课件版本二几何与代数25

1、第二章第二章 矩矩 阵阵 2.5 初等矩阵初等矩阵 一一. 初等矩阵与矩阵的乘积初等矩阵与矩阵的乘积 二二. 用初等矩阵求逆矩阵用初等矩阵求逆矩阵 矩阵在初等变换前后，是不相等的，所以用箭头矩阵在初等变换前后，是不相等的，所以用箭头 表示。能否将初等变换，用矩阵乘法描述？表示。能否将初等变换，用矩阵乘法描述？ 三三. 矩阵的代数运算与秩矩阵的代数运算与秩 称矩阵称矩阵P为为初等矩阵初等矩阵。 一一. 初等矩阵与矩阵的乘积初等矩阵与矩阵的乘积 1. 初等矩阵初等矩阵 n阶单位矩阵阶单位矩阵E E P 一次初等变换一次初等变换 根据三类初等行变换，初等矩阵也分为三类：根据三类初等行变换，初等矩阵也

2、分为三类： E P(i, j) rirj (1) E P(i(k) kri (2) E P(i, j(k) ri+krj (3) 或者或者cicj 或者或者kci 或者或者cj + kci P(i,j) = 第第i行行 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 第第j行行 第第i列列 第第j列列 E ri rj P(i,j)E ci cj P(i,j) (1) P(i(k) = 第第i行行 1 k 1 1 第第i列列 1 E ri k P(i(k)E ci k P(i(k)(2) P(i,j(k) = 第第i行行1 k 1 1 第第j行行 第第i列列第第j列列 1 E ri+krj P(i,j(

3、k) E cj+kciP(i,j(k) (3) 2. 初等矩阵与矩阵乘积初等矩阵与矩阵乘积 定理定理2.4：设设Am n， ，(1) 对对A作一次初等行变换，作一次初等行变换， 相当于用相应初等矩阵左乘相当于用相应初等矩阵左乘A； (2) 对对A作一次初等作一次初等 列变换，相当于用相应初等矩阵右乘列变换，相当于用相应初等矩阵右乘A。 说明说明(2). 对对A作初等列变换，等于用初等矩阵右作初等列变换，等于用初等矩阵右 乘乘A，且所乘的初等，且所乘的初等矩阵是对矩阵是对E作同样的初等列变作同样的初等列变 换得到换得到的。的。 说明说明(1). 对对A作初等行变换，等于用初等矩阵左作初等行变换，

4、等于用初等矩阵左 乘乘A，且所乘的初等，且所乘的初等矩阵是对矩阵是对E作同样的初等行变作同样的初等行变 换得到换得到的。的。 0 1 0 1 0 0 0 0 1 a b c x y z 1 2 3 , = x y z a b c 1 2 3 0 1 0 1 0 0 0 0 1 a x 1 b y 2 c z 3 = x a 1 y b 2 z c 3 1 k 0 0 1 0 0 0 1 a b c x y z 1 2 3 = a+kx b+ky c+kz x y z 1 2 3 1 k 0 0 1 0 0 0 1 a x 1 b y 2 c z 3 = a ak+x 1 b bk+y 2 c

5、ck+z 3 1 0 0 0 1 0 0 0 k a b c x y z 1 2 3 , = a b c x y z k 2k 3k 1 0 0 0 1 0 0 0 k a x 1 b y 2 c z 3 = a x k b y 2k c z 3k Ax = b A, b A1x = b1 A1, b1 方程组方程组 增广矩阵增广矩阵 若干次初等行变换若干次初等行变换 依次左乘依次左乘P1, , Pt 即即Pt P2P1(A, b) = (A1, b1) 3. 初等矩阵的逆矩阵初等矩阵的逆矩阵 说明说明(3). 初等矩阵的逆矩阵仍然是初等初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵。矩阵。 二二. 用初等矩

6、阵求逆矩阵用初等矩阵求逆矩阵 1. 定理定理2.5：方阵方阵A可逆可逆 A可以写成可以写成初等矩阵的乘初等矩阵的乘 积积。 证：证：“” 显然。显然。 “” 设设A是是n阶可逆矩阵，则阶可逆矩阵，则r(A) = n，即，即AE 对对E作初等行变换可以得到作初等行变换可以得到A，即存在初等矩阵，即存在初等矩阵 使得使得 得证。得证。 推论推论2.1：设设A、B是是mn阶矩阵，则阶矩阵，则AB 存存 在在m阶可逆阵阶可逆阵P和和n阶可逆阵阶可逆阵Q，使得，使得B = PAQ。 推论推论2.2：设设A、B是是mn阶矩阵，则阶矩阵，则r(A) = r(B) 存在可逆矩阵存在可逆矩阵P和和Q，使得，使得

7、B = PAQ。 推论推论2.3：设设A是是mn阶矩阵，则阶矩阵，则r(A) = r 存在存在 m阶可逆阵阶可逆阵P和和n阶可逆阵阶可逆阵Q，使得，使得 推论推论2.4：设设A是是mn阶矩阵，阶矩阵， P是是m阶可逆阵，阶可逆阵， Q是是n阶可逆阵，阶可逆阵，则则 2. 利用初等行变换求逆阵利用初等行变换求逆阵 设设A是是n阶可逆矩阵，则阶可逆矩阵，则A-1可逆，根据定理可逆，根据定理2.5， 存在初等存在初等矩阵矩阵 使得使得 改写成改写成 解解: 例例. 例例2. 解解: 类似地，也可利用初等列变换求逆矩阵。类似地，也可利用初等列变换求逆矩阵。 改写成改写成 设设A是是n阶可逆矩阵，则存在

8、初等阶可逆矩阵，则存在初等矩阵矩阵 列变换列变换 三三. 矩阵的代数运算与秩矩阵的代数运算与秩 1 设设A、B是是ms和和ns阶矩阵，则阶矩阵，则 证：证：设设A、B的秩分别为的秩分别为p, q。先证左边不等式：。先证左边不等式： 因为因为A或或B的子式也是的子式也是 的子式的子式 所以它们所以它们的最高阶非零子式也是的最高阶非零子式也是 的非零子式的非零子式 再证右边的不等式：再证右边的不等式： 设存在设存在 m 阶可逆阵阶可逆阵 P 和和 n 阶可逆阵阶可逆阵 Q，使得，使得 其中其中U1和和U2均是简化阶梯阵，则均是简化阶梯阵，则 2 设设A、B是是mn阶矩阵，则阶矩阵，则 证：证： 初

9、等行变换初等行变换 3 设设A、B分别是分别是ms, , sn阶矩阵，则阶矩阵，则 证：证：设设r(A) = p，则存在，则存在 m 阶可逆阵阶可逆阵P，使得，使得 同理，同理， 例例3. 设设Am n，则 ，则 r(A) = 1 A = T 其中其中 和和 分别为分别为m、n维非零列向量。维非零列向量。 证（证（）r(A) = 1，则存在可逆阵，则存在可逆阵P和和Q ，使得，使得 （）由由A = T ，所以，所以 且且 、 非零向量非零向量 A非零矩阵非零矩阵 则则 r(A) = 1 练习：练习： 1. 设设A是是mn阶矩阵（阶矩阵（m n），证明），证明 2. 设设A、B是是mn, , st 阶矩阵，证明：阶矩阵，证明： 4 设设A、B分别是分别是ms, , sn阶矩阵，则阶矩阵，则 5 设设A、B是是ms, , sn阶矩阵，若阶矩阵，若AB = 0，则，则 （证略，见教材（证略，见教材P80） （由（由4，显然可得），显然可得） 第第2章习题课章习题课 一一. 选择填空题选择填空题 1. 设设 3 1 1，若 ，若 ，则，则 T = 2. ，n2整数，整数，则则An - 2An-1 =