高等数学2017年最新课件数学精神与方法第六讲

1、数学精神与方法数学精神与方法 第六讲第六讲 运算与迭代的威力运算与迭代的威力 （二）（二） 3.2 3.2 经典数学的统一经典数学的统一 “数形合一数形合一”（续）（续） 上一节我们已看到怎样从ZFC系统制定出自然数 系，整数系，直至有理数系。 本节将带领大家看一看： 怎样由有理数系制定出实数系？ 怎样理解实数系与直线的统一？ 怎样理解数与形的统一？ 无理量的存在性无理量的存在性 思考题：证明上述命题。 “万物皆数”的信条。摇了毕达哥拉斯学派的 发现动无理数”了。无理量的无理量”的数也就是“无理量”，而表示“ 称作正方形的对角线被他们是有理数。因此，单位对角线与它的边之比不 形的理他们又能证明

2、，正方疑；但是，利用勾股定凭直觉他们对此深信不 数”，两条线段之比都是有理之母”，依据是“任何弟子们“自然数是万物 他的危机。毕达哥拉斯教导数学史上的第一次数学动和不安，这就爆发了 的震们的心理上引起了巨大是，无理数的发现在他他们发现了无理数。可 正是勾股定理引领定理证明了勾股定理及其逆他们的另一重要贡献是 ，献是发现了“无理数”达哥拉斯学派的最大贡在数学的发展史上，毕 不是有理数。命题2 “ 完备化” 观念 无理数的存在说明有理数系并不像毕达哥拉斯想象的那么“完备”，有理数系还有必要 作进一步的扩充。可是，“完备”究竟意味什么意思呢？简单地说，这里的“完备”是数学家 渴望达到的一种境界“数与

3、形统一” 。让我们自然地设想一下： 在一条连绵不断的直线上，选定一个原点和一个序向，并选定单位长度，那么可以将 有理数0对应于直线上的原点，将数目1对应于直线上沿序向离原点有一个单位长度的点， 将数目2对应于沿序向离原点有二个单位长度的点，等等凡是有理数都唯一地对应于 直线上 一点，这一点离开原点的距离与单位长度是可公度的，并且不同的有理数对应于 直线上不同的点这样就实现了从有理数系Q到直线上某个稠密子集间的一个保序双射。 可是，这条连绵不断的直线上终归本性地存在着不能被任何有理数对应的点，这一现象 正是有理数系Q“不完备” 的表象。透过Q的这种“不完备” 表象，可以体会“完备” 的意味 “完

4、备”是“数与直线（形）统一”的想法。 “完备完备” = “数与直线（形）统一数与直线（形）统一” 分析数学的基本问题 怎样将有理数系扩充成一个完备的有序数系，从而达成“数与直 线的统一”呢？ 这事实上是事关“分析数学”基础的一个大问题。 牛顿和莱布尼兹在17世纪发明的微积分理论，被誉为“人类精神 的最高胜利”，开启了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特 点的数学领域。然而，牛顿和莱布尼兹的微积分是不严格的，特别 在使用无穷小概念上是随意和混乱的。这种状况长期困扰着数学家 们，长达200年之久。 数学家们经过几代人的不懈努力才搞清楚，彻底消除微积分理 论的漏洞，靠的是有理数系的“完备化”思

5、想，即将有理数系扩充成 一个完备的有序数系实数系的理论。 牛顿（牛顿（Isaac Newton, 16421727)，最伟大的科学家，最伟大的科学家 之一。之一。自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理于于1687年出版。年出版。 莱布尼茨（莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646 1716），德国数学家，微积分的创立者。），德国数学家，微积分的创立者。 牛顿与莱布尼茨 牛顿和莱布尼茨都是他们所处时代的科学巨人，他们在相互独立的情 况下各自创立了微积分。就发明时间而言，牛顿早于莱布尼茨；就发 表时间而言，莱布尼茨先于牛顿。 微积分发明权的争论被认为是“科学史上最不幸

6、的一章”。由此产生的 严重影响是，整个18世纪英国与欧陆国家在数学发展上分道扬镳。虽 然牛顿在微积分应用方面的辉煌成就极大地促进了科学的进步，但由 于英国数学家固守牛顿的传统而使自己逐渐远离了分析的主流。分析 的进步，在18世纪，主要是由欧陆国家的数学家在发展莱布尼茨微积 分方法的基础上而取得的。 英雄世纪英雄世纪 微积分诞生之后，数学迎来一次空前繁荣的时期。18世 纪被称为数学史上的英雄世纪。这个时期的数学家们在 几乎没有逻辑支持的前提下，勇于开拓并征服了广泛的 科学领域。 18世纪的数学家知道他们的微积分概念是不清楚的，证 明也不充分，但他们却自信他们的结果是正确的。 在微积分的发展过程中

7、，一方面是成果丰硕，另一方面 是基础的不稳固；这使得在微积分的研究和应用中出现 了越来越多的谬论和悖论。数学的发展又遇到了深刻的 令人不安的危机。由微积分的基础所引发的危机在数学 史上称为第二次数学危机。 因此在18世纪结束时，微积分和建立在其上的其他分析 分支，在逻辑上，处于一种混乱的状态之中。 历史要求给微积分以严格的基础。 微积分的严格基础微积分的严格基础 微积分理论和应用经过整个18世纪的空前展开和长期发展，在说明这一理论极其有 效的同时，也使得它的逻辑基础备受数学家们的关注，数学界再也不能无视微积分 建立在一个“随意的和混乱的”无穷小概念之上。进入19世纪，分析基础严格化的时 代到来

8、了。 法国数学家柯西首先向分析的全面严格化迈出了关键的一步，他的许多定义和论述 已经相当接近微积分的现代形式。柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题 上长期存在的混乱，但他的理论还只能说是“比较严格”，人们不久就发现他的理论 也存在漏洞。例如，他用了许多“无限趋近” 、“想要多小就多小”等直观描述的语言。 事实上，要真正为微积分奠定牢固的基础是必须充分理解实数系的完备性才能办得 到的。可是，直到19世纪中叶，对于什么是实数竟没有严格的定义，数学家对实数 系的理解仅停留在数轴这种直观的感觉上，他们相当随便地使用无理数而没有考察 它们的确切意义和性质。 柯西对柯西对“无理数无理数”是什么的问题

9、作了一个表面的是什么的问题作了一个表面的 回答：回答：无理数是有理数序列的极限。无理数是有理数序列的极限。这里产生这里产生 了了“逻辑循环逻辑循环”的毛病。的毛病。 柯西柯西（Augustin Louis Cauchy, 1789-1857），法国 数学家。他对数学的最大贡献 是在微积分中引进了清晰和严 格的表述与证明方法，使微积 分摆脱了对于几何与运动的直 观理解和物理解释，从而形成 微积分的现代体系。 “分析算术化分析算术化”纲领纲领 对于实数缺乏认识，不仅造成逻辑上的间断，而且导致错误结果时常出现，同时使人 无法明辨错误出在哪里。19世纪后半叶，数学家们开展了一场数学史上著名的“分析 算

10、术化”运动，其目的就是要把分析建立在“纯粹算术”的基础上。这场运动的主帅是德 国数学家魏尔斯特拉斯，他关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号。 魏氏的严格化突出表现在，他创造了一套-语言，用于重建分析体系。他用这套 严格语言去代替前人的“无限地趋近”等说法而重新定义了极限、连续、导数等分析学 的基本概念，特别是引进了以往被忽视的“一致收敛性”概念，从而消除了微积分中不 断出现的各种混乱和异议。可以说，数学分析达到今天所具有的严密形式，本质上归 功于魏氏的工作。 魏尔斯特拉斯认为，实数赋予我们极限、连续等基本概念，因而成为整个分析的逻辑 本源。要使分析严格化，首先就要使实数系本身严

11、格化。为此，最可靠的办法是，按 照严密的逻辑将实数归结为整数（有理数）。这样，分析的所有概念便可以由整数导 出，以往的漏洞和缺陷就能得以弥补。这就是魏氏的“分析算术化”纲领。 1857年，魏尔斯特拉斯在解析函数论课程里向他年，魏尔斯特拉斯在解析函数论课程里向他 的学生讲授了历史上第一个严格的实数定义。的学生讲授了历史上第一个严格的实数定义。 外尔斯特拉斯外尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, 1815- 1897），德国数学家。他的主 要贡献在函数论和分析方面。 他发现了函数项级数的一致收 敛性，借助级数构造了复变函 数论，开始了分析的算术化过 程。他

12、给出的处处连续处处不 可微的函数震动了数学界。在 代数方面，他第一个给出了行 列式的严格定义。他被誉为“现 代分析之父”。 实数的实数的“戴德金分割戴德金分割”理论理论 鉴于各种实数理论本质上是一回事，我们只简介戴德金的实数定义方 案。如上所见，戴德金定义实数的方法以有理数系 的分割为基础。 。作的集合称作实数系，记为实数，全体实数组成 有理数和无理数统称称之为是一个无理数。了一个无理数，或干脆 称作是定义割三种情况出现时，将分之间的界数），而当第 与是（特征：看作有理数分割前两种情况出现时，将 中无最小者。中无最大者，而 ；之间的界数与是有一个最小者 ；之间的界数与是有一个最大者 三种情况之

13、一：不外乎是且只能是以下。任意一个分割 金分割，记作的一个戴德的这样一种分割称作那么，有理数系 中的任意一个有理数，中的每一个有理数小于 ，即， ，使得和两类法，把全体有理数分成定义：如果给定某种方 R R Q Q rr rr rr yxyx 3 2 1 Q 数与构造数的方法达成了统一！数与构造数的方法达成了统一！ 的的戴戴德德金金分分割割2 2对对应应于于 .202 20, 02 2 2 rrr rrrr 且 ，且或其中 Q Q ,222 之间的界数。与 ）作为了分割的方法本身（拿对的对象时，我们干脆就 之间的界数与中找不到可以作为当我们在有理数系 22 22 22 Q Q 实数系的完备性实

14、数系的完备性 实数系的完备性究竟是什么意思呢？这需从实数的大小关系说起。实数系的完备性究竟是什么意思呢？这需从实数的大小关系说起。 稠密性，使得，则，且若 传递性，则，且若 三择一性 关系之一成立：，则有且仅有下列三种若 ：不难证明以下三条性质 ， ，定义，命设 上的序，即大小关系：定义实数系在上述约定下，我们来 内没有最大数。都适合 以下考虑的戴德金分割内；这样，我们约定：移到我们总是将 为界数，那么以金分割。为确定起见，若戴德看作有理数 它们都可以为界数的分割有两种，以对于任意的有理数 .,3 .,2 ., ,1 . , : rr r rr rr Q QR R R R R R R R R

15、R 戴戴 德德 金金 完完 备备 性性 定定 理理 现在建立起来的全序集（现在建立起来的全序集（R, ）本质上已具有将有理数系）本质上已具有将有理数系Q扩充成一个扩充成一个 完备的有序数系的功能。这里需说明（完备的有序数系的功能。这里需说明（R, ）具有完备性是什么意思，然后）具有完备性是什么意思，然后 再将再将Q上的加法和乘法运算扩充到上的加法和乘法运算扩充到R上（扩充到上（扩充到R上的加法和乘法运算是唯一上的加法和乘法运算是唯一 确定的）。这样，（确定的）。这样，（R, ，+，-）就构成了我们理想中的）就构成了我们理想中的完备有序数系完备有序数系 即我们精神世界中的即我们精神世界中的理想直

16、线理想直线。 （R, ）的完备性是什么意思呢？）的完备性是什么意思呢？ 的最小元。元，或者是 的最大或者是，即，那么 ， ，且， 分割，即 的一个戴德金，是如果的完备性），定理（戴德金， yxyx yxyx R R RR 1 2 1 （R, ）的完备性表达出直线的）的完备性表达出直线的“ “连通性连通性” ”，而在，而在（R, ）上定义）上定义算术四则运算算术四则运算则可以表达出直线的则可以表达出直线的“ “直性直性” ” 这里我们不打算陷入定义实数之算术运算的细节中。这里我们不打算陷入定义实数之算术运算的细节中。 那么直线又是什么呢？欧几里得下定义说：那么直线又是什么呢？欧几里得下定义说：“

17、 “线只有长线只有长 度没有宽度度没有宽度” ”；这只是不能使用的；这只是不能使用的“ “假定义假定义” ”而已。希尔而已。希尔 伯特提出：将伯特提出：将“ “直线直线” ”作为无定义的原始概念处理。作为无定义的原始概念处理。 注意：注意： 戴德金（戴德金（Dedekind, J. W. Richard ，1831-1916），），德 国数学家，他因提出了把每 个实数都定义成是有理数集 的一个“戴德金分割”的理论， 而成为现代实数理论的奠基 人 。 “自然数是万物之母自然数是万物之母”的复生的复生 现在想来， “直线”只是一个不能加以定义的几何对象尽管 它在我们心中的影像是那么地确定无疑与其让

18、它这般地亦 真亦幻，不如将它就“等同等同”于实数系（R，+，-）好了。这 种“等同等同”实现了“数与直线的统一数与直线的统一”。 进一步，利用笛卡尔的坐标几何的思想就可以实现“数与形的统数与形的统 一一”。 笛卡尔（笛卡尔（Rene. Descartes, 1596-1650），法），法 国哲学家兼数学家，解析几何的发明者。他试图在国哲学家兼数学家，解析几何的发明者。他试图在 一个毋庸置疑的基础上重建知识体系，他选择数学一个毋庸置疑的基础上重建知识体系，他选择数学 推理方法作为惟一可靠的方法。推理方法作为惟一可靠的方法。 有理数的连分数表示法有理数的连分数表示法 注：注意有理数的连分数表示法中有有限个整数 被使用；若使用无限个，那么就可以表示无理数了。 ，并且表示法唯二。其中 ，则，若定理 。数表示法的价值之所在示法，这正体现出连分 示法，但仍有连分数表理数，我们没有分数表连分数表示法；对于无 可给出更有价值的有分数表示法，而且还对于有理数，我们不仅 0NZ, 0NZ n n n aaa aaa a a a a a b a ba , , 111 1 1 1 1 1 10 21 0 2 1 0 n a ,a ,a 10 的的连连分分数数表表示示2 2 . x x x xx x . x x,xx x 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1