) - - vu)v, u(),( 22 ddGdxdyyxg 设 g(x,y) G(u,v), F.T. Parseval定理说明：信号的能量由|G(u)|2曲线下面积给 出，或者说等于各频率分量的能量之和能量守恒 Parseval定理的证明 dxdxjGdxjG dxxgxgdxxg - - - - - - u) u2exp(

19、) u(*u)u2exp()u( )(*)()( 2 pp 交换积分顺序,先对x求积分: - - - -dxxjddGG) uu(2exp uu) u(*)u(p 利用复指函数的F.T. - - - uu) uu() u(*)u(ddGGd 利用d 函数的筛选性质 - u)u(*)u(dGG 5、卷积与卷积定理（、卷积与卷积定理（convolution） 宽度为 a 的狭缝，对平面上光强分布 f(x)=2+cos(2pux) 扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出光 强分布。 探测器输出的光功率分布 a f ( ) 1/f0 x - 2 2 )()( a x a x dfxg d a x re

20、ctf)()( - - d a x rectf)()( - - 卷积运算 设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x) 物体分布 成像系统 像平面分布 f() 成像 x 0 1 f( 1)h(x- 1) 2 f( 2)h(x- 2) f(0)h(x) 物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x) 像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以 后的结果。需用卷积运算来描述 f() 成像 x 0 1 f( 1)h(x- 1) 2 f( 2)h(x- 2) f(0)h(x) x )()( ) () ()( xhxf dxhfxg - - 若f(x)与h(x)有界且可积， 定义： -

21、- dxhf xhxfxg ) () ( )()()( *: 卷积符号 g(x)是f(x)与h(x)两个函数共同作用的结果。对于给定的x, 第一个函数的贡献是f()，则第二个函数的贡献是h(x- )。需 要对任何可能的求和。 - -ddyxhfyxhyxfyxg ),(),(),(),(),( g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积 二维函数的卷积: h() 1/5 5 9 0 f() 1/3 4 6 0 f() 1/3 4 6 0 h(-) 1/5 -9 -50 x h(x-) x-9 x-5 4 6 0 练习: 计算 rect(x)*rect(x) 9 11 13 15 g(x) x 0

22、 2/15 1.用哑元 画出函数f()和h(); 2.将h()折叠成h(-); 3.将h(-)移位至给定的x, h-( -x)= h(x -); 4.二者相乘; 5. 乘积函数曲线下面积 的值即为g(x). 步骤: 探测器输出的光功率分布: a f ( ) 1/f0 x )()()()()()( 2 2 a x rectxfd a x rectfdfxg a x a x - - - 卷积运算的特点卷积运算的特点 展宽效应：假如卷积的两个函数只在有限区间 内不为零，则在卷积后函数宽度等于被卷积函 数窗口宽度之和； 平滑效应：经卷积运算中乘积和累加计算，原 函数细微的结构在一定程度上被消除，函数本 身的起伏振荡趋于平滑圆润。 卷积定理 空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积。 g(x,y)* h(x,y)= G(u,v) . H(u,v) 设 g(x,y) G(u,v), h(x,y) H(u,v), F.T.F.T. g(x,y) . h(x,y)= G(u,v) * H(u,v) 空域中两个函数的乘积， 其F.T.是各自F.T.的卷积。 将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用。 亦可用于求