1.1分类加法原理和分步乘法原理(正式)

1、 1.1 分类分类加法计加法计数原理数原理 和和 分步分步乘法计乘法计数原理数原理 问题问题1:. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘 汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽 车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通 工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 分析分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。 （一）新课引入：（一）新课引入： 问题问题2: 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C 村的道路有2条。从A村经B村

2、去C村，共有多少种不 同的走法? A村 B村C村 北 南 中 北 南 分析分析: 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有2种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 2 = 6 种不同的方法。 分类分类计计数原理数原理: 做一件事情，完成它可以有做一件事情，完成它可以有 n类办法类办法,在第一类办法中有在第一类办法中有m1种不同的方法种不同的方法, 在第二类办法中有在第二类办法中有m2种不同的方法，种不同的方法，在，在 第第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法。那么完成这种不同的方法。那么完成这 件事共有件事共有 N=m1+m2+mn 种

3、不同的方法。种不同的方法。 分步分步计计数原理：数原理：做一件事情，完成它需要分做一件事情，完成它需要分 成成n个步骤，做第一步有个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做种不同的方法，做 第二步有第二步有m2种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n步有步有 mn种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1m2mn 种不同的方法种不同的方法。 （二）新课：（二）新课： （三）例题：（三）例题： 例例 1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放 有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书， （1）从书架上任取1本书，有多少不同的取法？ （2）从书架的第1，2，3

4、层各取1本书，有多少不同的 取法？ 分析分析: (1)从书架上任取1本书，有三类办法：第一 类办法, 从第1层中任取一本书, 共有 m1 = 4 种不 同的方法; 第二类办法, 从第2层中任取一本书, 共 有 m2 = 3 种不同的方法;第三类办法：从第3层中 任取一本书,共有 m3 = 2 种不同的方法 所以, 根据分类分类计计数原理数原理, 得到不同选法种数共有 N = 4+3+2= 9 种。 （三）例题：（三）例题： 例例 1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不 同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书， （1）从书架上任取1本书，有多少不同的取法？ （2）从书架的第1

5、，2，3层各取1本书，有多少不同的取法？ 分析分析: (2)从书架的第1，2，3层各取1本书，可以分成3个 步骤完成： 第一步,从第1层取1本计算机书，有m1 = 4 种方法; 第二步,从第2层取1本文艺书，有 m2 = 3 种方法; 第三步,从第3层取1本体育书，有 m3 = 2 种方法; 所以, 根据分步分步计计数原理数原理, 得到不同选法种数共有 N = 4 3 2 = 24 种。 点评点评: : 解题的关键是从总体上看做这件事情是解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成分类完成”,”, 还是还是“分步完成分步完成”。“分类完成分类完成”用用“分类分类计计数原理数原理”;“”;“分分

6、 步完成步完成”用用“分步分步计计数原理数原理”。 例例2.在所有的两位数中在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共个位数字大于十位数字的两位数共 有多少个？有多少个？ 分析分析1: 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足 条件的两位数分别是 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个. 则根据分类分类计计数原理数原理共有 1 +2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 =36 (个). 分析分析2: 按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条 件的两位数分别是 8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个. 则根据

7、分类分类计计数原理数原理共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 (个) 例例 3. 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十 个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的 数字允许重复)？首位数字不为0的号码数是多少？首位数字 是0的号码数又是多少？ 分析分析: 按号码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三 位,第 四位、需分为 四步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m2 = 10，第 四步 ， m4 = 10. 根据分步分步计计数原理数原理, 共可以设置N = 101010 10 = 104

8、种 四位数的号码。 答答:首位数字不为0的号码数是N =91010 10 = 9103 种, 首位数字是0的号码数是 N = 11010 10 = 103 种。 由此可以看出, 首位数字不为0的号码数与首位数字是0的号 码数之和等于号码总数。 例例 3. 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共 十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位 上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数是多少？首 位数字是0的号码数又是多少？ 问问: 若设置四个、五个、六个、十个等号码盘,号码数 分别有多少种？ 答答:它们的号码种数依次是 104 , 105, 106, 种。 点评点评: 分类分

9、类计计数原理数原理中的“分类”要全面, 不能遗漏; 但也不能 重复、交叉;“类”与“类之间是并列的、互斥的、独立的,也就 是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一 种方法。若完成某件事情有n类办法, 即它们两两的交为空 集,n类的并为全集。 分步分步计计数原理数原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连 续的,不间 断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事 情需n步, 则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算 完成。 在运用“分类分类计计数原理数原理、分步分步计计数原理数原理”处理具体应用题时, 除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”

10、 的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致标准必须一致,才能 保证不重复、不遗漏。 课堂练习课堂练习 1 .如图如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上四个区域分别涂上3种不同种不同 颜色中的某一种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须但相邻区域必须 涂不同的颜色涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？ 课堂练习课堂练习 1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区 域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 解解: 按地图A、B、C、D四个区域

11、 依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据分步分步计计数原理数原理, 得到不同 的涂色方案种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。 课堂练习课堂练习 1 .如图如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上四个区域分别涂上3种不同种不同 颜色中的某一种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须但相邻区域必须 涂不同的颜色涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？ 问问: 若用2色、3色、4色、5色等, 结果又怎样呢？ 答答:它

12、们的涂色方案种数分别是它们的涂色方案种数分别是 0, 4322 = 48, 5433 = 180种等。种等。 2.如图如图,该电路该电路, 从从A到到B共有多共有多 少条不同的线少条不同的线 路可通电？路可通电？ A B 课堂练习课堂练习 解解: 从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分三类的通电线路可分三类, 第一类第一类, m1 = 3 条条 第二类第二类, m2 = 1 条条 第三类第三类, m3 = 22 = 4, 条条 所以所以, 根据根据分类分类计计数原理数原理, 从从A到到 B共有共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。条不同的线路可通电。 当然当然,

13、也可以把并联的也可以把并联的4个看成一类个看成一类,这样也可分这样也可分2类求解。类求解。 A B m2 m2 A B m1 mn . AB m1mn 点评点评: 我们可以把我们可以把分类分类 计计数原理数原理看成看成“并联并联 电路电路”;”;分步分步计计数原理数原理 看成看成“串联电路串联电路”。 如如左左图图: : 3.如图如图,一蚂蚁沿着长方体的棱一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点从的一个顶点 爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少 条？条？ 课堂练习课堂练习 解解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1 有三类方法,从局部上看每类又需两步

14、完成,所以, 第一类, m1 = 12 = 2 条 第二类, m2 = 12 = 2 条 第三类, m3 = 12 = 2 条 所以, 根据分类分类计计数原理数原理, 从顶点A到顶点C1最 近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。 练习练习4.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到 丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁 地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种 不同的走法？ 甲地乙地 丙地 丁地 解解:从总体上看,由甲到丙有两 类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙,又需分 两步, 所以 m1 = 23 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙,也需分 两

15、步, 所以 m2 = 42 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 ： N = 6 + 8 = 14 种不同的走法。 小结：小结： 1. 本节课学习了那些主要内容？本节课学习了那些主要内容？ 答答:分类分类计计数原理数原理和和分步分步计计数原理数原理。 2.分类分类计计数原理数原理和和分步分步计计数原理数原理的共同点是什么？不同点什么？的共同点是什么？不同点什么？ 答答: 共同点是, 它们都是研究完成一件事情, 共有多少 种不 同的方法。 不同点是, 它们研究完成一件事情的方式不同,分分 类类计计数原理数原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任何 一个方法都能完成这件事。分步分步计计数原理数原理是“分步完 成”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一 步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重 点。 3. 何时用何时用分类分类计计数原理数原理、分步分步计计数原理数原理呢呢? 答答:完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算 完成这件事情的方法总数用分类分类计计数原理数原理。 完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种 方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完 成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完 成这件事的方法总数用分步分步计计数原