【课件】高中数学《1.3.1 圆的极坐标方程》课件

1、1.3.1 圆的极坐标方程 本文在学习极坐标的基础上来进一步学习简单曲线的 极坐标方程，具体为教材：P12-P13。先学习体会极坐 标方程的定义（任意一点）；不同圆心的圆的极坐标方程 的求法和方程的表示；感受课本的递进研究方法。最后巩 固并复习在平面直角坐标系中圆的方程的求法。 本节课的关键在于让学生体会到极坐标方程是涉及长 度与角度的问题，列方程实质是解直角或斜三角形问题， 要使用旧的三角知识。 1.会求圆心不同的圆的极坐标方程。 2.体会圆的极坐标方程的推出过程。 3.类比直角坐标系中求圆心不同的圆的方程，感受 极坐标系中求曲线方程的方法。 1.在平面直角坐标系中,曲线C和方程f(x,y)

2、=0满足 (1)曲线C上点的坐标都是方程的解 (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上 则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C是方程 f(x,y)=0 的曲线。 3.圆的一般式方程： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 22 (DE4F0) 2.圆的标准方程： (x-a)2 + (y-b)2 =r2 4.极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)，极坐标是 (,) x=cos, y=sin 222 , tan(0) xy y x x 5、正弦定理： R C c B b A a 2 sinsinsin （其中：（其中：R为为ABC的外接

3、圆半径）的外接圆半径） 222 2cosabcbcA 6.余弦定理： 222 cos 2 bca A bc 如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a,0)(a 0) 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 (, )满足的条件吗？ x C(a,0) O A 2 , ( , ) cos2 cos .(1) (0,), (2 ,0)(1) 2 OAOAa MOAOMAM Rt AMOOMOAMOAa OAa 圆经过极点 。设圆与极轴的另一个交点是 ，那么 设为圆上除点 ， 以外的任意一点，那么。 在中即 可以验证， 点的坐标满足等式 解： 的点都在这个圆上。等式 ，可以验证，坐标适合满足的条件，另一方面

4、 坐标就是圆上任意一点的极所以，等式 ) 1 ( ),() 1 ( 的极坐标方程。叫做曲线那么方程 上，的点都在曲线并且坐标适合方程 一个满足方程一点的极坐标中至少有 上任意，如果平面曲线一般地，在极坐标系中 Cf Cf f C 0),( 0),( 0),( 的圆的极坐标方程。为 半径就是圆心在所以， a aaCa),0)(0 ,(cos2 极坐标方程：极坐标方程： 一、定义：一、定义：如果曲线上的点与方程如果曲线上的点与方程f( , )=0有如下关系有如下关系 （）曲线上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）（）曲线上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个） 符合方程符合方程f( , )=0; （

5、）方程（）方程f( , )=0的所有解为坐标的点都在曲线上。的所有解为坐标的点都在曲线上。 则称曲线的方程是则称曲线的方程是f( , )=0 。 二、求曲线的极坐标方程到底是求什么？ 与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找 出曲线上动点的坐标出曲线上动点的坐标 与与 之间的关系，然后列出方程之间的关系，然后列出方程 f( , )=0 ，再化简并说明。，再化简并说明。 1.1.建极坐标系，设动点建极坐标系，设动点M M ( ( , , ) )； 2.2.找曲线上任一点满足的几何条件；找曲线上任一点满足的几何条件； 3.3.把上面的几何

6、条件转化为把上面的几何条件转化为 与与 关系关系 4.4.化简，说明化简，说明 三三. .求曲线极坐标方程步骤：求曲线极坐标方程步骤： 5.5.极坐标方程与直角坐标方程可以相互转化极坐标方程与直角坐标方程可以相互转化 某些时候，用极坐标方程解决比较方便，这是一个重要的解题某些时候，用极坐标方程解决比较方便，这是一个重要的解题 技巧技巧. .在极坐标系中，当研究的问题用极坐标方程难以决时，在极坐标系中，当研究的问题用极坐标方程难以决时， 可转化为直角坐标方程求解可转化为直角坐标方程求解. . 例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系， 可以使圆的极坐标方程简单？ xO r M 简单。上比 式

7、合时的极坐标方程在形显然，使极点与圆心重 即为圆上任意一点，则设 都等于半径何特征就是它们的极径 几图），那么圆上各点的为极轴建立坐标系（如 出发的一条射线为极点，从解：如果以圆心 ) 1 ( ,),( . r rOMM r OO Ox M r =r Ox M a =2asin O A M C （a,0） =2acos r 2asin (0) 2acos 例2.求圆心在(0，0)，半径为r的圆的方程 思路点拨结合圆的定义求其极坐标方程 O x M a O x M a =2asin( ) =-2asin =2acos( ) =-2acos 1.以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,1)为圆心，为

8、圆心，1为半径的圆的方程为半径的圆的方程 是（是（ ） .2cos.2sin 44 .2cos1.2sin1 AB CD C 2.求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程 ()中心在极点，半径为中心在极点，半径为2； ()中心在中心在(a,0)，半径为，半径为a； ()中心在中心在(a, /2)，半径为，半径为a； ()中心在中心在( 0, )，半径为 ，半径为r。 2 2acos 2asin 2+ 0 2 -2 0 cos( - )= r2 已知一个圆的方程是5 3cos-5sin 求圆心坐 例3. 标和半径。 2 2222 5 3cos5sin 5 3 cos5 sin 5 35 5 35

9、()()25 22 5 35 (,),5 22 xyxyxy 两边同乘以 得 即化为直角坐标为 即 所以圆心为 解 半径是 ： 31 10(cossin)10cos(), 226 (5,),5, 6 解：原式可化为 所以圆心为半径为 O a aaa 此圆过极点 圆的极坐标方程为 半径为圆心为 )cos(2 )0)(,( 你可以用极坐标方程直接来求吗？你可以用极坐标方程直接来求吗？ 已知一个圆的方程是5 3cos-5sin 求圆心坐 例3. 标和半径。 方程是什么？ 化为直角坐标、曲线的极坐标方程sin41 4)2( 22 yx 圆的圆心距是多少？ 的两个和、极坐标方程分别是sincos2 1

10、cos( ,0) 2 sincos()cos() 22 12 sin( ,), 2 22 解：圆 圆心的坐标是 圆 圆 的圆心坐标是所以圆心距是 3cos() 4 、极坐标方程所表示的曲线是( ) A、双曲线、双曲线 B、椭圆、椭圆 C、抛物线、抛物线 D、圆、圆 D 为半径的圆。为圆心，以 解：该方程可以化为 2 1 ) 4 , 2 1 ( ) 4 cos( 法一：法一： 4 1 ) 4 2 () 4 2 ( 0 2 2 2 2 sin 2 2 cos 2 2 4 sinsin 4 coscos 22 22 2 yx yxyx 即 解： 法二：法二： 410cos() 3 、圆 的圆心坐标是

11、( ) )0 , 5( 、A) 3 , 5( 、B ) 3 , 5( 、C) 3 2 , 5( 、D C 5(2,) 2 A 、写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程， 并把它化成直角坐标方程。 2 2222 4cos()4sin , 2 4 sin , 4(2)4.xyyxy 解： 化为直角坐标系为 即 2 12 6:2cos ,:2 3 sin20,CC、已知圆圆 试判断两圆的位置关系。 所以两圆相外切。 半径为，圆心 半径为圆心 坐标方程为解：将两圆都化为直角 2 1)3, 0(1)3(: 1)0 , 1 (, 1) 1( : 21 2 22 2 1 22 1 OO OyxC OyxC 78cosOCONON、从极点 作圆 ： 的弦，求的 中点的轨迹方程。 O N M C(4, 0) (4,0), 4, , 4cos . C rOC CM MONCMON M 如图，圆 的圆心 半径