线性代数57PPT学习教案

1、会计学1 线性代数线性代数57 性质1： 行列式与它的转置行列式相等。 1112111211 2122212222 1212 nn nnT nnnnnnnn aaaaaa aaaaaa DD aaaaaa 第1页/共51页 证明： nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 nnnn n n T bbb bbb bbb D 21 22221 11211 设设 则 jiij ab ), 2 , 1,(nji 由行列式定义 n n n jjj njjj jjjT bbbD 21 21 21 21 )( )1( Daaa n n n jjj njjj jjj 21 2

2、1 21 21 )( )1( 说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质 对列也成立，反之亦然。 第2页/共51页 记法 行列式的第s行： s r 行列式的第s列： s c 交换s、t两行： ts rr 交换s、t两列： ts cc 推论：如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0 。 证明：把相同的两行互换，有DD，所以 D0 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。性质2： 第3页/共51页 性质3： 用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素， 等于用数 k 乘此行列式。 推论： 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 记法 第s行乘以k： s kr 第s列乘以k: s k

3、c nnnn snss n nnnn snss n aaa kakaka aaa aaa aaa aaa k 21 21 11211 21 21 11211 推论： 若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0 。 第4页/共51页 性质4： nnnn nn n aaa cbcbcb aaa 21 2211 11211 nnnn n n aaa bbb aaa 21 21 11211 nnnn n n aaa ccc aaa 21 21 11211 即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行 列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的 对应的行一样。 第5页/共51页

4、 nnnnnn n n acbaa acbaa acbaa 21 2222221 1111211 nnnnn n n abaa abaa abaa 21 222221 111211 nnnnn n n acaa acaa acaa 21 222221 111211 第6页/共51页 性质5：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加 到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。 记法 数k乘第 t 行加到第 s 行上： ts krr )( ts kcc 证明： nnnn tntt snss n aaa aaa aaa aaa D 21 21 21 11211 作 ts krr 第7页/

5、共51页 得 nnnn tntt tnsntsts n aaa aaa kaakaakaa aaa D 21 21 2211 11211 1 nnnn tntt snss n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 11211 nnnn tntt tntt n aaa aaa kakaka aaa 21 21 21 11211 DD 0 第8页/共51页 例1：计算 3111 1311 1131 1113 D 利用行列式性质计算：目标 化为三角形行列式 6666 1311 1131 1113 D 解解：这这个个行行列列式式的的特特点点是是各各列列的的4 4个个数数之之和和都都是是6

6、6， 把把第第2 2，3 3，4 4行行同同时时加加到到第第一一行行得得到到 第9页/共51页 66661111 13111311 6 11311131 11131113 D 提提出出公公因因子子6 6然然后后各各行行减减去去第第一一行行 1111 0200 6 0020 0002 6 1 2 2 248D 这这是是一一个个上上三三角角行行列列式式 于于是是 第10页/共51页 例2：计算 3351 1102 4315 2113 D 1312 1534 0211 5133 D 解解：对对换换第第一一列列和和第第二二列列 第11页/共51页 11 13121312 15340846 021102

7、11 513301627 a D 第第一一列列除除外外全全化化为为零零 13121312 08460211 02110846 0162701627 D 类类似似上上面面的的做做法法把把主主对对角角线线以以下下全全化化为为零零 第12页/共51页 13121312 02110211 084600810 01627001015 43 1312 0211 5 40 00810 4 5 000 2 rr 第13页/共51页 例4：计算 dcbacbabaa dcbacbabaa dcbacbabaa dcba D 3610363 234232 0 : 0232 0363 abcd aababc D a

8、ababc aababc 解 0 002 003 abcd aababc aab aab 第14页/共51页 0 002 000 abcd aababc aab a 4 a 0 002 003 abcd aababc aab aab 第15页/共51页 注：上述各例都用到把几个运算写在一起的省略写法， 要注意各个运算次序一般不能颠倒，因为后一次 运算是作用在前一次运算结果上。 例如： dc ba 21 rr dc dbca 12 rr ba dbca dc ba 12 rr bdac ba 21 rr bdac dc 第16页/共51页 111 1 111111 11 111111 12 11

9、 12 3 0 det()det(), k kkk kn nnknnn kn ijij kkknnn aa aa D ccbb ccbb aabb DaDb aabb DD D 例例 设设 ， 证证明明： 第17页/共51页 11 11 111 1 0 , ij kk kkk DrkrD p Dpp pp 证证：对对做做把把化化为为下下三三角角行行列列式式，设设为为 22 11 211 1 0 , ij nn nnn DckcD q Dqq qq 对对做做把把化化为为下下三三角角行行列列式式，设设为为 第18页/共51页 11 1 11111 11 111112 0 . ijij kkk k

10、nnknnn kknn DkrkrDnckc D p pp D ccq ccqq DppqqD D 于于是是对对 的的前前 行行做做，再再对对 的的后后 列列做做 把把 化化为为下下三三角角行行列列式式 所所以以 1 D 2 D 第19页/共51页 2 2 42 n n n ab ab D cd cd 例例 计计算算阶阶行行列列式式 第20页/共51页 2 2 2(22) 2 221. 221. 00 00 00 ( 1) 00 n n n n Dnn Dnn ab cd ab D ab cd cd 解解：把把中中的的第第行行依依次次与与第第行行，第第2 2行行对对调调 ( (共共2n-22n

11、-2次次) )再再把把中中的的第第行行依依次次与与第第行行，第第 2 2行行对对调调，得得 第21页/共51页 222(1)2(1) () nnn DD Dadbc D 由由上上例例的的结结论论 2n-1n 22(2)2 ().()() nn DadbcDadbcDadbc 以以次次作作为为递递推推公公式式得得 第22页/共51页 第六节. 行列式按行（列）展开 对于三阶行列式，容易验证： 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 3331 2321 13 3331 2321 12 3332 2322 11 aa aa a aa aa a aa aa a 可见一个三阶行

12、列式可以转化成三个二阶行列式的计算。 问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n1 阶行列式 来计算？ 第23页/共51页 定义1： 在 n 阶行列式中，把元素 ij a 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，余下的 n1 阶行列式叫做元素 ij a 的余子式。 记为 ij M 称 ij ji ij MA 1 为元素 ij a 的代数余子式。 例如： 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa D 444241 343231 141211 23 aaa aaa aaa M 23 32 23 1MA . 23 M 第24页/

13、共51页 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa D 444341 343331 242321 12 aaa aaa aaa M 12 21 12 1MA 12 M 333231 232221 131211 44 aaa aaa aaa M 4444 44 44 1MMA 注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。 第25页/共51页 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即 ininiiii AaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 定理1： 证明：（先特殊，再一般）

14、分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。 (1)假定行列式D的第一行除 11 a 外都是 0 。 nnnn n aaa aaa a D 21 22221 11 00 第26页/共51页 所以， 1111M aD 11 11 11 )1(Ma 1111A a 11 222 21222 11 2 12 3 00 . . n n nnn nnnn a aa aaa Da aa aaa 由由例例 的的结结论论 第27页/共51页 (2)设 D 的第 i 行除了 ij a 外都是 0 。 nnnjn ij nj aaa a aaa D 1 1111 00 把D转化为(1)的情形 把 D 的第 i 行依次

15、与第 1 i 行，第 2 i 行， 第2行，第1行交换；再将第 j 列依次与第 1 j 列， 第 2 j 列， 第2列，第1列交换，这样共经过 2)1()1( jiji 次交换行与交换列的步骤。 第28页/共51页 由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号， 得， nnjnnj nijiji ij ji aaa aaa a D 1, , 11, 1, 1 2 00 )1( ( 1)i j ijijijij a Ma A 第29页/共51页 (3) 一般情形 nnnn inii n aaa aaa aaa D 21 21 11211 nnnn inii n aaa aaa aaa 21 21 1

16、1211 000000 第30页/共51页 nnnn i n aaa a aaa 21 1 11211 00 nnnn i n aaa a aaa 21 2 11211 00 nnnn in n aaa a aaa 21 11211 00 ininiiii AaAaAa 2211 ni, 2 , 1 例如，行列式 277 010 353 D 27 01 3 D.27 按第一行展开，得 27 00 5 77 10 3 证毕。 第31页/共51页 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零，即 ., 0 2211 ikAaAaAa inknikik 定理2： 证明

17、： 由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和。 在 nnnn knkk inii n aaa aaa aaa aaa D 21 21 21 11211 中，如果令第 i 行的元素等于 另外一行，譬如第 k 行的元素 第32页/共51页 则， inknikik AaAaAa 2211 nnnn knkk knkk n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 11211 第i行 右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。 第33页/共51页 综上，得公式 inknikik AaAaAa 2211 ），（当，（当 ）（当（当 ik ikD 0 , njnljljl

18、AaAaAa 2211 ），（当，（当 ）（当（当 jl jlD 0 , 在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定 简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n1）阶行列 式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一 列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理 在理论上是重要的。 第34页/共51页 利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简 化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某 一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开, 变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或 二阶行列式。 第35页/共51页 例1: 计算行列式 3351 11

19、02 4315 2113 D 0355 0100 13111 1115 31 2 cc 34 cc 055 1111 115 )1( 33 第36页/共51页 511 1111 550 055 026 115 55 26 )1( 31 50 28 .40 12 rr 第37页/共51页 例2:证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 1 11 2 1 1 22 2 2 1 21 ).( 111 jin ji n n nn n n n xx xxx xxx xxx D )1( 第38页/共51页 证明： 用数学归纳法 21 2 11 xx D 12 xx , )( 12 ji ji xx (

20、1) 当n=2时, 结论成立。 (2) 设n1阶范德蒙德行列式成立，往证n阶也成立。 11 2 1 1 22 2 2 1 21 111 n n nn n n n xxx xxx xxx D 11 nn rxr 211 nn rxr 112 rxr 第39页/共51页 )()()(0 )()()(0 0 1111 1 2 13 2 312 2 2 1133122 11312 xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxx n n n nn nn n ,)(1 1 提提出出因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第xxi 22 3 2 2 32 11312 111 )()( n

21、n nn n n xxx xxx xxxxxx n-1阶范德蒙德行列式 第40页/共51页 )()()( 2 11312j jin in xxxxxxxx ).( 1 j jin i xx 证毕。 第41页/共51页 第七节. Cramer 法则 引入行列式概念时，求解二、三元线性方程组，当系数 行列式 0 D 时，方程组有唯一解， )3 , 2 , 1( i D D x i i 含有n个未知数，n个方程的线性方程组，与二、三元线性方 程组类似，它的解也可以用n阶行列式表示。 Cramer法则：如果线性方程组 )1( 2211 22222121 11212111 nnnnnn nn nn bx

22、axaxa bxaxaxa bxaxaxa 的系数行列式不等于零， 第42页/共51页 nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 0 即 ., 2 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x D D x n n 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 j DDj n nnjnnjnn njj j aabaa aabaa D 1,1,1 11, 111, 111 则线性方程组(1)有唯一解， 第43页/共51页 例1： 用Cramer法则解线性方程组。 0674 522 963 852 4321 432

23、 421 4321 xxxx xxx xxx xxxx 解： 6741 2120 6031 1512 D 21 2rr 24 rr 12770 2120 6031 13570 第44页/共51页 1277 212 1357 21 2cc 23 2cc 277 010 353 27 33 27 6740 2125 6039 1518 1 D81 6701 2150 6091 1582 2 D 108 6041 2520 6931 1812 3 D 27 0741 5120 9031 8512 4 D27 ,3 27 81 1 1 D D x所所以以 , 4 2 x, 1 3 x. 1 4 x 第45页/共51页 注: 1. Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形。 2.理论意义：给出了解与系数的明显关系。 但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。 3. 撇开求解公式 , D D x j j Cramer法则可叙述为下面定理： 定理1： 如果线性方程组如果线性方程组(