【练习】新高中数学选择性必修二_专题强化练8　函数极值的求解及其应用

1、专题强化练8函数极值的求解及其应用一、选择题1.(2019广东肇庆高三月考,)已知x=1是f(x)=x2-(a+3)x+2a+3ex的极小值点,则实数a的取值范围是()A.(1,+)B.(-1,+)C.(-,-1)D.(-,1)2.()若函数f(x)=x2-aln x(aR)不存在极值点,则a的取值范围是()A.(-,0)B.(0,+)C.0,+)D.(-,03.(2020福建三明高三上期末质量检测,)函数f(x)=ln x2-x的图象大致为(深度解析)4.(2020江西上饶高二中、高三上第三次段考,)已知函数f(x)=ax-x2-ln x存在极值,若这些极值的和大于5+ln 2,则实数a的取

2、值范围为(深度解析)A.(-,4)B.(4,+)C.(-,2)D.(2,+)5.()若函数f(x)=12x2+(a-1)x-aln x存在唯一的极值,且此极值不小于1,则实数a的取值范围为()A.32,2B.32,+C.0,32D.(-1,0)32,+6.(多选)(2020山东济宁高二上期末,)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f(x),如图是函数y=xf(x)的图象,则下列说法正确的是()A.函数f(x)的单调增区间是(-2,0),(2,+)B.函数f(x)的单调增区间是(-,-2),(2,+)C.x=-2是函数f(x)的极小值点D.x=2是函数f(x)的极小值点7.(多选)()已知函数

3、y=f(x)在R上可导,且f(0)=1,其导函数f(x)满足f(x)-f(x)x-10,对于函数g(x)=f(x)ex,下列说法正确的是()A.函数g(x)在(1,+)上为单调递增函数B.x=1是函数g(x)的极小值点C.函数g(x)至多有两个零点D.当x0时,不等式f(x)ex恒成立二、填空题8.()若函数f(x)=x2+ax+1在x=1处取得极值,则a=.9.()已知函数f(x)=x3-3x2-9x-1的图象与函数g(x)=a的图象有三个交点,则实数a的取值范围是.三、解答题10.(2020河南新乡高二上期末,)已知函数f(x)=mx+nx的图象在x=14处的切线方程为y=-14.(1)求

4、f(x)的解析式;(2)若关于x的方程f(x)=aln x在x(1,+)上有解,求a的取值范围.深度解析11.(2020河北衡水中学高三上期末,)已知函数f(x)=ln x+mx2+1,mR.(1)当m=-2时,求函数f(x)的单调区间和极值;(2)讨论函数f(x)的零点个数.答案全解全析一、选择题1.D依题意得, f(x)=(x-a)(x-1)ex,它的两个零点为x1=1,x2=a,要使x=1是函数f(x)的极小值点,则必须有a0时, f(x)=2ln x-x,f(x)=2x-1=2-xx.当x2时, f(x)0,当0x0,f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+)上单调递减,且f(x)在

5、(0,+)上的极大值为f(2)=2ln 2-20,C、D错误.当x0时, f(x)=2ln(-x)-x, f(x)=2-xx0),f(x)=-2x2-ax+1x.f(x)存在极值,f(x)=0在(0,+)上有实根,即2x2-ax+1=0在(0,+)上有实根,即a=2x+1x在(0,+)上有实根.由2x+1x22x1x=22,得a22(a=22时无极值).此时, f(x)=0有两不相等的正实根,设为x1,x2,则x1+x2=a2,x1x2=12,f(x1), f(x2)是f(x)的两个极值,依题意得f(x1)+f(x2)=a(x1+x2)-(x12+x22)-(ln x1+ln x2)=a22-

6、a24-1-ln12=a24+1+ln 25+ln 2.化简得a216,又a22,a4.a的取值范围是(4,+),故选B.解题模板与函数的极值有关的问题,在解题时常用“整体代入”的方法,如本题中用根与系数关系整体代入,有时还将f(x0)=0整体代入f(x0),解决相关极值问题.5.Bf(x)=12x2+(a-1)x-aln x,x0,f(x)=x+(a-1)-ax=x2+(a-1)x-ax=(x+a)(x-1)x.令f(x)=0,得x=1或x=-a,函数y=f(x)存在唯一的极值,x=1为f(x)的极值点,此时a0,当x(0,1)时, f(x)0,函数f(x)单调递增,f(x)极小值=f(1)

7、=12+a-1=a-12,又f(x)极小值1,a-121,解得a32.故选B.6.BD由题图可知,当0x2时, f(x)2, f(x)0;当-2x0时, f(x)0;当x0.所以函数f(x)在(-,-2)和(2,+)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,所以函数f(x)在x=2处取得极小值,在x=-2处取得极大值.故选BD.7.ABC因为g(x)=f(x)ex,所以g(x)=f(x)-f(x)ex,当x1时, f(x)-f(x)0,故y=g(x)在区间(1,+)上单调递增,故A正确.当x1时, f(x)-f(x)0,故y=g(x)在区间(-,1)上单调递减,故x=1是函数y=g(x)的极小值点

8、,故B正确.若g(1)0,则函数y=g(x)没有零点,故C正确.由y=g(x)在区间(-,1)上单调递减,且g(0)=f(0)e0=1,得当x0时,g(x)g(0),即f(x)ex1,故f(x)ex,故D错误.故选ABC.二、填空题8.答案3解析由题意得, f(x)=x2+ax+1=2x(x+1)-(x2+a)(x+1)2=x2+2x-a(x+1)2.函数f(x)在x=1处取得极值,f(1)=0,1+21-a=0,a=3.经验证知a=3符合题意.9.答案(-28,4)解析f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).令f(x)0,得x3;令f(x)0,得-1x3.所以f(x)在(-,-1

9、),(3,+)上单调递增;在(-1,3)上单调递减.所以当x=-1时, f(x)取得极大值,为f(-1)=4,当x=3时, f(x)取得极小值,为f(3)=-28.因为函数f(x)=x3-3x2-9x-1的图象与函数g(x)=a的图象有三个交点,所以-28ag(1)=1.当2a1,即a12时,F(x)0,所以F(x)单调递增,又F(1)=0,所以F(x)0.当2a1,即a12时,存在x0(1,+),使得F(x0)=0,所以函数F(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,又F(1)=0,所以F(x0)0,函数f(x)单调递增;当x12,+时, f(x)0).当m0时, f(x)0恒成立,函数f(x)单调递增,当0xe-m-1时, f(x)0,所以函数f(x)有且只有一个零点.当m0,函数f(x)单调递增;当x-12m,+时, f(x)0,函数f(x)单调递减,所以f(x)的极大值为f-12m=ln-12m+m-12m2+1=12ln-12m+12,当12ln-12m+120,即ln-12m-1=ln1e时,解得m0,即-e2m0时,f(e-2)=-2+me-4+1=-1+me-41时,令g(x)=ln x-x,则g(x)=1x-10在(1,+)上恒成立,所