静态场边值问题

1、 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室2 边值问题、唯一性定理 镜像法 分离变量法 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室3 静态场问题 分布型问题：已知场源（如电荷分布、电流分布），直接计算空 间各点的场强或位函数 边值型问题：已知空间某一确定区域内的场源分布与位函数满足 的某种类型的方程，以及该区域边界面上的位函数（或位函数的 法向导数）边界条件，求场内位函数的分布 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室4 边值型问题的方法 解析方法：镜像法、分离变量法、复变函数法、格林函数法等 数值方法：有限差分法、积分方程法、有限元法、边界元法等 求解边值型问题的空间电场、磁

2、场分布可以转化为求解给定边界条件 下位函数的Poisson方程或Laplace方程，由电场、磁场的场强与位函 数的关系得到空间电场、磁场的分布 Laplace方程为二阶偏微分方程，可以应用的求解方法包括解析法、数 值法、实验模拟法、图解法等 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室5 第一类边值问题 给定求解区域整个边界上的位函数值，称为第一类边值问题 式中，Si为求解区域的边界，fi为边界Si上位函数的值 nif F i Si , 2 , 1 0 2 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室6 第二类边值问题 给定求解区域整个边界上位函数沿边界外法向的偏导数值，称为 第二类边值问

3、题 式中，gi为边界Si上位函数的外法向偏导数值 nig n F i Si , 2 , 1 0 2 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室7 第三类边值问题 将求解区域的边界分为两部分，一部分边界上给定位函数值，另 一部分边界上给定位函数沿边界外法向的偏导数值，称为第三类 边值问题 式中fi 、gi分别为边界Si上的位函数值与位函数外法向偏导数值 nkkig n kif F i S i S i i , 2, 1 , 2 , 1 0 2 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室8 辅助边界条件 求解区域填充的为分区均匀媒质，任意两种媒质分界面上的边界 条件称为辅助边界条件 无限大求

4、解空间 场源分布于有限区域中 r r lim 0 无穷远处的边界条件 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室9 唯一性定理 任意静态电磁场，当空间各点的电荷分布（或电流分布）与整个 边界上的边界条件已知时，空间各部分的场唯一确定。或者说满 足边界条件的Poisson方程或Laplace方程的解是唯一的 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室10 平面镜像法 无限大导体平面问题 无限大接地导体平面上方，距导体面为h处存在一点电荷q，求解导体 平面上方空间的电位 导体平面上方的电位由点电荷q与导体平面上的感应电荷共同产生 导体平面上感应电荷的分布与空间电场有关，且为未知量 导体平面

5、上方，除点电荷所在点（奇异点）外，电位均满足Laplace方程 导体平面为求解空间的边界，其电位为零 因此，由电荷分布直接求解电位比较困难，或直接求解Laplace方程亦相 当复杂 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室11 镜像法镜像法：在点电荷q相对于导电平面的对称位置放置一虚拟的等值异号的 点电荷-q（镜像电荷），设导电平面下方的媒质与其上方相同，并移去 导电平面，将问题转化为无限大均匀媒质中两点电荷产生的电位问题 （镜像问题） 问题转化后，场源、边界条件均未发生变化 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室12 导电平面上方的电位为q与-q各自产生电位的叠加 对于导体平面

6、上方区域，原问题与镜像问题二者电荷分布相同，边界条 件相同，根据唯一性定理，二者的电位分布相同 对于导体平面下方区域，原问题与镜像问题电荷分布不同，镜像法不适 用 若点电荷不止一个，而是离散分布的N个，则需分别设置N个点电荷的镜 像电荷，镜像电荷与原点电荷分别相对于导电平面对称，带等值异号的 电量 qq 21 44r q r q 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室13 导体平面上的感应电荷 3 2 3 1 11 4rr qx Ex 3 2 3 1 11 4rr qy Ey 3 2 3 1 4r hz r hzq Ez 导体平面上方的电场强度 2021-7-17东南大学毫米波国家重点

7、实验室14 ns D z E 3 222 2hyx qh 导体平面上的面电荷密度 dSq ss 3 2222 hyx dxdyqh 导体平面上的感应电荷 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室15 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室16 无限大接地导体平面上方，距导体面为h处放置一电荷均匀分布的无 限长直导线，电荷密度为l，且导线平行于导体平面，求导体平面上 方的电位 叠加原理：无限长直导线分解为无穷多的线电荷元，每个电荷元均近似 认为是点电荷，这些点电荷的镜像电荷的叠加为一无限长直导线，与原 导线相对于导电平面对称，带等量异号电荷，电荷密度为-l，设导电平 面下方媒质与上

8、方相同，并移去导电 平面 原问题转化为无限大空间中两平行的带等量异号电荷的无限长均匀直导 线产生的电位问题 待求电位为 1 2 ln 2r r l 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室17 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室18 无限大介质平面 无限大空间存在介电常数分别为1、2的两种介质，分界面为无限大 平面，介质1中距分界面为h放置一点电荷q，求两介质中的电场或电 位 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室19 待求的电场（位）由点电荷q与分界面上束缚电荷共同产生 原问题分为上、下两个区域分别求解：上为区域1，填充介质1，介电常 数为1，下为区域2，填充介质2

9、，介电常数为2 求解区域1的电场（位）：在点电荷q相对于分界面的对称位置放置镜像 电荷q代替分界面上的束缚电荷，移去分界面，设全空间均为介质1，电 场（位）由q与q共同产生 求解区域2的电场（位）：在点电荷q的位置再放置点电荷q代替束缚电 荷，移去分界面，设全空间均为介质2，电场（位）由点电荷q与q共同 产生 求解：首先确定出电荷q与q 由电场出发，结合电场强度与电位移的边界条件 由电位出发，结合电位的边界条件 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室20 区域1中的电场 区域2中的电场 边界条件 2 21 2 11 1 44r q r q E 3 32 2 4r qq E tt EE

10、21 nn EE 2211 分界面上已无电荷分布 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室21 qqqq qqqq 21 qq qq 21 12 21 21 两区域中的电场或电位可以由离散点电荷分布直接求出 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室22 无限大空间包括介电常数分别为1、2的两种介质，分界面为无限大 平面，介质1中距分界面为h放置一电荷均匀分布的无限长直导线，电 荷密度为l，求两介质中的电场或电位 叠加原理 设镜像电荷l以及l 由电场（位）分布及边界条件确定电荷l与l ll 21 21 ll 21 12 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室23 课后作业 无

11、限大介质平面镜像法中，利用两区域中的电位公式及分界面处电位 的边界条件确定点电荷q与q，并求出两区域中的电场强度与电位 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室24 概述 分离变量法是求解数学物理方程应用最广泛的一种方法 分离变量法将待求的多变量函数表示为若干单变量函数的乘积， 从而将求解多变量函数的偏微分方程转化为常微分方程，然后结 合边界条件求解常微分方程 应用分离变量法时，通常将边界面与某一坐标面相重合，或分段 重合，在此坐标系中，单变量函数的自变量即为坐标变量 待求问题 2 2 2 2 2 2 2 , zyx zyx 0 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室25 分离变

12、量法 分离变量 zZyYxXzyx, 0 2 2 2 2 2 2 dz Zd XY dy Yd ZX dx Xd YZ 0 Z Z Y Y X X 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室26 常微分方程 2 x k X X 2 y k Y Y 2 z k Z Z 或 0 2 XkX x 0 2 YkY y 0 2 ZkZ z Kx、ky、kz称为分离常数，满足：Kx2 + ky2 + kz2 = 0 分离常数可以等于实数、虚数或零，不同的取值决定了常微 分方程解的不同形式 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室27 常微分方程的解（以X(x)为例） kx2 0 kx2 0 kx

13、2 = 0 xkaxkaxX xx sincos 21 xkshbxkchbxX xx21 21 cxcxX Kx为实数 Kx为虚数 系数a1、a2，b1、b2，c1、c2的值由边界条件确定 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室28 分离变量取值由边界条件确定 在某一坐标方向为周期性边界条件 在某一坐标方向为非周期性边界条件 在某一坐标方向与该坐标变量无关 分离常数为虚数 分离常数为零 分离常数为实数 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室29 例. 无限长矩形管，管壁长为a，宽为b，除上壁电位为U0外，区域各壁 电位均为零，求管内电位分布。 2021-7-17东南大学毫米波

14、国家重点实验室30 解. 矩形管内无电荷分布，电位满足Laplace方程 矩形管无限长，管壁电位沿z方向无变化，因此管内电位与z无关，则电位满足二 维Laplace方程 分离变量 0 2 2 2 2 2 2 zyx 0 2 2 2 2 yx yYxXyx, (x, y, z) (x, y) 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室31 边界y = 0，x = 0与x = a处电位均为零，为周期性边界条件，因此kx为实数，则ky 必为虚数，设kx = k，ky = jk 以及 电位为 kxakxaxXsincos 21 shkybchkybyY 21 kybkybkxakxasincoss

15、incos 2121 yYxXyx, 待求系数a1、a2，b1、b2以及k的值由边界条件确定 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室32 边界条件 由边界条件（1）、（2）可得a1 = 0，b1 = 0，因此 (1). (0, y) = 0,x = 0, 0 y b (2). (x, 0) = 0, 0 x a, y = 0 (3). (a, y) = 0, x = a, 0 y b (4). (x, b) = U0, 0 x a, y = b kxshkybayxsin, 22 kxshkyAsin 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室33 由边界条件（3） 即 可得 电位

16、为 0sin,kashkyAya 0sinka , 2 , 1m a m k , 2 , 1sin, my a m shx a m Ayx 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室34 Laplace方程解的线性叠加仍然满足方程，因此可以得到电位解的一般形式为 确定Am的值，由边界条件（4） 式中 1 sin, m m y a m shx a m Ayx 1 0 sin m m b a m shx a m AU 1 sin m m x a m B abmshAC mm 常数U0在0 x a范围内的Fourier级数展开 2021-7-17东南大学毫米波国家重点实验室35 确定Cm的值 式中，n为一整数 a m m a dxx a n x a m Cdxx a n U