大一复习参考整理1线性代数课件

1、 第五章 二次型 1 二次型及其标准形 请点击请点击 2 用正交变换化二次型为标准形 3 二次型的分类 1 二次型及其标准形 一、二次型的概念及矩阵表示 请点击请点击 二、非退化的线性交换 三、用配方法化二次型为标准形 一、二次型的概念及矩阵表示一、二次型的概念及矩阵表示 考虑方程考虑方程 在平面上代表什么曲线？在平面上代表什么曲线？ (1) 将坐标系将坐标系（O, x, y) 顺时针旋转顺时针旋转4545, ,即令即令 (2) 则得曲线在坐标系则得曲线在坐标系(O, u, v)中的方程：中的方程： (3) 从而曲线为一椭圆。从而曲线为一椭圆。 o 方程（1）的左边是关于变量 的一个二次齐 次

2、多项式，从代数学的观点看，所谓化为标准形就是 通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它 只含变量的平方项在二次曲面的研究中也有类似的 情形，在许多理论和实际问题中也常常会遇到这类问 题现在我们讨论 个变量的二次齐次多项式的化 简问题 定义定义1将将 n 元二次齐次式元二次齐次式 称为称为 n 元二次型元二次型。 二次型依其系数是实数或复数而分别称为实二二次型依其系数是实数或复数而分别称为实二 次型或复二次型。我们仅讨论实二次型。次型或复二次型。我们仅讨论实二次型。 取取 a i j = a j i ; 则则 2ai j xi xj = ai j xi xj + aj i xj xi 所以

3、所以 f (x1, x2, , xn) (4) 二次型还可以用矩阵表示二次型还可以用矩阵表示 f (x1, x2, , xn) = x1(a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn) + x2 (a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn) + + xn (an1 x1 + an2 x2 + + ann xn) = (x1, x2, , xn) a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = (x1, x2, , xn) a11 x1 + a12 x2 +

4、+ a1n xn a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = (x1, x2, , xn) 简记为简记为f = X T AX(5) 其中其中： X = 称方阵称方阵A为二次型为二次型 f 的矩阵的矩阵, ,方阵方阵A的秩为二次型的秩为二次型 的秩。的秩。 显然显然(1) A 是对称矩阵是对称矩阵 f (x1, x2, , xn) A (2) 写出二次型的矩阵及其矩阵表示式：写出二次型的矩阵及其矩阵表示式： 解解: 则则 令令 例例1 1 写出二次型的矩阵和矩阵表示式：写出二次型的矩阵和矩阵表示式： 解解: 令令 则则 矩阵是对

5、角矩阵矩阵是对角矩阵 例例2 定义定义2只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型 称为称为 n 元二次型的标准形元二次型的标准形。 显然，标准二次型对应的矩阵为对角阵。显然，标准二次型对应的矩阵为对角阵。 设 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形 定义定义3 对于线性变换对于线性变换 x1 = q11 y1 + q12 y2 + + q1n yn x2 = q21 y1 + q22 y2 + + q2n yn xn = qn1 y1 + qn2 y2 + + qnn yn (6) 当当 是满秩是满秩( (可逆可逆) )矩阵时矩阵时, 称线性变换称线性变换(

6、6)(6)为非退化为非退化( (或或 满秩满秩) )的线性变换。的线性变换。 二、非退化的线性变换二、非退化的线性变换 简记为简记为 X = QY 其中其中： x1 = q11 y1 + q12 y2 + + q1n yn x2 = q21 y1 + q22 y2 + + q2n yn xn = qn1 y1 + qn2 y2 + + qnn yn 定理定理1任一二次型任一二次型 f 其中其中: y1, y2, , yn 是原变量是原变量 x1, x2, , xn 经满秩经满秩的线性变换后得到的新变量。的线性变换后得到的新变量。 通过非退化的线性变换化成标准形通过非退化的线性变换化成标准形 都

7、可都可 化二次型为标准形的方法：化二次型为标准形的方法： 1. . 配方法配方法2. . 合同变换合同变换3. . 正交变换正交变换 化二次型化二次型 f = x12 + 2x22 x32 + 4x1x2 4x1x3 4x2x3 为标准形，并写出所作的线性变换。为标准形，并写出所作的线性变换。 = x12 + 4x1( x2 x3 ) = (x1 + 2x2 2x3)2 2x22 + 4x2x3 5x32 = (x1 + 2x2 2x3)2 2(x22 2x2x3 + x32 ) 3x32 = (x1 + 2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 3x32 解解：+ 2x22 x32 4x2x3

8、x12 + 4x1( x2 x3 )f = 4(x2 x3)2 + 2x22 x32 4x2x3 + 4(x2 x3)2 三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形 例例3 令令： y1 = x1 + 2x2 2x3 y2 = x2 x3 y3 = x3 则则：f = y12 2y22 3y32为标准为标准形形， 其中线性变换为：其中线性变换为： 是非退化的线性变换是非退化的线性变换。 f =(x1 + 2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 3x32 即即： x1 = y1 2y2 x2 = y2 + y3 x3 = y3 即：即： 化二次型化二次型 f = 2x1x2 + 2

9、x1x3 6x2x3 为标准为标准 形，并写出所作的线性变换。形，并写出所作的线性变换。 解解：由于由于 f 中不含平方项，故先通过线性变换来中不含平方项，故先通过线性变换来 构造平方项构造平方项。 令令： x1 = y1 + y2 x2 = y1 y2 , x3 = y3 即即： 例例4 则则f = 2 y12 2 y22 + 2 y1 y3 + 2 y2 y3 6 y1 y3 + 6 y2 y3 = 2 y12 4 y1 y3 2 y22 + 8 y2 y3 = 2 ( y12 2 y1 y3 + y32 ) 2 y32 2 y22 + 8 y2 y3 = 2 ( y1 y3 )2 2 (

10、 y22 4 y2 y3 + 4y32 )+ 6 y32 = 2 ( y1 y3 )2 2 ( y2 2 y3 )2 + 6 y32 令令： z1 = y1 y3 z2 = y2 2y3 , z3 = y3 即即： 则二次型化为标准形则二次型化为标准形 f = 2 z 12 2 z 22 + 6 z 32 其中其中： 因为因为： 所以所作的线性变换是所以所作的线性变换是 非退化的。非退化的。 定理定理2 任意一个二次型都可以用配方任意一个二次型都可以用配方 法化成标准形。法化成标准形。 注注1 1：化二次型为标准形时，所用的非退化的化二次型为标准形时，所用的非退化的 线性变换不同，标准形的系数

11、不一定相线性变换不同，标准形的系数不一定相 同，因此，二次型的标准形不是唯一的。同，因此，二次型的标准形不是唯一的。 例如例如： f = 2x1x2 + 2x1x3 6x2x3 化为标准形化为标准形： 再作非退化的线性变换再作非退化的线性变换 得新标准形得新标准形： 由非退化的线性变换由非退化的线性变换 2 用正交变换化二次型为标准形 一、正交矩阵 二、正交变换 三、实对称方阵的特征值、特征向量 四、用正交变换化二次型为标准型 请点击请点击 一、正交矩阵一、正交矩阵 定义定义1 1 若实数方阵若实数方阵 A 满足满足 A AT = AT A = E 则称则称 A 为正交矩阵为正交矩阵。 回顾一

12、下回顾一下 1, i = j 0, i j (1) 1, i = j 0, i j (2)或或 A 为正交矩阵为正交矩阵 即：即：矩阵矩阵 a11 a12 a1n A = a21 a22 a2n an1 an2 ann 为正交阵，为正交阵， 则则 A 的的行行向量组是一组正交的单位向量组，向量组是一组正交的单位向量组， A 的的列列向量组也是一组正交的单位向量组。向量组也是一组正交的单位向量组。 例如例如： 为正交阵。为正交阵。 二、正交变换二、正交变换 定义定义2若若 P 为正交矩阵，则称线性变换为正交矩阵，则称线性变换 X = PY 为正交变换为正交变换。 注注1 : : 正交变换是非退化

13、正交变换是非退化 ( (满秩满秩) ) 的线性变换。的线性变换。 注注2 : : 若若 X = PY 为正交变换，则为正交变换，则 |X | = 即即 正交变换保持向量的长度不变。正交变换保持向量的长度不变。 定理定理2对二次型对二次型 f = X T AX 一定存在正交变换一定存在正交变换 X = PY 化二次型为标准形化二次型为标准形 f = X T AX = Y T P T A P Y = Y T Y. 若存在正交阵若存在正交阵 P， ， 使 使 P T A P = 而而 P T = P 1， 记记 P 的列向量组为的列向量组为 1 , 2 , , n , 分析：如何求分析：如何求 P

14、？ A P = P则有则有 有有 A( 1 , 2 , , n)= ( 1 , 2 , , n) (A 1 , A 2 , , A n)= ( 1 1 , 2 2 , , n n), 即A i = i i , i = 1, 2, , n . i 0 i 是 A 的特征值，而而 i 是属于是属于 i 的特征向量的特征向量, 三、实对称方阵的特征值、特征向量三、实对称方阵的特征值、特征向量 引理引理1实对称方阵实对称方阵A的特征值都是实数。的特征值都是实数。 引理引理2 实对称方阵实对称方阵 A 对应于不同特征值的特征对应于不同特征值的特征 向量是相互正交的。向量是相互正交的。 引理引理3若若 是

15、是n阶实对称方阵阶实对称方阵A的的k重根重根, ,则则A的的对对 应于应于 的线性无关特征向量的最大个数恰的线性无关特征向量的最大个数恰 为为k . . 引理引理1实对称矩阵的特征值为实数. . 证明证明 于是有 两式相减，得 引理1的意义 证明证明 于是 证明证明 它们的重数依次为 根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得： 设 的互不相等的特征值为 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， 这样的特征向量共可得 个. 故这 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 ，则 四、用正交变换化二次型为标准形四、用正交变换化二次型为标准形( (化实对称阵为对角阵化

16、实对称阵为对角阵) ) 步骤步骤： (1) 解特征方程解特征方程 | A E | = 0 , 得得 n 个特征实根个特征实根 1 , 2 , , n . (2) 对每个对每个 i ( i = 1, 2, , n )，解齐次线性方程组解齐次线性方程组 ( A i E ) X = 0 求出对应于求出对应于 i 的特征向量的特征向量 . 若若 i是是k重根，重根， 有有k个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 (3) 将属于同一特征值的特征向量正交化。将属于同一特征值的特征向量正交化。 (4) 将所有特征向量单位化将所有特征向量单位化, 得正交的单位向量得正交的单位向量 组组 1 , 2 , ,

17、n， ， 取取 P = ( 1 , 2 , , n ) 则正交变换则正交变换 X = PY，化二次型为标准形化二次型为标准形 f = Y T Y = 1 y12 + 2 y22 + + n yn2 . (1) 解解 特征根： 标准形式为：标准形式为： 例例1 1：用正交化方法化二次型用正交化方法化二次型 为标准形为标准形 (2) 对对 1= 3， 即即： 得基础解系：得基础解系： X 1 ( A + 3E ) X = 0解线性方程组解线性方程组 即即 系数矩阵的秩为系数矩阵的秩为1 1，基础解系含有三个向量，基础解系含有三个向量 对对 2 = 3 = 4 =1 , 解线性方程组解线性方程组 (

18、 A E ) X = 0 (3) (3) 将将 X2 , X3 , X4 正交化正交化 取取 2 = X2 3 = X3 4 = X4 (4) 单位单位化化 1 2 3 4 故取正交矩阵故取正交矩阵 P = ( 1 2 3 4 ) 作正交变换作正交变换 X = P Y, 即即 就将二次型就将二次型 f 化成标准形化成标准形 f = 3 y12 + y22 + y32 + y42 解解 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 例例2 从而得特征值 2求特征向量 3将特征向量正交化 得正交向量组组 4将正交向量组单位化，得正交矩阵 于是所求正交变换为 解解 例例3 推论推论： 任一二次型任一二次型

19、f = X T AX 都可经非退化的都可经非退化的 线性变换化成规范型线性变换化成规范型 f = z12 + z22 + + z p2 z 2p+1 z r2 且规范型是唯一的且规范型是唯一的. . 二次曲面的化简二次曲面的化简 利用化二次形为标准型的方法,可将二次曲面的方程 化简,从而判断二次曲面的类型 化为标准型，并指出 表示何种二次 曲面. 求一正交变换，将二次型 思考题 例例化简下列二次曲面的方程,并判断方程表示 什么曲面 解解先将二次型 标准化 根据二次型的标准化方法，作下列正交变换 二次型 化为 ，从而 二次曲面的方程化为 对其配方可得 再令 ，原方程化为 因此,原方程表示的曲面为

20、椭圆柱面 用初等变换化二次型为标准形用初等变换化二次型为标准形 例例1 解解 求非奇异矩阵求非奇异矩阵C, , 使使 为对角矩阵. 因此， 令 代入原二次型可得标准形 解解 此二次型对应的矩阵为 例例2 求一可逆线性变换化求一可逆线性变换化 为标准形为标准形. . 所以 令 代入原二次型可得标准形 说明说明： 任一二次型任一二次型 f = X T AX 都可经非退化的都可经非退化的 线性变换化成规范型线性变换化成规范型 f = z12 + z22 + + z p2 z 2p+1 z r2 且规范型是唯一的且规范型是唯一的. . 4 二次型的分类 一、实二次型的分类 二、正定二次型的判定 请点击

21、请点击 一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过配方法化为标准形，显然，其 标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有 的项数是确定的，项数等于二次型的秩 一、一、惯性定理惯性定理 定理定理1 定义定义1二次型 f 的标准形中正平方项的项数 p 称为二次型 f 的正惯性指数，负平方项的项数 q 称为负惯性指数.且 p+q=r(A). 二、实二次型的分类二、实二次型的分类 定义定义2 对于二次型对于二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = X T AX 如果对于任意一组不全为如果对于任意一组不全为0 0的实数的实数 c1 , c2 , , cn (1) 恒有恒有 f (c1 , c2 , , cn ) 0, 矩阵矩阵 A 为正定矩阵为正定矩阵; ; (2) 恒有恒有 f (c1 , c2 , , cn ) 0, 则称二次型是负定的则称二次型是负定的; ; (3)