空间解析几何例题

1、空间解析几何例题第4章向量代数与空间解析几何习题解答习题4.1一、计算题与证明题1已知, , , 并且 计算解：因为, , , 并且所以与同向，且与反向因此，所以2已知, , 求解： （1） （2）得所以 3设力作用在点, 求力对点的力矩的大小解：因为,所以力矩 所以，力矩的大小为4已知向量与共线, 且满足, 求向量的坐标解：设的坐标为，又则 （1）又与共线，则即所以即 （2）又与共线，与夹角为或整理得 （3）联立解出向量的坐标为5用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形证明：如图所示，因为平行四边形的对角线互相平分，则有由矢量合成的三角形法则有所以即平行且等于

2、四边形是平行四边形6已知点, 求线段的中垂面的方程解：因为,中垂面上的点到的距离相等，设动点坐标为，则由得化简得这就是线段的中垂面的方程。7向量, , 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若, 的坐标分别为, 求向量的坐标解：且它们两两所成的角相等，设为则有则设向量的坐标为则 （1） （2）所以 （3）联立（1）、（2）、(3)求出或所以向量的坐标为或8已知点, , , ，(1) 求以, , 为邻边组成的平行六面体的体积(2) 求三棱锥的体积(3) 求的面积(4) 求点到平面的距离解：因为，,所以（1）是以它们为邻边的平行六面体的体积（2）由立体几何中知道，四面体（三棱锥）的体积（3）因为，

3、 所以，这是平行四边形的面积因此(4)设点到平面的距离为，由立体几何使得三棱锥的体积所以习题4.2一、计算题与证明题1求经过点和且与坐标平面垂直的平面的方程解：与平面垂直的平面平行于轴，方程为 (1)把点和点代入上式得 (2) (3) 由（2），（3）得, 代入（1）得 消去得所求的平面方程为2求到两平面和距离相等的点的轨迹方程解；设动点为，由点到平面的距离公式得 所以3已知原点到平面的距离为120, 且在三个坐标轴上的截距之比为, 求 的方程 解：设截距的比例系数为，则该平面的截距式方程为 化成一般式为 又因点到平面的距离为120，则有求出 所以，所求平面方程为4若点在平面上的投影为, 求平

4、面的方程 解：依题意，设平面的法矢为 代入平面的点法式方程为 整理得所求平面方程为5已知两平面与平面相互垂直，求的值 解：两平面的法矢分别为，由，得 求出6已知四点, , , , 求三棱锥中 面上的高解：已知四点,则 由为邻边构成的平行六面体的体积为 由立体几何可知，三棱锥的体积为 设到平面的高为则有 所以 又 所以， 因此，7已知点在轴上且到平面的距离为7, 求点的坐标 解：在轴上，故设的坐标为，由点到平面的距离公式，得 所以则那么点的坐标为8已知点在轴上且到点与到平面的距离相等, 求点的坐标。 解：在轴上，故设的坐标为，由两点的距离公式和点到平面的距离公式得 化简得 因为 方程无实数根，所

5、以要满足题设条件的点不存在。习题4.3一计算题与证明题1求经过点且与直线和都平行的平面的方程解：两已知直线的方向矢分别为，平面与直线平行，则平面的法矢与直线垂直由，有 （1）由，有 （2）联立（1），（2）求得,只有又因为平面经过点，代入平面一般方程得所以故所求平面方程，即，也就是平面。2求通过点P(1，0，-2)，而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线相交的直线的方程解：设所求直线的方向矢为，直线与平面平行，则，有 （1）直线与直线相交，即共面则有所以 （2）由（1），（2）得，即取，得求作的直线方程为3求通过点)与直线的平面的方程解：设通过点的平面方程为即 (1)又直线在平面上，则直线

6、的方向矢与平面法矢垂直所以 (2)直线上的点也在该平面上，则 （3）由（1），（2），（3）得知，将作为未知数，有非零解的充要条件为即，这就是求作的平面方程。4求点到直线的距离解：点在直线上，直线的方向矢 ,则与的夹角为所以因此点到直线的距离为5取何值时直线与轴相交?解：直线与轴相交，则有交点坐标为，由直线方程得，求得6平面上的直线通过直线：与此平面的交点且与 垂直, 求的方程解：依题意，与的交点在平面上，设通过交点的平面方程为即 （1）已知直线的一组方向数为所以 由直线与平面垂直得所以得将，代入（1）得化简得故所求直线方程为7求过点且与两平面和平行直线方程解：与两平面平行的直线与这两个平面的

7、交线平行，则直线的方向矢垂直于这两平面法矢 所确定的平面，即直线的方向矢为将已知点代入直线的标准方程得8一平面经过直线（即直线在平面上）：，且垂直于平面，求该平面的方程解：设求作的平面为 (1)直线在该平面上，则有点在平面上，且直线的方向矢与平面的法矢垂直所以 (2) (3)又平面与已知平面垂直，则它们的法矢垂直所以 (4)联立(2),(3),(4)得代入（1）式消去并化简得求作的平面方程为习题4.4一计算题与证明题1一动点到定点的距离是它到的距离的两倍, 求该动点的轨迹方程解：设动点的坐标为，依题意，得化简得2已知椭圆抛物面的顶点在原点，xOy面和xOz面是它的两个对称面，且过点(6，1，2

8、)与, 求该椭圆抛物面的方程解：顶点在原点，面和面是它的对称面的椭圆抛物线方程为代入已知点，得联立求出代入（1）式得化简得求作的椭圆抛面方程为3求顶点为，轴与平面x+y+z=0垂直，且经过点)的圆锥面的方程解：设轨迹上任一点的坐标为，依题意，该圆锥面的轴线与平面 垂直，则轴线的方向矢为，又点与点在锥面上过这两点的线的方向矢为，点与点的方向矢为，则有与的夹角和与的夹角相等，即化简得所求的圆锥面方程为 4已知平面过轴, 且与球面相交得到一个半径为2的圆, 求该平面的方程解：过轴的平面为 （1）球面方程化为表示球心坐标为到截面圆的圆心的距离为,如题三.4图所示由点到平面的距离公式为化简得解关于A的一

9、元二次方程地求出分别代入(1)式得消去得所求平面方程为或5求以, 直线为中心轴的圆柱面的方程 解:如习题三.5所示,圆柱面在平面上投影的圆心坐标为,半径为,所以求作的圆柱面方程为6求以, 经过点的圆柱面的方程 解:设以轴为母线的柱面方程为 (1) 因为点,在柱面上,则有 (2) (3) 则 (4)联立(2),(3),(4)求出,代入(1)式得所求的柱面方程为7根据的不同取值, 说明表示的各是什么图形解:方程 (1)时,(1)式不成立,不表示任何图形;时,(1)式变为,表示双叶双曲线;时,(1)式变为,表示单叶双曲线;时,(1)式变为,表示椭球面;时,(1)式变为,表示母线平行于轴的椭圆柱面;时

10、,(1)式变为,表示双曲柱面;时,(1)式变为,不表示任何图形;8已知椭球面经过椭圆与点, 试确定的值解:因为椭球面经过椭圆与点,则有所以代入(2)得即复习题四一、计算与证明题1已知, , , 并且 计算 解: , , , 且 则. 所以2设力作用在原点点, 求力对点的力矩的大小解:原点坐标,则，对的力矩为力矩的大小为3已知点, 求线段的中垂面的方程解：已知点, ，设的中垂面上任一点的坐标为，由两点间的距离公式得 化简得 4已知平面与三个坐标轴的交点分别为且的体积为80, 又在三个坐标轴上的截距之比为, 求的方程解：设在三个坐标轴上的截距之比为，则平面与三个坐标轴的交点为所以， 因此， 平面的方程为5已知两平面与平面相互垂直, ,求的值 解：平面， 平面， 与垂直，则，所以 即 所以6取何值时直线与轴相交? 解：直线与轴相交，则交点坐标为，代入直线方程为 （1） （2） （1）+（2）得，而原点不在直线上，故，所以 7设圆柱面过直线, 以及轴, 求的方程 解：直线是平面与的平面的交线，在平面上，与轴的距离为6且平行与轴 直线，过点，方向矢为也平行于轴，所以该圆柱面的母线平行于轴，