向量的基本概念及其运算PPT学习教案

1、会计学1 向量的基本概念及其运算向量的基本概念及其运算 【知识精讲知识精讲】 一一. 向量的基本概念向量的基本概念 1. 向量的概念向量的概念 把既有大小又有方向的量叫做向量，记为向量 等。等。 向量的两个要素：大小和方向 1）定义：）定义： , , a b c 2）向量的模向量的模： |,|,| |abc 等。等。 | 0a 3）单位向量单位向量： e 4）零向量零向量： 0 2. 向量的表示向量的表示 向量一般用带箭头的有向线段表示。 AB 表示从起点A到终点B 的向量。 A B 模为1的向量。 向量的大小叫做向量的模.记为 模为0的向量。 3. 向量之间的基本关系向量之间的基本关系 第1

2、页/共14页 1）向量相等： 如果两个向量 ba, 模相等，方向相同，则两个向量相等。记作 ab 2）相反向量： 如果两个向量 ba, 模相等，方向相反，则这一对向量叫做相反向量。 记作 ab 3）平行向量： 如果两个向量 ba, 的方向相同或相反，则把这一对向量叫做平行向量。 记作 / / .ab 平行向量也叫共线向量。 规定零向量平行于任意向量。 4）共面向量： 如果把几个向量的始点移到某个平面，它们的终点也都在这个平面内， 把这些向量叫做共面向量。 如果两个向量 ba, 不共线， 则向量 与向量 ba, 共面的充要条件是： c 存在实数对 ， ),( .cab 使 第2页/共14页 二二

3、. 向量的运算向量的运算 1. 向量的加法运算 1). 加法法则: 平行四边形法则，三角形法则和多边形法则 a b ab a b ab 1 A 2 A 3 A 4 A n A 首尾相连首尾连 2）. 加法运算律：交换律和结合律 2. 向量的减法运算：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. 向量减法的三角形法则： a b 5 A ab 首同尾连，箭头指向被减向量 第3页/共14页 3. 向量的数乘运算 . .00 aaa aaaaaa 一个实数 乘以向量 的结果叫做向量的数乘运算仍然是一个 一个向量，当时，与 的方向相同；当时，与 的方向相反。 .)(,).2 )().1 : babaaaa

4、aa ）分配律：（ ）（结合律： 运算律向量的数乘运算满足的 .)0(abbaa平行的充要条件：与向量 4. 向量的数量积运算 （1）.向量所成角 a b 向量所成角的范围： 0, ()a b 第4页/共14页 （2）. 向量的数量积 cos()a baba b （3）. 向量数量积满足的运算律： 交换律：a b b a 分配律： +a b ca c b c （） ()()ab ca bc 不满足结合律：与通常不等 数乘向量与向量的数量积满足：)()()aba bab ( （4). 数乘向量的性质 0aba b / /=aba ba b 且方向相同时， / /=-aba ba b 且方向相反时

5、， 2 = ,a aaaa a cos() a b a b ab （5）向量所成角的余弦计算公式： 第5页/共14页 核心思想方法 1、定义法 2、数形结合 3、化归与转化 典型例题 1例 、计算12(2)7(3)abab （ ） 2 3(33 )5( 22)abcabc 1解：（ ）原式 42217abab 255ab 2（ ）原式 399abc 10105abc 131914abc 点评：向量的加减运算可以看成合并同类项。 第6页/共14页 5 3 CD CG CB CF 例2、如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E,H分别是边AB,AD的 中点，F,G分别是边CB,CD上的点且 FGE

6、H 6 5 求证： A BC D E F G H 证明：E,H分别是边AB,AD的中点 BDEH 2 1 又 5 3 CD CG CB CF 即 55 33 BC=CF,CD=CG 555 333 BCCDFCCGFG 又BD 15 26 EHBDFG 5 6 EHFG 点评：向量的方法可以用来证明立体几何和平面几何的有关问题，它能将复杂的几何问题 转化为简单的代数问题。 第7页/共14页 3,( ,aba b 例 、已知|=4,|=7)=60 a b 求：（1) (2) |.a b 1 cos( ,4 7 cos14a ba ba b 解：（ ）| |)60 2 2 ab （ ） 22 2a

7、a bb 162 4 7 cos6049 o 93 = 93ab +a ba （3）与 所成角的余弦值 +a ba （3）设与 所成角为 ， +a b a 则：（） =cosaba 4 93cos + 16 1228a b aa aa b （） 287 93 cos 934 93 第8页/共14页 点评：根据向量数量积定义求向量数量积、求向量的模、求夹角是重点题型。 | - | -a ba bb 变题： 如何求、与 所成角的余弦值。 12121212 4 eeAB e e BCee CDe e 例 、设两个非零向量和 不共线，若= +,=2 +8 ,=3( -). 求证：A、B、D三点共线。

8、BDCDCB 证明： 12 3-e e （）- 12 -ee （28 ） 12 =5ee +5 12 =5=e eAB （ + ）5 BABD 点为公共点，、 、 三点共线。 / / .BDAB 点评：根据向量平行的充要条件证明三点共线。 5 +3-5-a babababab a b 例 、已知 、 是两个非零向量 ，若与7垂直，4 与72 垂直， 求 、 的夹角。 第9页/共14页 5 +3-5-a babababab a b 例 、已知 、 是两个非零向量 ，若与7垂直， 4 与72 垂直， 求 、 的夹角。 +3-50 -(- abab abab （） (7） 解：由题意得 (4 ) 72 )=0 22 22 +1615 308 aa bb aa bb 7=0 7=0 (1) (2) 2 (1)(2)46230,a bb 由得 2 =2 (3)ba b 即 2 32=2aa b 将（ ）代入（ ）得， 22 =ab ， =ab 即。 2 2 =2=cos(),ba bbaba b 由得2 1