第1章_正投影特性

1、 1.3 三面正投影图三面正投影图 第第1 1章章 投影的基本知识投影的基本知识 1.1 投影投影概念概念 1.4 点的投影点的投影 1.5 直线的投影直线的投影 1.6 平面的投影平面的投影 1.2 正正投影投影特性特性 第第1 1章章 投影的基本知识投影的基本知识 1.1 投影概念投影概念 1.1.1 投影的形成投影的形成 1.1.2 投影法的分类投影法的分类 1、中心投影法、中心投影法 2、平行投影法、平行投影法 （1）斜投影法）斜投影法 （2）正投影法）正投影法 1.1.3 投影方法的比较投影方法的比较 在灯光或日光的照射下，形体在地面或墙面上会产生的影子。 1.1.1 投影的形成投影

2、的形成 这里的灯光或日光称为投影中心，光线称为投射线，地面或墙面称 为投影面，这种得到形体的投影方法，称为投影法。 1.1.2 投影的分类投影的分类 图图1-3 中心投影中心投影 图图1-4 斜投影斜投影 图图1-5 正投影正投影 1.1.31.1.3投影方法的比较投影方法的比较 1.21.2正投影特性正投影特性 1 1、显实性、显实性 2 2、积聚性、积聚性 3 3、类似性、类似性 1 1、显实性：若线段和平面图形、显实性：若线段和平面图形平行于平行于投影面投影面, , 其投影反映实长或实形其投影反映实长或实形。 2 2、积聚性：若线段和平面图形、积聚性：若线段和平面图形垂直于垂直于投影面，

3、投影面， 其投影积聚为一点或一直线段其投影积聚为一点或一直线段。 3 3、类似性：若线段和平面图形、类似性：若线段和平面图形倾斜于倾斜于投影面，投影面， 其投影短于实长或小于实形，但与空间图形类似其投影短于实长或小于实形，但与空间图形类似。 1.3.1 三面正投影图的形成三面正投影图的形成 1、三投影面体系三投影面体系 2、形体在三投影面体系中的投影、形体在三投影面体系中的投影 1.3.2 三面正投影图的展开三面正投影图的展开 1.3.3 三面正投影图的投影规律三面正投影图的投影规律 1、投影规律投影规律 2、视图与形体的方位关系、视图与形体的方位关系 1.3 三面正投影图三面正投影图 u 问

4、题的提出 (b) 水平投影图 C B A a,b,c H 形体的一面投影 不能唯一确定其 空间形状 1.3.1 三面投影图的形成三面投影图的形成 1 1、三投影面体系、三投影面体系由三个互相垂直的投影面组成。由三个互相垂直的投影面组成。 H V X O （1）投影面）投影面 正立投影面正立投影面-V ( (正面）正面） 水平投影面水平投影面-H ( (水平面）水平面） 侧侧立投影立投影面面-W ( (侧侧面）面） （2）投影轴）投影轴 OX轴轴 - V H OY轴轴 - H W OZ轴轴 - V W （3）原点）原点 O -原点原点 Z Y W u 三面投影三面投影图图（三视图）：（三视图）：

5、 正立面投影图（正面图）正立面投影图（正面图）主视图主视图 水平面投影图（平面图）水平面投影图（平面图）俯视图俯视图 侧立面投影图（侧面图）侧立面投影图（侧面图）左视图左视图 2 2、形体在三投影面体系、形体在三投影面体系 中的投影中的投影 将形体放置在三投将形体放置在三投 影面体系中，按正投影法向影面体系中，按正投影法向 各投影面投影，则形成了形各投影面投影，则形成了形 体的三面投影图。体的三面投影图。 1.3.21.3.2三面投影图的展开三面投影图的展开 规定正面规定正面V V不动，将不动，将水平面水平面H H绕绕OXOX轴向下旋转轴向下旋转9090， 侧面侧面W W绕绕OZOZ轴向右旋转

6、轴向右旋转9090，就得到如下图所示的在同一平，就得到如下图所示的在同一平 面上的三个视图。面上的三个视图。 1.3.3 三面投影图的投影规律三面投影图的投影规律 1、三面投影图的基本规律三面投影图的基本规律(三等关系三等关系) 正面图与平面图正面图与平面图长对正长对正； 正面图与侧面图正面图与侧面图高平齐高平齐； 平面图与侧面图平面图与侧面图宽相等宽相等。 正面图正面图反映形体的反映形体的上、下上、下和和左、右左、右，不反映，不反映前前、后后； 平面图平面图反映形体的反映形体的前、后前、后和和左、右左、右，不反映，不反映上上、下下； 侧面图侧面图反映形体的反映形体的上、下上、下和和前、后前、

7、后，不反映，不反映左左、右右。 2、视图与形体的方位关系、视图与形体的方位关系 1.4.1 点的三面投影点的三面投影 1、点三面投影的形成、点三面投影的形成 2、点的投影规律、点的投影规律(特性特性) 1.4.2 点的空间坐标点的空间坐标 1.4.3 特殊位置的点特殊位置的点 1.4.4 两点的相对位置两点的相对位置 1、两点的相对位置、两点的相对位置 2、重影点及可见性判别、重影点及可见性判别 1.4 点的投影点的投影 1.4.1 点的三面投影点的三面投影 1 1、点三面投影的形成、点三面投影的形成 A A点点的的水平投影水平投影 a A A点点的的正面投影正面投影 a A A点点的侧面的侧

8、面投影投影 a H a a a VW XO Z YW YH H V X Z Y W O a a a A 分析：分析： aaz = aay = x aax = aay = z aaz = aax = y 2 2、点的投影规律、点的投影规律( (特性特性) ) aa ox （长对正）（长对正） aa oz （高平齐）（高平齐） aaz = aax（宽相等）（宽相等） H V X Z Y W O ay ax az x y z a a a H a a a VW XO Z YW YH ax ay az ay A 见书P22中的和 例题例题1.1 已知点已知点B的正面与侧面投影，求点的正面与侧面投影，求点

9、B的水平投影。的水平投影。 X Z YW YH O b b b 1.4.2 点的空间坐标点的空间坐标 1 1、点的空间位置可用、点的空间位置可用 直角坐标表示：直角坐标表示： X X坐标坐标=A=A点到点到W W面的距离面的距离A Aa a Y Y坐标坐标=A=A点到点到V V面的距离面的距离A Aa a Z Z坐标坐标=A=A点到点到H H面的距离面的距离A Aa a 2 2、书写形式为、书写形式为A (XA (X，Y Y，Z) Z) 。 H V X Z Y W O ay ax az x y z a a a A 1.4.3 特殊位置的点特殊位置的点 位于投影面、投影轴以及原点上的点。位于投影

10、面、投影轴以及原点上的点。 1.4.4 两点的相对位置两点的相对位置 X X坐标确定左右：大者在坐标确定左右：大者在左左； Y Y坐标确定前后：大者在坐标确定前后：大者在前前； Z Z坐标确定上下：大者在坐标确定上下：大者在上上。 1 1、两点的相对位置、两点的相对位置 2 2、重影点及可见性判别、重影点及可见性判别 c d(c) d C D a(b) a b A B 重影点 -若两点位于 同一条垂直某投影 面的投射线上，则 这两点在该投影面 上的投影重合，这 两点称为该投影面 的重影点。 1.4.5 点直观图的画法点直观图的画法 为了便于建立空间概念，加深对投影原理的理解，常常需 要画出具有

11、立体感的直观图。根据点的投影，画其直观图的方 法步骤见例1.2。 【例1.2】 已知A(28，0，20)、B(24，12，12)、C(24，24， 12)、D(0，0，28)四点，试画出其直观图与投影图。 (a) 直观图 (b) 投影图 1.5.1 各种位置直线的三面投影各种位置直线的三面投影 1.5.2 直线上点的投影直线上点的投影 1.5.3 一般位置直线的实长及其与投影面的夹角一般位置直线的实长及其与投影面的夹角 1.5.4 两直线的相互位置关系两直线的相互位置关系 1.5 直线的投影直线的投影 直线的投影直线的投影直线上任意两点同面投影的连线。直线上任意两点同面投影的连线。 直线的投影

12、仍为直线，特殊情况下为一点。直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。 H a b D C c(d) A B 1.5 直线的投影直线的投影 1.5.1 各种位置直线的三面投影各种位置直线的三面投影 1 1、投影面平行线、投影面平行线 与一个投影面平行，而与另两个倾斜的直线。与一个投影面平行，而与另两个倾斜的直线。 （1 1）水平线）水平线与与H H面平行，与面平行，与V V、W W面倾斜；面倾斜； （2 2）正平线）正平线与与V V面平行，与面平行，与H H、W W面倾斜；面倾斜； （3 3）侧平线）侧平线与与W W面平行，与面平行，与V V、H H面倾斜。面倾斜。 2 2、投影面垂直线、投影面垂

13、直线 与一个投影面垂直（必与另两个平行）的直线。与一个投影面垂直（必与另两个平行）的直线。 （1 1）铅垂线）铅垂线与与H H面垂直，与面垂直，与V V、W W面平行；面平行； （2 2）正垂线）正垂线与与V V面垂直，与面垂直，与H H、W W面平行；面平行； （3 3）侧垂线）侧垂线与与W W面垂直，与面垂直，与V V、H H面平行。面平行。 3 3、一般位置直线、一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线。与三个投影面都倾斜的直线。 （1）水平线 X Z Y O a a b a b b X a b ab b a O z YH YW A B 投影特性：1) ab = AB 2) ab OX ;

14、 ab OYW 3) 反映、 角的真实大小 X Z Y O （2）正平线 a a b a b b X a b a b b a O Z YH YW A B 投影特性： 1) a b = AB 2) ab OX ; a b OZ 3) 反映、角的真实大小 X Z Y O （3）侧平线 X Z a b b b a O YH YW a a a b a b b A B 投影特性： 1) ab = AB 2) ab OZ ; ab OYH 3) 反映 、 角的真实大小 n投影特性投影特性 ： v直线在所平行的投影面上的投影反映实长，并且该直线在所平行的投影面上的投影反映实长，并且该 投影与投影轴的夹角投影

15、与投影轴的夹角(、)等于直线对其他两个等于直线对其他两个 投影面的倾角。投影面的倾角。 v直线在另外两个投影面上的投影分别平行于相应的直线在另外两个投影面上的投影分别平行于相应的 投影轴，但其投影长度缩短。投影轴，但其投影长度缩短。 n平行线空间位置的判别：平行线空间位置的判别： 一斜两直线，定是平行线；斜线在哪面，平行一斜两直线，定是平行线；斜线在哪面，平行 哪个面。哪个面。 O X Z Y b a(b) a a b Z b X a b a(b) O YH YW a 投影特性：1) a b 积聚 成一点 2) a bOX ; a b OY 3) a b = a b = AB （1）铅垂线 A

16、 B （2）正垂线 O X Z Y b ab a b a 投影特性： 1) ab积聚 成一点 2) ab OX ; ab OZ 3) ab = ab =AB A B z X ab b a O YH YW a b （3）侧垂线 O X Z Y A B 投影特性：1) ab 积聚 成一点 2) ab OYH ; ab OZ 3) ab = ab =AB b a ab a b Z X ab b a O YH YW a b n投影特性：投影特性： v直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点。直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点。 v直线在另外两个投影面上的投影同时平行于一条相直线在另外两个投影面上的投

17、影同时平行于一条相 应的投影轴且均反映实长。应的投影轴且均反映实长。 n垂直线垂直线空间位置的判别空间位置的判别 ： 一点两直线，定是垂直线；点在哪个面，垂直一点两直线，定是垂直线；点在哪个面，垂直 哪个面。哪个面。 3 一般位置线 n定义定义 ： 与三个投影面均倾斜的直线，称为一般位置线。与三个投影面均倾斜的直线，称为一般位置线。 n投影图投影图 ： 一般位置线在一般位置线在H、V、W三个投影面上的投影三个投影面上的投影如如 下图所示下图所示。 n投影特性：投影特性： v直线的三个投影仍为直线，但不反映实长；直线的三个投影仍为直线，但不反映实长； v直线的各个投影都倾斜于投影轴直线的各个投影

18、都倾斜于投影轴 n一般位置线的判别一般位置线的判别 ： 三个投影三个斜，定是一般位置线。三个投影三个斜，定是一般位置线。 O X Z Y 3、一般位置直线 A B b b a b a a Z Xa b a O YH YW a b b 投影特性：1） a b、 ab、a b均小于实长 2） a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3）不反映 、 、 实角 直线上的点具有两个特性： 1 1、从属性、从属性 若点在直线上， 则点的各个投影必在直线的各 同面投影上。 利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。 2 2、定比性、定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即 A C: C

19、 B = a c : c b= a c : c b = a c : c b 利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找 点或判断已知点是否在侧平线上。 1.5.2 直线上点的投影直线上点的投影 A B b b a a XO c c C c b X a a b c c 例题1.3 已知线段AB的投影图，试将AB分成 2 ：1 两段， 求分点C 的投影。 例例已知侧平线已知侧平线AB的的V、H投影及线上一点投影及线上一点K的的V面投影面投影 k，试求点，试求点K的的H投影，投影，如图所示如图所示。 解解 图 求作直线上点的投影 例例已知侧平线已知侧平线CD和点和点E的的H、V面投影，试

20、判断点面投影，试判断点E是是 否在直线否在直线CD上，上，如图所示如图所示。 解解 图 判断点是否在直线上 求解一般位置线段的实长及倾角是求解画法几何综合题时经 常遇到的基本问题之一，而用直角三角形法直角三角形法求解实长、倾角又 最为方便简捷。 1.5.3 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角一般位置线段的实长及其与投影面的夹角 (a) 直观图 (b) 利用水平投影求实长 (c) 利用正面投影求实长 例题1.4 已知线段AB的水平投影ab和点B的正面投影b(如图 所示)，线段AB与H面的夹角 =30，求出线段AB的正面投影 ab。 (a) 已知条件 (b) 作图方法 例题1.5已知线段AB的投

21、影(如图所示)，试定出属于线段AB的 点C的投影，使BC的实长等于已知长度L。 (a) 已知条件 (b) 作图方法 1.5.4 两直线的相对位置两直线的相对位置 空间两直线有三种不同的相对位置，即相 交、平行和交叉。 两相交直线或两平行直线都在同一平面上， 所以它们都称为共面线。 两交叉直线不在同一平面上，所以称为异 面线。 两直线相交时，如图所示的AB和CD， 它们的交点E既是AB线上的一点，又是CD 线上的一点。 1 两相交直线 图 两相交直线的投影 例例给出平面四边形给出平面四边形ABCD的的V投影及其两条边的投影及其两条边的H投影，投影， 试完成整个试完成整个H投影。投影。 解解 作图

22、步聚作图步聚如图如图。 图 求四边形的H投影 根据平行投影的特性可知，两平行直线在同根据平行投影的特性可知，两平行直线在同 一投影面上的投影相互平行。一投影面上的投影相互平行。如图所示如图所示。 2 两平行直线 图 两平行直线的投影 例例给出平行四边形给出平行四边形ABCD的两边的两边AB和和AC的投影，试完的投影，试完 成成ABCD的投影。的投影。 解解作图步骤作图步骤如图所示如图所示。 图 作平行四边形的投影 n两交叉直线既不平行，也不相交。两交叉直线既不平行，也不相交。 n虽然两交叉直线的某一同面投影有时可能平行，虽然两交叉直线的某一同面投影有时可能平行， 但所有同面投影不可能同时都相互

23、平行。但所有同面投影不可能同时都相互平行。 n两交叉直线的同面投影也可能相交，但这个交两交叉直线的同面投影也可能相交，但这个交 点只不过是两直线的一对重影点的重合投影。点只不过是两直线的一对重影点的重合投影。 n两交叉直线有一个可见性问题。两交叉直线有一个可见性问题。 3 两交叉直线 图 两交叉直线 例例给出一个三棱锥各侧棱的给出一个三棱锥各侧棱的V、H投影，试判断轮廓线投影，试判断轮廓线 内的两条交叉侧棱的可见性。内的两条交叉侧棱的可见性。 解解 如图所示如图所示。 图 三棱锥的可见性问题 两直线的夹角，其投影有下列三种情况： 当两直线都平行于某投影面时，其夹角在该投 影面上的投影反映实形。

24、 当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该 投影面上的投影一般不反映实形。 直角投影定理：当两直线中有一直线平行于某当两直线中有一直线平行于某 投影面时，如果夹角是直角，则它在该投影面投影面时，如果夹角是直角，则它在该投影面 上的投影仍然是直角上的投影仍然是直角。（也适用于交叉直线）。（也适用于交叉直线） 如图所示，直线AB垂直于BC，其中AB是水平线。 直角投影逆定理：空间两直线的某一投影为直角，空间两直线的某一投影为直角， 且其中一直线平行于该投影面，则两直线在空间且其中一直线平行于该投影面，则两直线在空间 一定相互垂直。一定相互垂直。 4 两相互垂直直线 图 两相互垂直的直线 例例求点求

25、点A到水平线到水平线BC的距离。的距离。 解解 图 求一点到水平线的距离 1.6.1 平面的表示法平面的表示法 1.6.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性 1.6.3 平面上点和直线的投影平面上点和直线的投影 1.6 平面的投影平面的投影 1.6.1 平面的表示法平面的表示法 1、用几何元素表示平面、用几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式：用几何元素表示平面有五种形式： （1）不在一直线上的三个点；）不在一直线上的三个点； （2） 一直线和直线外一点；一直线和直线外一点； （3） 平行二直线；平行二直线； （4） 相交二直线；相交二直线； （5） 任意平面图形。任意平面

26、图形。 2、平面的迹线表示法、平面的迹线表示法 平面可以理解为是无限广阔的，这样的平面必然会与平面可以理解为是无限广阔的，这样的平面必然会与 投影面产生交线。平面与投影面的交线，称为迹线。投影面产生交线。平面与投影面的交线，称为迹线。 1、用几何元素表示平面、用几何元素表示平面 a a b c b c b a a c b c b a a c b c a a b c b c a bc a b c d d 平面图形的投影平面图形的投影 组成该平面图形的各线段同面组成该平面图形的各线段同面 投影的集合投影的集合。 2、平面的迹线表示法、平面的迹线表示法 (a) 直观图 (b) 投影图 1.6.2 各

27、种位置平面的三面投影各种位置平面的三面投影 1、投影面的平行面、投影面的平行面 与一个投影面平行（必与另两个垂直)的平面。 （1）水平面与H面平行，与V、W面垂直； （2）正平面与V面平行，与H、W面垂直； （3）侧平面与W面平行，与V、H面垂直； 2、投影面的垂直面、投影面的垂直面 与一个投影面垂直，而与另两个倾斜的平面。 （1）铅垂面与H面垂直，与V、W面倾斜； （2）正垂面与V面垂直，与H、W面倾斜； （3）侧垂面与W面垂直，与V、H面倾斜。 3、一般位置平面、一般位置平面 与三个投影面都倾斜的平面。 V W H （1）水平面 投影特性：（一框两线）（一框两线） 1、水平投影abc 反映

28、 ABC实形 2 、abc、 abc 分别积聚为一条线 C A Ba b c b a c ab c c abb b a acc （2）正平面 V W H 投影特性：（一框两线）（一框两线） 1、正面投影abc 反映 ABC实形 2 、abc 、 abc 分别积聚为一条线 c a b b a c b c a b a c a b c b ca C B A 投影特性：（一框两线）（一框两线） 1、侧面投影abc 反映 ABC实 形 2 、abc 、 abc 分别积聚为一条线 （3 ）侧平面 V W H a b b b a c c c a b c b a c a b cC A B a n投影特性投影特

29、性 ： v平面在所平行的投影面上的投影反映实形。平面在所平行的投影面上的投影反映实形。 v平面在另外两个投影面上的投影积聚成直线，且分平面在另外两个投影面上的投影积聚成直线，且分 别平行于相应的投影轴。别平行于相应的投影轴。 n平行面空间位置的判别：平行面空间位置的判别： 一框两直线，定是平行面；框在哪个面，平行一框两直线，定是平行面；框在哪个面，平行 哪个面。哪个面。 表 投影面平行面 名名 称称 水平面水平面正平面正平面侧平面侧平面 直直 观观 图图 投投 影影 图图 V W H P PH （1）铅垂面 投影特性：（一线两框）（一线两框） 1、水平投影abc 积聚为一条线 2、abc、ab

30、c 为ABC的类似形 3、abc 与OX、OY的夹角反映、角的真实大小 A B C a c b a b a b b a c c c V W H Q QV （2）正垂面 投影特性：（一线两框）（一线两框） 1、正面投影abc 积聚为一条线 2、abc、abc 为 ABC的类似形 3、abc 与OX、OZ的夹角反映、 角的真实大小 a b a b b a c c c A c C a b B V W H SWS （3 ）侧垂面 投影特性：（一线两框）（一线两框） 1、侧面投影abc 积聚为一条线 2、abc、abc 为 ABC的类似形 3、abc 与OZ、OY的夹角反映、角的真实大小 C a b A

31、 B c a bb b a a c cc n投影特性投影特性 ： v平面在所垂直的投影面上的投影，积聚成一条倾斜平面在所垂直的投影面上的投影，积聚成一条倾斜 于投影轴的直线，且此直线与投影轴之间的夹角等于投影轴的直线，且此直线与投影轴之间的夹角等 于空间平面对另外两个投影面的倾角。于空间平面对另外两个投影面的倾角。 v平面在与它倾斜的两个投影面上的投影为缩小了的平面在与它倾斜的两个投影面上的投影为缩小了的 类似线框类似线框 。 n平行面空间位置的判别：平行面空间位置的判别： 两框一斜线，定是垂直面；斜线在哪面，垂直两框一斜线，定是垂直面；斜线在哪面，垂直 哪个面。哪个面。 表 投影面垂直面 名名 称称 铅垂面铅垂面正垂面正垂面侧垂面侧垂面 直直 观观 图图 投投 影影 图图 3 一般位置面 n定义定义 ： 与三个投影面均倾斜的平面，称为一般位置面。与三个投影面均倾斜的平面，称为一般位置面。 n投影图投影图 ： 一般位置面的三个投影都呈倾斜位置，如图所示。一般位置面的三个投影都呈倾斜位置，如图所示。 n投影特性：投影特性： 平面的三个投影既没有积聚性，也不反映实形，平面的三个投影既没有积聚性，也不反映实形，