抛物线的几何性质教学资料

1、 y o x)0, 2 ( p F P(x,y) 一、一、抛物线抛物线的的几何性质几何性质 抛物线在抛物线在y轴的右侧，当轴的右侧，当x的值增大时，的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限 延伸。延伸。 1、范围范围 由抛物线由抛物线y2 =2px（p0） 2 20pxy 而而 0p 0 x 所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为0 x ( , )x y 关于关于x轴轴 对称对称 ( ,)xy 由于点由于点 也满也满 足足 ，故抛物线，故抛物线 (p0)关于关于x轴轴对称对称. ( ,)xy y2 = 2px y2 = 2px 2、对称性、

2、对称性 y o x)0, 2 ( p F P(x,y) 定义：抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线定义：抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线 的的顶点顶点。 y o x)0, 2 ( p F P(x,y) 由y2 = 2px （p0）当当 y=0时时,x=0, 因此抛 物线的顶点顶点就是坐 标原点（0，0）。 注注:这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有双曲线有 两个顶点不同。两个顶点不同。 、顶点、顶点 （二）归纳：抛物线（二）归纳：抛物线的的几何性质几何性质 图图 形形方程方程焦点焦点准线准线范围范围顶点顶点 对称对称 轴轴 l F y xO l F y x O l F y x O l

3、 F y x O y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） )0 , 2 ( p F )0 , 2 ( p F ) 2 , 0( p F ) 2 , 0( p F 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y x0 yR x0 yR y0 xR y 0 xR (0,0) x轴轴 y轴轴 特点：特点： 1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无 限延伸限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有没有 对称中心对称中心; 3.抛物线只有一

4、个顶点、抛物线只有一个顶点、 一个焦点、一条准线一个焦点、一条准线; 思考思考：抛物线标准方程中的：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响. y o x)0, 2 ( p F P(x,y) 补充补充（1）通径：）通径： 通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。 |PF|=x0+p/2 x O y F P 通径的长度通径的长度：2P P越大越大,开口越开阔开口越开阔 （2）焦半径：）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的连接抛物线任意一点与焦点的 线段叫做

5、抛物线的线段叫做抛物线的焦半径焦半径。 焦半径公式：焦半径公式： ),( 00 yx （标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义） 利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。反映抛物线基本特征的草图。 探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面。 抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反

6、射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。设计原理。 平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都 经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。的理论依据。 例例2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一 部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯 口圆的直径为口圆的直径为60cm,灯深灯深40cm，求抛物线，求抛物线 的标准方程及焦点的位置。的标准方

7、程及焦点的位置。 F y xO 解：如图所示，在探照灯的轴截解：如图所示，在探照灯的轴截 面所在平面建立直角坐标系，使面所在平面建立直角坐标系，使 反光镜的顶点与原点重合，反光镜的顶点与原点重合，x轴轴 垂直于灯口直径。垂直于灯口直径。 A B 设抛物线的标准方程是：设抛物线的标准方程是： 由已知条件可得点由已知条件可得点A的坐标是的坐标是 （40，30），代入方程可得），代入方程可得 2 30240p 2 2(0)ypx p 45 4 p 所求的标准方程为所求的标准方程为 焦点坐标为焦点坐标为 2 45 2 yx 45 (,0) 8 2 4 l 例例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离时，拱顶离 水面水面2米，水面宽米，水面宽4米米. 水下降水下降1米后，水面宽多少？米后，水面宽多少？ x o y 若在水面上有一宽为若在水面上有一宽为2米米,高高 为为1.6米米的船只，能否安全通过拱桥？的船只