向量及相关性东华大学PPT学习教案

1、会计学1 向量及相关性东华大学向量及相关性东华大学 定义定义1 1 . , 21 个分量个分量称为第称为第个数个数第第 个分量，个分量，个数称为该向量的个数称为该向量的维向量，这维向量，这组称为组称为 所组成的数所组成的数个有次序的数个有次序的数 iai nnn aaan i n 分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量. . 分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量， n 第1页/共42页 例如例如 ), 3 , 2 , 1(n )1(,32 ,21(innii n维实向量维实向量 n维复向量维复向量 第第1个分量个分量 第第n个分量个分量 第第2个分量个分量

2、 第2页/共42页 ),( 21n T aaaa n a a a a 2 1 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行 矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： T TTT ba , n 维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列 矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： ,ba n n 第3页/共42页 注意注意 行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的 向量向量； 行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则 进行运算；进行运算； 第4页/共42页 向量向量 )

3、3( n 解析几何解析几何线性代数线性代数 既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组有次序的实数组成的数组 几何形象：可随意几何形象：可随意 平行移动的有向线段平行移动的有向线段 代数形象：向量的代数形象：向量的 坐标表示式坐标表示式 ),( 21n T aaaa 第5页/共42页 空间空间 )3( n 解析几何解析几何线性代数线性代数 点空间点空间：点的集合：点的集合向量空间向量空间：向量的集合：向量的集合 代数形象：向量空代数形象：向量空 间中的平面间中的平面 dczbyaxzyxr T ),( 几何形象：空间几何形象：空间 直线、曲线、空间直线、曲线、空间 平面或曲

4、面平面或曲面 dczbyaxzyx ),( ),(zyxP),(zyxr T 一一对应一一对应 第6页/共42页 R xxxxxx x Rnn n T ,),( 2121 b xaxaxaxxx x nnn T 22 1121 ),( 叫做叫做 维向量空间维向量空间n 时，时， 维向量没有直观的几何形象维向量没有直观的几何形象n3 n 叫做叫做 维向量空间维向量空间 中的中的 维超平面维超平面Rn n 1 n 第7页/共42页 第8页/共42页 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组 例如例如维列向量维列向

5、量个个有有矩阵矩阵mnaijA nm )( aaaa aaaa aaaa A mnmjmm nj nj 21 222221 111211 a1 . , , 的列向量组的列向量组称为矩阵称为矩阵向量组向量组A a1a2an a2ajana1a2ajan 第9页/共42页 维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nm ij a A nm )( , aaa aaa aaa aaa A mnmm inii n n 21 21 22221 11211 T 1 T 2 T i T m T 1 T 2 T i T m 向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T 1 T 2

6、T m 第10页/共42页 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵成一个矩阵. 矩阵矩阵构成一个构成一个 组组维列向量所组成的向量维列向量所组成的向量个个 nm nm m , 21 矩阵矩阵构成一个构成一个 的向量组的向量组 维行向量所组成维行向量所组成个个 nm nm T m TT , 21 T m T T B 2 1 ),( 21m A 第11页/共42页 b xaxaxa nn 2211 线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示 . , , 2211 22222121 11212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa mn

7、mnmm nn nn 方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应 第12页/共42页 ，组实数组实数 ，对于任何一，对于任何一给定向量组给定向量组 m m kkk A , ,: 21 21 定义定义 . , 21 个线性组合的系数个线性组合的系数 称为这称为这， m kkk，称为向量组的一个称为向量组的一个 向量向量 2211mm kkk 线性组合线性组合 第13页/共42页 mm b 2211 ，使，使，一组数一组数 如果存在如果存在和向量和向量给定向量组给定向量组 m m bA , ,: 21 21 . 2211 有解有解 即线性方程组即线性方程组 bxx

8、x mm 的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量Ab 向量向量 能能 由向量组由向量组 线性表示线性表示 b A 第14页/共42页 .),( ),( 21 21 的秩的秩， 的秩等于矩阵的秩等于矩阵，条件是矩阵条件是矩阵 线性表示的充分必要线性表示的充分必要能由向量组能由向量组向量向量 bB A Ab m m 定理定理1 1 定义定义 . .,:,: 2121 这两个这两个能相互线性表示，则称能相互线性表示，则称量组量组 与向与向若向量组若向量组称称 线性表示，则线性表示，则向量组向量组组中的每个向量都能由组中的每个向量都能由若若 及及 设有两个向量组设有两个向量组

9、 B A AB BA sm 向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示 向量组等价向量组等价 BA 第15页/共42页 使使在数在数 存存量量线性表示，即对每个向线性表示，即对每个向能由能由 （和和（若记若记 , ), 2 , 1( ).,), 21 2121 mjjj j sm kkk sjbA BbbbBA mmjjjj kkkb 2211 ,), 2 1 21 mj j j m k k k （ 第16页/共42页 ), 21s bbb（ 从而从而 msmm s s m kkk kkk kkk 21 22221 11211 21 ), （ . )(数矩阵数矩阵称为这一线性表示的系

10、称为这一线性表示的系矩阵矩阵 ijsm kK 第17页/共42页 矩矩阵阵： 为为这这一一表表示示的的系系数数的的列列向向量量组组线线性性表表示示，矩矩阵阵 的的列列向向量量组组能能由由，则则矩矩阵阵若若 BA CBAC nssmnm snss n n sn kkb bbb bbb ccc 21 22221 11211 2121 ),), （ 第18页/共42页 T s T T msmm s s T m T T aaa aaa aaa 2 1 21 22221 11211 2 1 ：为为这这一一表表示示的的系系数数矩矩阵阵 的的行行向向量量组组线线性性表表示示的的行行向向量量组组能能由由同同时

11、时，ABC, 第19页/共42页 . . 的行向量组等价的行向量组等价的行向量组与的行向量组与于是于是 的行向量组线性表示，的行向量组线性表示，的行向量组能由的行向量组能由可知，可知， 由初等变换可逆性由初等变换可逆性的行向量组线性表示的行向量组线性表示组能由组能由 的行向量的行向量，即，即的行向量组的线性组合的行向量组的线性组合向量都是向量都是 的每个行的每个行，则，则经初等行变换变成经初等行变换变成设矩阵设矩阵 BA BA A BA BBA .的列向量组等价的列向量组等价列向量组与列向量组与 的的，则，则经初等列变换变成经初等列变换变成类似，若矩阵类似，若矩阵 B ABA 第20页/共42

12、页 . 价的方程组一定同解价的方程组一定同解 这两个方程组等价，等这两个方程组等价，等能相互线性表示，就称能相互线性表示，就称 与方程组与方程组的解；若方程组的解；若方程组的解一定是方程组的解一定是方程组 线性表示，这时方程组线性表示，这时方程组能由方程组能由方程组称方程组称方程组 的线性组合，就的线性组合，就的每个方程都是方程组的每个方程都是方程组程组程组 的一个线性组合；若方的一个线性组合；若方一个方程就称为方程组一个方程就称为方程组 所得到的所得到的的各个方程做线性运算的各个方程做线性运算对方程组对方程组 B ABA AB AB A A 第21页/共42页 0 , ,: 2211 21

13、21 mm m m kkk kkk A 使使全全为为零零的的数数 如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组 注意注意 .0 ,0 , 1. 2211 1 21 成成立立 才才有有时时 则则只只有有当当线线性性无无关关若若 nn n n . , 2. 线线性性相相关关 性性无无关关就就是是不不是是线线对对于于任任一一向向量量组组 定义定义 则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A 第22页/共42页 ., 0, 0, 3. 线线性性无无关关则则说说若若线线性性相相关关 则则说说若若时时向向量量组组只只包包含含一一个个向向量量 .4. 组组是是线线性性相

14、相关关的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量 . ,. 5 量共面量共面 向向量相关的几何意义是三量相关的几何意义是三是两向量共线；三个向是两向量共线；三个向 义义量对应成比例，几何意量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分充要条件是两向量的分 它线性相关的它线性相关的量组量组对于含有两个向量的向对于含有两个向量的向 第23页/共42页 定理向量组定理向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关 的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向 量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示 m , 21 2 m m , 21 1 m 证明证明 充分性充分性 设设 中有一

15、个向量（比如中有一个向量（比如 ） 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示. m aaa, 21 m a 即有即有 112211 mmm a 第24页/共42页 故故 01 112211 mmm a 因因 这这 个数不全为个数不全为0， 1, 121 m m 故故 线性相关线性相关. m , 21 必要性必要性 设设 线性相关，线性相关， m , 21 则有不全为则有不全为0的数使的数使 , 21m kkk . 0 2211 mm kkk 第25页/共42页 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0， m kkk, 21 不妨设则有不妨设则有 , 0 1 k . 1 3 1 3 2 1 2

16、1m m k k k k k k 即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示. 1 证毕证毕. 第26页/共42页 . 性独立）性独立） 线线个方程）线性无关（或个方程）线性无关（或程，就称该方程组（各程，就称该方程组（各 方方；当方程组中没有多余；当方程组中没有多余个方程）是线性相关的个方程）是线性相关的 各各余的，这时称方程组（余的，这时称方程组（合时，这个方程就是多合时，这个方程就是多 是其余方程的线性组是其余方程的线性组若方程组中有某个方程若方程组中有某个方程 线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用 ).,( . 0 A, 0 21 2211 m mm A x

17、xxx A 其中其中有非零解有非零解 即即 方程组方程组线性相关就是齐次线性线性相关就是齐次线性向量组向量组结论结论 第27页/共42页 .)( ; ),( , 21 21 mAR m A m m 必必要要条条件件是是向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分于于向向量量个个数数 的的秩秩小小矩矩阵阵条条件件是是它它所所构构成成的的 线线性性相相关关的的充充分分必必要要向向量量组组 定理定理2 2 下面举例说明定理的应用下面举例说明定理的应用. 证明证明（略）（略） 第28页/共42页 维维向向量量组组n T n TT eee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 1 21 ，

18、.,讨讨论论其其线线性性相相关关性性维维单单位位坐坐标标向向量量组组称称为为n 解解 . ),( 21 阶单位矩阵阶单位矩阵是是 的矩阵的矩阵维单位坐标向量组构成维单位坐标向量组构成 n eeeE n n .)(01 nERE ，知，知由由 . 2)( 向量组是线性无关的向量组是线性无关的 知此知此，故由定理，故由定理等于向量组中向量个数等于向量组中向量个数即即ER 例例 第29页/共42页 ， 7 4 2 5 2 0 1 1 1 321 . 21321 的线性相关性的线性相关性，及及，试讨论向量组试讨论向量组 解解 .2 , 21 321 321 即可得出结论即可得出结论）的秩，利用定理）的

19、秩，利用定理，及（及（ ），可同时看出矩阵（可同时看出矩阵（成行阶梯形矩阵成行阶梯形矩阵 ），施行初等行变换变），施行初等行变换变，对矩阵（对矩阵（ 已知已知例例 分析分析 第30页/共42页 751 421 201 ),( 321 23 2 5 rr ， 000 220 201 ., 2),( ,2),( 2121 321321 线性无关线性无关向量组向量组 线性相关；线性相关；，向量组，向量组可见可见 R R 751 220 201 12 rr 13 12 rr rr 550 220 201 第31页/共42页 . , , , 321133322 211321 线线性性无无关关试试证证 线

20、线性性无无关关已已知知向向量量组组 bbbbb b 例例3 3 0 , 332211 321 bxbxbx xxx使使设有设有 , 0)()( 133322211 xxx）（即即 , 0)()() 332221131 xxxxxx（亦即亦即 线性无关，故有线性无关，故有，因因 321 . 0 , 0 , 0 32 21 31 xx xx xx 证证 第32页/共42页 02 110 011 101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行 ., 0 321 321 线线性性无无关关 向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解 bbb xxx 第33页/共42页 . , ,.

21、 ,: , (1) 11 21 也线性无关也线性无关向量组向量组则则线性无关线性无关量组量组 若向若向反言之反言之也线性相关也线性相关向量组向量组 则则线性相关线性相关：向量组向量组若若 AB B A mm m 定理定理3 3 ）设设（2 ), 2 , 1(, , 1 2 1 2 1 mj a a a a b a a a jr rj j j j rj j j j 第34页/共42页 . ,. , ,. 21 21 性相关性相关 也线也线则向量组则向量组线性相关线性相关反言之，若向量组反言之，若向量组关关 也线性无也线性无：则向量组则向量组线性无关线性无关 ：若向量组若向量组添上一个分量后得向量

22、添上一个分量后得向量即即 AB bbbB Ab mm jj . 3 时一定线性相关时一定线性相关于向量个数于向量个数 小小当维数当维数维向量组成的向量组，维向量组成的向量组，个个）（ m nnm ., ,: ,: (4) 1 21 且表示式是唯一的且表示式是唯一的线性表示线性表示 必能由向量组必能由向量组向量向量则则线性相关线性相关组组 而向量而向量线性无关线性无关设向量组设向量组 A bbB A m m 第35页/共42页 .2 , 11)()()(2 ,. 1)()( ),(),( 1 111 线性相关线性相关知向量组知向量组根据定理根据定理 因此因此，从而，从而，有，有 则根据定理则根据

23、定理线性相关线性相关若向量组若向量组 ，有，有记记）（ B mARBRmAR AARBR aaaBaaA mmm 证明证明 . . . :1 关关的任何部分组都线性无的任何部分组都线性无向量组线性无关，则它向量组线性无关，则它 反之，若一个反之，若一个线性相关线性相关含有零向量的向量组必含有零向量的向量组必 特别地，特别地，量组线性相关量组线性相关相关的部分组，则该向相关的部分组，则该向 一个向量组若有线性一个向量组若有线性）可推广为）可推广为结论（结论（ 说明说明 第36页/共42页 列列），只只有有因因但但从从而而有有 ，则则线线性性无无关关若若向向量量组组有有 ，）记记（ mBmBRmBR mARABRAR bbBA mmrmmr ()(.)( )(,).()( ),(),(2 1)1(1 .B)(线性无关线性无关，因此向量组，因此向量组故故mBR ., 12 结论也成立结论也成立个分量个分量维）而言的，若增加多维）而言的，若增加多 即维数增加即维数增加）是对增加一个分量（）是对增加一个分量（结论（结论（说明说明 第37页/共42页 ., ,)(,.)(),( ,3 21 21 21 线性相关线性相关个向量个向量故故 则则若若，