研究生入学考试线性代数二次型PPT学习教案

1、会计学1 研究生入学考试线性代数二次型研究生入学考试线性代数二次型 nn xxaxxaxaf 112112 2 111 nn xxaxaxxa 22 2 2221221 2 2211nnnnnnn xaxxaxxa )( )( )( 2211 22221212 12121111 nnnnnn nn nn xaxa xax xaxa xax xaxa x a x nnnnn nn nn n xaxa xa xaxa xa xaxa x a xxx 2211 2222121 1212111 21 ),( 2、二次型的表示方法、二次型的表示方法 第1页/共48页 ., 为对称矩阵为对称矩阵其中其中则

2、二次型可记作则二次型可记作AAx x f T , 2 1 21 22221 11211 nnnnn n n x x x x aaa aaa aaa A 记记 nnnnn n n n x x x aaa aaa aaa xxx 2 1 21 22221 11211 21 , 第2页/共48页 例例1、将二次型、将二次型 yzxyzxf43 22 用矩阵表示。用矩阵表示。 z y x zyxf 3 2 1 0 2 1 02 021 ),( 第3页/共48页 3、二次型的矩阵及秩、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵

3、；反之，任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二 次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系 ; 的矩阵的矩阵叫做二次型叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA ; 的二次型的二次型叫做对称矩阵叫做对称矩阵Af . 的秩的秩的秩叫做二次型的秩叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA 第4页/共48页 解解,a,a,a321 332211 ,aa2 2112 ,aa0 3113 .aa3 3223 . 330 322 021 A . 6432 3221 2 3 2 2 2 1 的的矩矩阵阵 写

4、写出出二二次次型型 xxxxxxxf 例例2 第5页/共48页 nnnnnn nn nn ycycycx ycycycx ycycycx 2211 22221212 12121111 , , 4、合同变换、合同变换 设有一个可逆的线性变换，设有一个可逆的线性变换， ),(cC ij 记记记作记作则上述可逆线性变换可则上述可逆线性变换可 Cyx 第6页/共48页 Axxf T 有有将其代入将其代入, Ax x f T . yACCy TT CyACy T , , T T TTT BC ACAC BC ACC ACBB 记其中 为对称矩阵， 可逆，则 即 也为对称矩阵， -1-1 (),( )(

5、), ( )( )( )( ), TT BC ACACBCR BR A R AR BR AR B 又且可得 同时成立，所以， () TT yC AC y由此可见，经过上述可逆线性变换， 仍为二次型，而且二次型的秩不变，变换前后 的两个二次型的矩阵有下面所定义的合同关系： 第7页/共48页 定义定义5.2. 对于对于n阶矩阵阶矩阵A和和B,如果存在如果存在n阶可逆矩阶可逆矩 阵阵C,使得使得B=CTAC,就称就称A合同于合同于B,记作记作A B，对，对 A进行运算称为对进行运算称为对A进行合同变换进行合同变换. 矩阵间的合同关系具有反身性矩阵间的合同关系具有反身性,对称性对称性,和和 传递性传递

6、性. 第8页/共48页 定义定义5.3 5.3 只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型 22 22 2 11nn ykykykf 称为二次型的标准形（或法式）称为二次型的标准形（或法式） 2 3 2 2 2 1321 44,xxxxxxf 为二次型的标准形为二次型的标准形. . 5.2 化二次型为标准型化二次型为标准型 例如例如 若标准形的系数只取若标准形的系数只取1，-1，0，即，即 2222 11ppr fzzzz 称为二次型的规范形称为二次型的规范形 。 第9页/共48页 要使二次型要使二次型 经可逆线经可逆线 性变换性变换x=Cy化为标准形化为标准形,就是要使就是要使 12 (,)

7、T n fx xxx Ax 222 12 12 T T n n ACyyyy y Ckkk ,),( 2 1 2 1 21 y y y k k k yyy nn n .成成为为对对角角矩矩阵阵也也就就是是要要使使AC C T (,)()() 12 TT fxxxxAxCyA Cy n 因此，化二次型为标准形就是对于对称矩阵因此，化二次型为标准形就是对于对称矩阵A寻寻 找可逆矩阵找可逆矩阵C，使与，使与A合同的矩阵合同的矩阵CTAC为对角阵。为对角阵。 第10页/共48页 有有型型 把此结论应用于二次把此结论应用于二次即即使使 总有正交矩阵总有正交矩阵阵阵由于对任意的实对称矩由于对任意的实对称矩

8、 , ., , 1 AP P AP P PA T 1 正交变换法正交变换法 定理定理5.1 对于任一个对于任一个n元二次型元二次型 12 11 (,) nn T nijij ii fx xxa x xx Ax 总有正交变换总有正交变换x=Py(P为为n阶正交矩阵），使阶正交矩阵），使 f(x1,x2,xn)化为标准形化为标准形 常见的化二次型为标准形的方法常见的化二次型为标准形的方法 第11页/共48页 12 (,)() T TTT n fx xxx AxPyA PyyP AP y 222 1122 , nn yyy 其中其中1, 2， n是实对称矩阵是实对称矩阵A的特征值，的特征值，P的的n

9、 个列向量个列向量p1,p2,pn是是A的对应于特征值的对应于特征值1, 2， n的两两正交的单位特征向量的两两正交的单位特征向量. 推论推论5.1 对于任一个对于任一个n元二次型元二次型 12 (,) T n fx xxx Ax 总有可逆线性变换总有可逆线性变换x=Cz，使，使f(Cz)为规范形。为规范形。 第12页/共48页 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 ;,. 1AAx x f T 求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,. 2 21n A 的所有特征值的所有特征值求出求出 ;,. 3 21n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特

10、征征值值的的特特 ;, ,. 4 2121 21 nn n C 记记 得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 . ,. 5 22 11nn yyf fCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 第13页/共48页 解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 1442 4142 2217 A 1442 4142 2217 AE 918 2 ., 844141417 323121 2 3 2 2 2 1 化成标准形化成标准形通过正交变换通过正交变换 将二次型将二次型 Pyx xxxxxxxxxf 例例3 3 第14页/共48页 从而得特征值从

11、而得特征值 .18, 9 321 得基础解系代入将,09 1 xAE 2 2求特征向量求特征向量 得基础解系代入将, 018 32 xAE ,)0 , 1 , 2( 2 T .)1 , 0 , 2( 3 T 3 3将特征向量正交化将特征向量正交化 , 1 1 取取 . 1 1 2 1 1 , 22 , , , 2 22 32 33 得正交向量组得正交向量组 .)1 , 54, 52( 3 T ,)0 , 1 , 2( 2 T ,)1 , 1 , 21( 1 T 第15页/共48页 ,3 , 2 , 1, i i i i 令令 得得 , 0 51 52 2 , 32 32 31 1 . 455

12、454 452 3 . 455032 4545132 4525231 P 所所以以 4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵P 第16页/共48页 于是所求正交变换为于是所求正交变换为 , 455032 4545132 4525231 3 2 1 3 2 1 y y y x x x .18189 2 3 2 2 2 1 yyyf 且有且有 第17页/共48页 2 2 配方法配方法 32 2 331 2 221 2 1 65222xxxxxxxxxf 例例5、化二次型为标准形、化二次型为标准形 1 x 解：将解：将 的项归并起来，得的项归并起来，得 2 32 2 321

13、 32 2 3 2 2 2 321 )2()( 44)( xxxxx xxxxxxxf 第18页/共48页 33 322 3211 33 322 3211 22 yx yyx yyyx xy xxy xxxy 令令 3 2 1 100 210 111 y y y CYX 2 2 2 1 yyf 经过可逆线性变换经过可逆线性变换 将二次型化为标准型：将二次型化为标准型： 第19页/共48页 323121 622xxxxxxf 33 212 211 yx yyx yyx 3213212121 )(6)(2)(2yyyyyyyyyyf 3231 2 2 2 1 8422yyyyyy 例例5、化二次型

14、为标准形、化二次型为标准形 解解 f不含平方项，含有不含平方项，含有x1,x2的乘积项，的乘积项， 因此先用代换产生平方项因此先用代换产生平方项 第20页/共48页 2 3 2 32 2 31 6)2(2)(2yyyyyf 33 322 311 33 322 311 22 zy zzy zzy yz yyz yyz 2 3 2 2 2 1 62zzzf 100 210 101 100 011 011 C 再配方，得再配方，得 则有则有 令令 所求得可逆变换矩阵为所求得可逆变换矩阵为 第21页/共48页 说明：用配方的方法化二次型为标准型方法：说明：用配方的方法化二次型为标准型方法： 1）、若二

15、次型不含平方项，仅含乘积项，先引入）、若二次型不含平方项，仅含乘积项，先引入 代换产生平方项后，再配方；代换产生平方项后，再配方； 2）、若二次型含平方项，集中含有平方项的某一）、若二次型含平方项，集中含有平方项的某一 个变量所有项的平方，对余下的变量同样进行配方个变量所有项的平方，对余下的变量同样进行配方 作平方和。作平方和。 注：用配方法作的变换是可逆变换，但是不一定是注：用配方法作的变换是可逆变换，但是不一定是 正交变换，因此标准型中平方项前的系数不一定是正交变换，因此标准型中平方项前的系数不一定是 特征值。特征值。 第22页/共48页 化为标准型，并指出化为标准型，并指出 表示何种二次

16、表示何种二次 1, 321 xxxf 曲面曲面. 323121 2 3 2 2 2 1 321 662355 , xxxxxxxxx xxxf 求一正交变换，将二次型求一正交变换，将二次型 思考题思考题 第23页/共48页 思考题解答思考题解答 , 333 351 315 A二次型的矩阵为二次型的矩阵为解解 ),9)(4()det(AE可求得 , 9, 4, 0 321 的特征值为的特征值为于是于是A . 1 1 1 , 0 1 1 , 2 1 1 321 ppp 对应特征向量为对应特征向量为 第24页/共48页 将其单位化得将其单位化得 , 62 61 61 1 1 1 p p q , 0

17、21 21 2 2 2 p p q . 31 31 31 3 3 3 p p q 第25页/共48页 故正交变换为故正交变换为 , 3 1 0 6 2 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 3 2 1 3 2 1 y y y x x x .94 2 3 2 2 yyf 化二次型为化二次型为 .1),( 321 表示椭圆柱面表示椭圆柱面可知可知 xxx f 第26页/共48页 一个实二次型，既可以通过正交变换化为标一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形显然，

18、其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩 下面我们限定所用的变换为下面我们限定所用的变换为实变换实变换，来研究，来研究 二次型的标准形所具有的性质二次型的标准形所具有的性质 5.3 正定二次型正定二次型 1、惯性定理、惯性定理 第27页/共48页 . , ,0 ,0 , , )( 1 11 22 22 2 11 22 22 2 11 相等相等 中正数的个数中正数的个数中正数的个数与中正数的个数与则则 及及 使使 及及 有两个实的可逆变换有两个实的可逆变换为为 它的秩它的秩设有实二次型设有实二次型惯性定理惯性定理定

19、理定理 rr irr irr T kk zzzf kykykykf PzxCyx r Ax x f 第28页/共48页 1 ( ),0, (1)0, ; (2)0, (3)0, ; (2)0, T f xx Axx fxf A fxf A fxf A fxf A 定义设有实二次型对任何 如果都有则称 为正定二次型 并称 对称矩阵 是正定的 如果都有则称 为半正定二次型 并称 对称矩阵 是半正定的 如果都有则称 为负定二次型 并称 对称矩阵 是负定的 如果都有则称 为半负定二次型 并称 对称矩阵 是半负定的 第29页/共48页 . ,:1 为正定二次型 证明为可逆矩阵设例 AXXf UUAU T

20、 T AXXf T :证明 UXUX TT UXUX T )(0 例如例如 222 164zyxf 为为正定二次型正定二次型 2 2 2 1 3xxf 为为负定二次型负定二次型 第30页/共48页 .,:2也是正定矩阵证明阶正定矩阵为设例BAnBA TT BBAA nBA , ,:知阶正定矩阵为因为证明 , 0, 0, 0BxxAxxx TT 有又对 为对称矩阵即BA BABABA TTT )( 第31页/共48页 0)(BxxAxxxBAx TTT 则 .,阶正定矩阵也是所以nBA 第32页/共48页 ), 2 , 1(0 :,)(:3 nia naA ii ij 证明阶正定矩阵为设例 ,

21、0),(0 )( : AxxRxx naA Tn ij 有即对 阶正定矩阵为因为证明 i T i T i AAxx nix ), 2 , 1(则依次取 第33页/共48页 ), 2 , 1(0niaii 0 1 0 010 1 1111 iniii ni aaa aaa 第34页/共48页 证明证明使使设设可可逆逆变变换换Cyx .)()( 2 1 i n i i TT ykCyfCyACyAxxxf 充分性充分性 ., 10nik i 设设, 0 x任给任给 , 0 xCy 1- 则则 故故 . 0 2 1 i n i i ykxf .: 2 个系数全为正个系数全为正它的标准形的它的标准形的

22、件是件是 为正定的充分必要条为正定的充分必要条实二次型实二次型定理定理 n Ax x f T 第35页/共48页 必要性必要性 , 0 s k假假设设有有 , )(时时单单位位坐坐标标向向量量则则当当 s ey . 0 ss kCef , 0 s Ce显然显然.为正定相矛盾为正定相矛盾这与这与 f 故故 ., 10niki 推论对称矩阵推论对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正的特征值全为正 AA 第36页/共48页 2 ,:4 BA BnnA 使 阶正定矩阵则存在阶正定矩阵是若例 , 0),(0 ,: AxxRxx nA Tn 有对 即阶正定矩阵为因为证明

23、 0 ),( , 21 1 i n diagAPP PA 使得 则存在正交矩阵为实对称矩阵其中 第37页/共48页 0,),(: 1 21 in PPdiagA得 1 2 1 PP n n M 1 令 第38页/共48页 )(: 1112 PMPPMPPPMA得 , , 11T PPPPMPB 的正交性知由取 ,)(为对称矩阵即BBPMPPMPB TTTT . , 正定所以 有相同的特征值与的形式知且由 B MBB 证毕. 第39页/共48页 例例5 5 判别二次型判别二次型 31 2 3 2 2 2 1321 4542,xxxxxxxxf 是否正定是否正定. 解解 二次型的矩阵为二次型的矩阵

24、为 , 502 040 202 A 用用特征值判别法特征值判别法. 0 AE 令令. 6, 4, 1 321 故此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型.即知即知 是正定矩阵是正定矩阵，A 第40页/共48页 , 0 11 a , 0 2221 1211 aa aa , ; 0 1 111 nnn n aa aa ., 2 , 1, 01 1 111 nr aa aa rrr r r 这个定理称为这个定理称为霍尔维茨定理霍尔维茨定理 定理定理3 3 对称矩阵对称矩阵 为为正定正定的的充分必要条件充分必要条件是：是： 的各阶主子式为正，即的各阶主子式为正，即 AA 对称矩阵对称矩阵 为为负定负定的的充分必要条件充分必要条件是：奇数阶主是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即子式为负，而偶数阶主子式为正，即 A 第41页/共48页 正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性质 ; ,A, . 1 1T 定定矩矩阵阵 均均为为正正则则为为正正定定实实对对称称阵阵设设 AAA . , . 2 矩矩阵阵 也也是是正正定定则则阶阶正正定定矩矩阵阵均均为为若若BAnBA 第42页/共48页 例例6 6 判别二次型判别二次型 323121 2 3 2 2 2 1321 48455,xxxxxxxxxxxxf 是否正定是否正定. 解解 的矩阵为的矩阵为 321 ,xxxf