2.2.2椭圆的简单几何性质(2)

1、2021/3/101 2.1.2椭圆的简椭圆的简 单几何性质（单几何性质（2） 2021/3/102 例例1 如图如图,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道,是以地是以地 心心(地球的中心地球的中心)F2为一个焦点的椭圆为一个焦点的椭圆,已知它的近地点已知它的近地点A(离离 地面最近的点地面最近的点)距地面距地面439km,远地点远地点B距地面距地面2384km.并且并且 F2、A、B在同一直线上，地球半径约为在同一直线上，地球半径约为6371km,求卫星运求卫星运 行的轨道方程（精确到行的轨道方程（精确到1km). 22 | | 6371.F CF D

2、 X O F1F2 A B X X Y 1 2 2 2 2 b y a x 设设所所求求的的方方程程为为 ,0 ba 解：以直线解：以直线ABAB为为x x轴轴, ,线段线段ABAB的中垂线为的中垂线为y y轴建立如图轴建立如图 所示的直角坐标系，所示的直角坐标系，ABAB与地球交与与地球交与C,DC,D两点。两点。 由题意知：由题意知：|AC|=439,|BD|=2384, AFOFOAca 22 : 则则 875523846371 22 BFOFOBca 5 .972, 5 .7782 ca解解得得 68104396371 D C b7722.1 77227783 2 2 2 2 yx 2

3、021/3/103 2( , )(4,0) 254 : 45 M x yF l xM 例点与定点的距离和它到直线 的距离的比是常数，求点的轨迹。 , 5 4 4 25 : d MF MPM xlMd 的轨迹就是集合点 的距离，根据题意，到直线是点解：设 . 5 4 4 25 )4( 2 x yx 由此得 ,225259 22 yx简，得将上式两边平方，并化 1 925 22 yx 即 所以，点所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。的椭圆。 F l xo y M H d 2021/3/104 的的距距离离和和它它到到定定直直线线，与与定定点点若若点点)0(

4、),(cFyxM 思考上面探究问题，并回答下列问题：思考上面探究问题，并回答下列问题： 探究： 的的轨轨迹迹。，求求点点的的距距离离的的比比是是常常数数Mca a c c a xl)0(: 2 （1）用坐标法如何求出其）用坐标法如何求出其轨迹方程轨迹方程，并，并求求出轨迹出轨迹 2021/3/105 的的距距离离和和它它到到定定直直线线，与与定定点点若若点点)0(),(cFyxM 探究： 的的轨轨迹迹。，求求点点的的距距离离的的比比是是常常数数Mca a c c a xl)0(: 2 y FF l I xo P=M| a c d MF 由此得由此得 a c x c a ycx 2 2 2 将上

5、式两边平方，并化简，得将上式两边平方，并化简，得 22222222 caayaxca 设设 a2-c2=b2,就可化成就可化成 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 这是椭圆的标准方程，所以点这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、的轨迹是长轴、 短轴分别为短轴分别为2a,2b 的椭圆的椭圆 M 解：设解：设 d是是M到直线到直线l 的距离，根的距离，根 据题意，所求轨迹就是集合据题意，所求轨迹就是集合 2021/3/106 FF l I xo y 可知，当点可知，当点M与一个定点的距离和它到一条定直与一个定点的距离和它到一条定直 线的距离线的距离 的比是常数的比是常数 时，这个

6、点的轨时，这个点的轨 迹迹 就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线椭圆的准线，常，常 数数e是椭圆的离心率。是椭圆的离心率。 此为此为椭圆的第二定义椭圆的第二定义. 10e a c e 对于椭圆对于椭圆 ，相应于焦点，相应于焦点F（c,0) 准线方程是准线方程是 , 根据椭圆的对称性，相应于根据椭圆的对称性，相应于 焦点焦点F(-c.0) 准线方程是准线方程是 , 所以椭圆有两条准线。所以椭圆有两条准线。 1 2 2 2 2 b y a x c a x 2 c a x 2 （2）给椭圆下一个新的定义）给椭圆下一个新的定义 的的距距离离和和它它到到

7、定定直直线线，与与定定点点）若若点点（)0(),(3cFyxM 的的，此此时时点点的的距距离离的的比比是是常常数数Mca a c c a xl)0(: 2 ？轨轨迹迹还还是是同同一一个个椭椭圆圆吗吗 2021/3/107 的的距距离离和和它它到到定定直直线线，与与定定点点若若点点)0(),(cFyxM 思考上面探究问题，并回答下列问题：思考上面探究问题，并回答下列问题： 时时，对对应应，定定直直线线改改为为，）当当定定点点改改为为（ c a ylcF 2 :)0(4 ？的的轨轨迹迹方方程程又又是是怎怎样样呢呢 探究： 的的轨轨迹迹。，求求点点的的距距离离的的比比是是常常数数Mca a c c

8、a xl)0(: 2 2021/3/108 椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。 定义定义 1图图 形形定义定义 2 平面内与平面内与 一个定点的距一个定点的距 离和它到一条离和它到一条 定直线的距离定直线的距离 的比是常数的比是常数 )10( e a c e 的的点点的的轨轨迹迹。 )0 ,()0 ,( 21 cFcF、焦焦点点： ),0(),0( 21 cFcF、焦焦点点： c a x 2 准准线线： c a y 2 准准线线： 、两两个个定定点点 1 F 的的距距离离的的和和 2 F 等于常数（大等于常数（大 ）的的点点于于 21F F 的轨迹。的轨迹

9、。 平面内与平面内与 2021/3/109 由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下：由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下： 222 22 (1)1(0) xya abx abc 椭圆的准线方程为 222 22 1(0) yxa aby abc 椭圆的准线方程为 22 2ab cc (2)两准线间的距离为，焦点到相应准线的距离为 (3)椭圆的第二定义隐含着条件“定点在定直线外”， 否则其轨迹不存在。 (4)椭圆离心率的几何意义：由椭圆的第二定义得， “椭圆上一点到焦点的距离与相应准线的距离之比” 2021/3/1010 练练 习习 ,)0(1 0 2 2 2 2 xPba b y a x

10、的的横横坐坐标标是是上上一一点点已已知知椭椭圆圆 为为离离心心率率，则则点点，且且分分别别是是椭椭圆圆的的左左、右右焦焦、eFF 21 。 21 , PFPF 0 exa 0 exa 1 2 2 2 2 b y a x （ab0）左焦点为）左焦点为F1，右焦点为，右焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点，）为椭圆上一点， 则则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0。 。其中 其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径叫焦半径. 1 2 2 2 2 b x a y （ab0）下焦点为）下焦点为F1，上焦点为，上焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点，）为椭圆上一点， 则则|PF1|=a

11、+ey0，|PF2|=a-ey0。 。其中 其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径叫焦半径. 说明：说明： P F1 F2X Y O)(第二定义第二定义 a c c a x PF 2 0 1 0 2 01 )(exa c a x a c PF a c x c a PF 0 2 2 :同理同理 00 2 2 )(exax c a a c PF 2021/3/1011 焦半径公式焦半径公式 该公式的记忆方法为该公式的记忆方法为左加右减左加右减”，即在，即在a与与ex0之之 间，间， 如果是左焦半径则用加号如果是左焦半径则用加号“+连接，如果是右焦半径用连接，如果是右焦半径用 “”号连接号连接 焦点在

12、焦点在x轴上时：轴上时： PF1=a+exo，PF2=a-exo； 焦点在焦点在y轴上时：轴上时： PF1=a+eyo,PF2=a-eyo。 该公式的记忆方法为该公式的记忆方法为下加上减下加上减”，即在，即在a与与ey0之之 间，间， 如果是下焦半径则用加号如果是下焦半径则用加号“+连接，如果是上焦半径用连接，如果是上焦半径用 “”号连接号连接 焦半径的最大值为：焦半径的最大值为： 焦半径的最小值为：焦半径的最小值为： a+c a-c 2021/3/1012 例例3. 解：解： 2021/3/1013 例例4：求椭圆：求椭圆 上一点上一点P,使得点使得点P与椭圆与椭圆 两焦点连线互相垂直两焦点

13、连线互相垂直. 1 49 22 yx :3,2,5abc解法1 12 (5,0),( 5,0)FF00 (,)P xy设 12 PFPF 12 0PF PF 2 000 (5)(5)0 xxy 22 00 5xy 22 00 1 94 xy 又 00 00 33 55 44 55 xx yy 解得：或 3434 ,) 5555 P(,)或P( 2021/3/1014 引申引申:当点当点P与两焦点连线成钝角时与两焦点连线成钝角时,求求P点的横坐标点的横坐标 的取值范围的取值范围. 例例4：求椭圆：求椭圆 上一点上一点P,使得点使得点P与椭圆与椭圆 两焦点连线互相垂直两焦点连线互相垂直. 1 49

14、 22 yx 5 :3,2,5, 3 abce解法2 ( , )P x y设 3434 ,) 5555 P(,)或P( | 1 5 3 3 则：，PFaexx | 2 5 3 3 PFaexx | cos | | 222 1212 12 12 2 PFPFFF F PF PFPF () 2 2 5 1 9 5 2 9 9 x x 0 3 5 x 4 5 y 代入椭圆方程得 2021/3/1015 :( , ),P x y解 设 | 1 5 3 3 则：，PFaexx | 2 5 3 3 PFaexx | cos | | 222 1212 12 12 2 PFPFFF F PF PFPF () 2 2 5 1 9 5 2 9 9 x x 12 FPF为钝角 12 1cos0，F PF 2 2 5 1 9 10 5 2(9) 9 即 x x 3 53 5 55 x解之得 2021/3/1016 12， PPP xxx 22 22 12 5 P ,P 1 94 而的坐标可由 xy xy 12 3 53 5 55 解得， PP xx 3 53 5 55 x 2021/3/1017 课堂练习课堂练习 1、椭圆、椭圆 上一点到准线上一点到准线 与到焦与到焦 点（点（-2，0）的距离的比是）的距离的比是 （ ） 1 711 22 yx 2 11 x 11 11 2 )( A 2