应用随机过程讲义一解析PPT学习教案

1、会计学1 应用随机过程讲义一解析应用随机过程讲义一解析 2021-7-182 第1页/共85页 2021-7-183 第2页/共85页 2021-7-184 第一讲第一讲 第3页/共85页 2021-7-185 第4页/共85页 2021-7-186 第5页/共85页 2021-7-187 第6页/共85页 2021-7-188 不发生。发生，但事件：事件 中至少有一事件发生。：事件 同时发生。：事件 BABA BABA BABA , , 第7页/共85页 2021-7-189 n n n n nn n n n n nn AA AA AA AA nA lim , lim , 1, 1 1 1

2、1 称之为单调不增序列。若 称之为单调不减序列。若 事事件件序序列列 第8页/共85页 2021-7-1810 .limlimlim limlim inflimlim)( suplimlim)( 1 1 n n n n n n n n n n n n n n k nkn n n n n k nkn AAA AA AAA AAA 则定义 ，如果 第9页/共85页 2021-7-1811 AI AI A A I A A A 0)(: 1)(: , 0 , 1 )( 事件 事件 示性函数示性函数 是最简单的随机变量 用随机变量来表示事件 第10页/共85页 2021-7-1812 ， 则若 取上端

3、取下端 )()( )()( )()()(, )()()( )()()( ,),max( ,),min( BA BA BABA BABA BABA IIBA IIBA IIIBA III III baba baba 用示性函数的关系及运算来用示性函数的关系及运算来 表示相关事件的关系及运算表示相关事件的关系及运算 第11页/共85页 2021-7-1813 是最简单的集类。 称为集类。 的集合的子集作为元素构成的粗略地说，由 , 集类集类 第12页/共85页 2021-7-1814 第13页/共85页 2021-7-1815 概率概率 第14页/共85页 2021-7-1816 ：事件的概率 的

4、元素，事件： 概率：完全可加的集函数， 代数：集类， ：集合，样本空间 )( ),( AP A P P 概概率率空空间间 第15页/共85页 2021-7-1817 隐含了等可能条件 点集的面积 点集的面积 几何概型 隐含了等可能条件 中的样本点数目 中的样本点数目 古典概型 A AP AA AP A )( . 2 )( )( )( . 1 第16页/共85页 2021-7-1818 第17页/共85页 2021-7-1819 0)(P )(1)(APAP n k k n k k n APAP jiAAAAA 11 21 )()( ),(,.,则且若 由概率非负性即得 ，显然有, )()(.

5、1 k PP 即得及完全（可列）可加性由0)(P 第18页/共85页 2021-7-1820 )()()( )()()( , BPAPBAP AB ABPAPBAP BA 若 )()()()(ABPBPAPBAP 4. 5. 6. )()(,BPAPBA则若 第19页/共85页 2021-7-1821 ).() 1(. )()()()( , 2,1 , 21 1 1111 n n nji kji nji ji n k k n k k k AAAP AAAPAAPAPAP nnkA 11 )()( k k k k APAP )(lim)lim( 1, n n n n n APAP nA 为单调事

6、件序列，则若 第20页/共85页 2021-7-1822 第21页/共85页 2021-7-1823 第22页/共85页 2021-7-1824 . . )( , 可测集为一维，称 代数一维 称为代数生成的则由 设集类 Borel Borel baRbaba 第23页/共85页 2021-7-1825 : ,),(,),( ,(,), 5 21213 21 中开集为 为有理数 RGG rrrrbaRbaba baRbababaRbaba )51 (),()(k k 第24页/共85页 2021-7-1826 )( 第25页/共85页 2021-7-1827 第26页/共85页 2021-7-1

7、828 第27页/共85页 2021-7-1829 )|()()|()()( )()|( )( )( )|( , ABPAPBAPBPABP APAP BP ABP BAP BA 件概率相同。条件概率的性质与无条 条件概率条件概率 第28页/共85页 2021-7-1830 k kk k klk k k kk CBAPCBPCAP BAlkBB kBBAPBPAP )|()|()|( , 1 ,)|()()( ， 全概率公式全概率公式 第29页/共85页 2021-7-1831 事件的独立性事件的独立性 独立 独立 BA APBAPBAP BPAPABP BA , )()|()|( )()()

8、( , 第30页/共85页 2021-7-1832 )()()()( )()()( )()()( )()()( , CPBPAPABCP CPBPBCP CPAPACP BPAPABP CBA等式相互独立，要满足四个三个事件 几个事件的独立性几个事件的独立性 第31页/共85页 2021-7-1833 ., ., ,),(),( .,;,;,;, ;,;,;,;, 21 221121 独立均与和例如， 独立则 任取记 独立独立独立独立 独立独立独立独立 下列命题等价： CBABAAB AA AACBA CBACBACBACBA CBACBACBACBA 第32页/共85页 2021-7-183

9、4 独立。和 则设 独立，若 21 11211 21 21 ),.(),.,( )().()().( ,.1 ,., 2121 BB AABAAAB APAPAPAAAP niii AAA nmm iiiiii k n kk 第33页/共85页 2021-7-1835 ).()( , 0)|(,05. 0)|(, 6 . 0)( ,98. 0)|(, 8 . 0)|(, 6 . 0)( )31 ( 1 321321 213121 213121 BPAP BBBBAAAA BBBPBBPBP AAAPAAPAP kk BA kk 和求： ，令 。已知次试验成功，甲乙两人第 为，验，记：甲乙两人各

10、做三次试例 第34页/共85页 2021-7-1836 62. 0005. 04 . 06 . 0)( 9984. 098. 02 . 04 . 08 . 04 . 06 . 0 )|()( )|()()()( 21321 1211 321211 BP AAAPAAP AAPAPAPAP AAAAAAA（互不相容）解： 比较甲乙两人的结果，从以上结果可以得到什么结论 ？ 第35页/共85页 2021-7-1837 机遇偏爱有心人！机遇偏爱有心人！ 第36页/共85页 2021-7-1838 功的概率。 ，求至少有一次成，若概率为 次成功次独立重复试验，设每：进行例 40002. 0 2 n n

11、 .9997. 0)98. 0(1)( 400 AP 一次成功的概率只有一次成功的概率只有2，是典型的小概率事件；，是典型的小概率事件； 但重复次数足够多，如但重复次数足够多，如n=400， 至少一次成功就是大概率事件！至少一次成功就是大概率事件！ 第37页/共85页 2021-7-1839 只要功夫深，铁杵磨成针！ 第38页/共85页 2021-7-1840 可测性要求。 保证了概率定义的 是可测映射； )(:, ),(),(:)( aXRa RX 第39页/共85页 2021-7-1841 , )()( ),:( ,),(,. 1k Bk kk k k IxX XxXB NkxXPXvrd

12、 可以表示为则设事件 若其分布律为： 第40页/共85页 2021-7-1842 分布函数分布函数 第41页/共85页 2021-7-1843 微元法求概率密度函数微元法求概率密度函数 第42页/共85页 2021-7-1844 2 , 1,: , 2211 ibababa ii 第43页/共85页 2021-7-1845 亦可用微元法求亦可用微元法求 第44页/共85页 2021-7-1846 第45页/共85页 2021-7-1847 两点分布 若r.v.X只取1和0两个值，且 则称r.v.X服从参数为p的两点分布。 简记为：XB(1,p).即 A A IXA A 0 1 )()(, )

13、10( ,1)0(,) 1(ppXPpXP EX=p,DX=p(1-p) 第46页/共85页 2021-7-1848 EX=np,DX=np(1-p) EX=1/p,DX=(1-p)/p2 第47页/共85页 2021-7-1849 EX=,DX= EX=(a+b)/2,DX=(b-a)2/12 第48页/共85页 2021-7-1850 EX=1/,DX=1/2 EX=,DX=2 第49页/共85页 2021-7-1851 第50页/共85页 第51页/共85页 2021-7-1853 dxxxf xXPx EX X kk )( )( k kk Px dxxfx X )(| 第52页/共85

14、页 2021-7-1854 黎曼斯蒂尔吉斯积分黎曼斯蒂尔吉斯积分 第53页/共85页 2021-7-1855 任分任取任分任取 求和求和 取极限取极限 第54页/共85页 2021-7-1856 第55页/共85页 2021-7-1857 )(xXxdPEX dxxfxgxdFxgxfxF)()()()(),()( 则若 第56页/共85页 2021-7-1858 第57页/共85页 2021-7-1859 数学期望的性质（数学期望的性质（E|Xi|） 第58页/共85页 2021-7-1860 不独立反之， 独立 YXYEXEXYE YEXEXYEYX ,)()()( )()()(, 1 1

15、10 )( )() 1()( k k k ik kXP kXPkXkPEX X取值非负整数 交换求和顺序交换求和顺序 第59页/共85页 2021-7-1861 0 000 )( )()()( 0 dxxXP xXdPdyxXxdPEX X x 若 同理，对连续型随机变量有相似的结论成立同理，对连续型随机变量有相似的结论成立 第60页/共85页 2021-7-1862 第61页/共85页 2021-7-1863 第62页/共85页 2021-7-1864 第63页/共85页 2021-7-1865 第64页/共85页 2021-7-1866 ) 1( | )|(| )|(| , 0 2 p E

16、XXE EXXP DX EXXP p p 第65页/共85页 2021-7-1867 )(Ni 第66页/共85页 2021-7-1868 第67页/共85页 2021-7-1869 第68页/共85页 2021-7-1870 用示性函数的线性组合表示离散型随机变量用示性函数的线性组合表示离散型随机变量 （见前面（见前面“随机变量随机变量”部分部分 ） 第69页/共85页 2021-7-1871 )()|()()|( )0|() 1|()|( )|() 1|0(0) 1| 1(1 ) 1|( )()0(0) 1(1)( , )0()1( B B IBAIBABA BABA BA AAA BA

17、IBAPIBAP IIIEIIIEIIE BAPIIPIIP IIE APIPIPIE BAIYIX BB ，随机变量 将概率运算纳入求期望运算的范畴将概率运算纳入求期望运算的范畴 第70页/共85页 2021-7-1872 理解理解 E(X|Y)是的函数，也是Y()的函数，即Y() 取值不同， E(X|Y)也取相应的值； 当Y是离散型随机变量时，E(X|Y)也是离散型随 机变量。 第71页/共85页 2021-7-1873 第72页/共85页 2021-7-1874 第73页/共85页 2021-7-1875 将将x替换成替换成X 第74页/共85页 2021-7-1876 第75页/共85

18、页 2021-7-1877 条件数学期望的性质条件数学期望的性质 设E(Y),E(Xi|Y),E(h(Y),Eg(X)h(Y)存在，则 (重要重要!) 全期望公式全期望公式 第76页/共85页 2021-7-1878 第77页/共85页 2021-7-1879 j jj j yYjA j yYjA AA jjA BPBAP IEyYIEIyYIEE YIEEIE AP yYBvrdYIX jj )()|( )()|()|( )|()( )( )(:.,.,事件为令 将全概率公式纳入全期望公式的范畴将全概率公式纳入全期望公式的范畴 第78页/共85页 2021-7-1880 CB CBA CB CBA CB CBABCCBA CBA IIIIEIIIIE IIIIEIIIIE IIIE )0, 1|()0, 0|( ) 1, 0|() 1, 1|( ),|( CBCB CB BC ICBAPICBAP ICBAPIBCAP )|()|( )|()|( 第79页/共85页 2021-7-1881 B B IBCAPBACP IBCAPBACP )|()|( )|()|( B B BCBA IBCBPCBAPBCBPCBAP IBCBPCBAPBBCPBCAP IIIIEE