材料力学课件

1、材料力学课件 第七章第七章 位移法位移法 材料力学课件 第一节 概 述 l力法和位移法是分析超静定结构的两种最 基本的方法。力法是把超静定结构的多余 未知力作为基本未知量（力），而位移法， 则是把结构的结点位移作为基本未知量。 l对于线性弹性结构，在一定外荷载作用下 内力与位移存在一一对应关系。 材料力学课件 第一节 概 述 l在计算超静定结构时，可设法求出结构中 的某些位移，通过位移与内力之间确定的 对应关系，求出相应的内力，从而对超静 定结构进行计算，这种计算超静定结构的 方法叫位移法。 材料力学课件 第二节 位移法的基本概念 l用位移法分析结构时，先将结构隔离成单 个杆件，进行杠件受力分

2、析，然后考虑变 形协调条件和平衡条件，将杆件在结点处 拼装成整体结构。 l所示结构为例了解位移法的基本思路。 材料力学课件 第一步，使原结构处于固定状态 材料力学课件 第二步，用杆端位移表示杆端力 材料力学课件 l得杆件BC的杆端弯矩为： 杆件BA的杆端弯矩为： 0 8 3 2 CB BBC M ql L EI M BCB BBA L EI M L EI M 2 4 材料力学课件 第三步，用平衡条件建立位移方程 （MBA+MBC）=0 0 8 34 2 ql l EI l EI BB 从上式中可求得B的角位移值为： EIql B 56/ 3 (顺时针方向) 材料力学课件 可求得各杆件杆端弯矩值

3、为： l 杆件BC： 56 4 8 ) 56 ( 3 223 qlql EI ql L EI M BC 0 CB M 杆件BA： 56 4 ) 56 ( 4 23 ql EI ql L EI M BA EI ql EI ql l EI M AB 28 ) 56 ( 2 23 (上边纤维受拉) (左边纤维受拉) (右边纤维受拉) 材料力学课件 l从上面简单刚架计算实例可以得到这样结论： 位移法是以结构的结点位移作为未知量，先通 过“离散”和“组合”的过程中求出未知量， 再利用它对结构进行分析。 l 最后可以把位移法的基本思路概括为，先离 散后组合的处理过程。所谓离散，就是把对整 体结构的分析转化

4、对单个杆件系在变形协调一 致条件下的杆系分析。所谓组合，是要把离散 后的结构恢复到原结构的平衡状态，也就是要 把各个杆件组合成原结构，组合条件就是要满 足原结构的平衡条件。 材料力学课件 因此位移法分析中应解决的问题有以下几方面： l确定杆端内力与杆端位移及荷载之间的 函数关系。 l确定结构中哪些结点位移作为基本未知 量。 l如何建立求解基本未知量的位移法方程 式。 这些问题将在以后的各节中分别予以介绍和 讨论。 材料力学课件 第三节等截面直杆的形常数和截常数 l用位移法分析结构时，是用增加附加约束的办 法，把对原结构的分析转化为对单跨超静定杆 件及静定杆件的分析。 对单跨超静定杆件分析 是位

5、移法分析的基础。又因为位移法是建立在 手算基础上，基本未知量的数目越少越好，所 以，为了减少基本未知量数目，我们给出三种 基本杆件类型：两端固定杆件；一端固定、另 一端铰支座杆件；一端固定、另一端定向支座 杆件。由于结构常为等截面直杆构成，所以只 讨论三种类型的等截面直杆在杆端位移和外荷 载分别作用下产生的杆端力。 材料力学课件 杆端位移的正负号规定 杆端角位移（结点角位移），以顺时针方向 旋转为正，反之为负 杆端线位移（结点线位移）。杆端线位移是 指杆件两端垂直于杆轴线方向的相对线位移， 正负号则以使整个杆件顺时针方向旋转规定为正 反之为负 。 材料力学课件 杆端内力的正负号规定 l杆端弯矩

6、。对杆件而言， 当杆端弯矩绕杆件顺时 针方向旋转为正，反之 为负。对结点而言，当 杆端弯矩绕结点（或支 座）逆时针方向旋转为 正，反之为负 l杆端剪力Q正负号的规 定，同材料力学和本书 中前面的规定，这里从 略。 材料力学课件 等截面直杆的刚度系数和固端力 l（1）刚度系数 l杆件刚度系数，是指使单跨超静定杆件在杆端 沿某位移方向发生单位位移时，所需要施加的 杆端力。由于它只是与杆件长度、截面尺寸以 及材料的弹性常数（如弹性模量等）有关的常 数，又称它为形常数。在表8-1、8-2和8-3中分 别给出了三种不同类型的杆件有杆端单位角位 移和单位相对线位移的刚度系数，这些形常数 是用力法推导出来的

7、，正负号是按本节规定确 定的。 材料力学课件 l（2）截常数 l单跨超静杆件在荷载等外部因素作用下引 起的杆端内力，常称为固端内力（包括固 端弯矩和固端剪力）。在给定杆件类型后， 其数值与荷载形式等有关，故称为载常数。 在表8-1、8-2及8-3中给出三种类型杆件 在常见荷载作用下的载常数，也是用力法 推导出的，正负号也是按本节规定确定的。 材料力学课件 第四节位移法的基本未知量和基本结构 l位移法基本概念可知，如果结构的每根杆件的 杆端位移已知，即可求出杆件内力。又由于汇 交于刚结点处各杆端位移相等，且等于结点位 移，位移法把结构的独立结点位移作为基本未 知量。结点位移由结点角位移和结点线位

8、移两 部分组成，则基本未知量由结点角位移和结点 线位移两部分组成。同时位移法引入变形假设： 假设结构变形是微小的；忽略受弯直杆（件） 的轴向变形和剪切变形对结点位移的影响。下 面将按照变形假设、三种类型杆件以及结构的 支座约束条件，讨论结构的独立结点位移 。 材料力学课件 （1） 结点角位移 l由材料力学梁弯曲的平面截面假设可知， 杆件发生弯曲变形后，横截面保持平面且 与杆轴线垂直，故杆端角位移和杆端横截 面的角位移是相等的。又根据刚结点的变 形连续条件，杆端角位移与该杆端相应的 结点角位移是相同的。由此得出，通常情 况下，一个刚结点有一个独立结点角位移 （转角）。 材料力学课件 l结构结点的

9、基本类型有刚结点和铰结点， 另外还有混合结点，而混合结点中有刚性 连结部分和铰结部分，可把一个刚性连接 部分也作为一个刚结点，仍然适用于一个 刚结点只有一个独立结点角位移。铰结点 处的杆端虽然有角位移，在位移法计算中 可以选用表8-2一端固定，一端铰支座杆 件的形常数和载常数，则铰支端的角位移 不作为基本未知量。 材料力学课件 （2） 结点线位移 l分析结构的独立结点线位移时，先分析结点和杆件连结 关系。一般情况下，平面杆件结构中每个结点（包括刚 结点和铰结点）均可能有两个（如水平和竖向）结点线 位移。若不考虑杆件的轴向变形，每根受弯直杆变形后 在杆轴方向上两端间距（长度）不改变，则有一根受弯

10、 直杆等同一根链杆的作用，能减少一个结点线位移。若 两个结点用一根受弯直杆连结后，在杆轴方向上将原有 的两个独立结点线位移减少为一个独立结点线位移。由 此推得，在一条直线上的多个结点（包括刚结点和铰结 点）用受弯杆件相互连接后，在该直线上的独立结点线 位移只有一个。 材料力学课件 材料力学课件 位移法的基本结构 l位移法中采用增加附加约束，以限制原结 构的结点位移而得到的新结构，称为位移 法的基本结构。 l使用的附加约束有两种形式：对应于结点 角位移，在刚结点处附加刚臂，只限制刚 结点的角位移，不限制结点线位移，用符 号“”表示刚臂；对应于独立的结点线 位移用附加链杆，只限制结点线位移。 材料

11、力学课件 材料力学课件 材料力学课件 第五节 位移法的典型方程 l用位移法求解超静定结构时，根据建立求 基本未知量的位移法基本方程方法的不同， 可分为典型方程法和平衡方程法两种。本 节先讨论典型方程法。 材料力学课件 51 位移法的典型方程的建立 l以图8-8（a）所示刚架为 例，说明典型方程法建立 位移法方程的过程。图8- 8（a）所示刚架在刚结 点B处有一个独立角位移， 编号为Z1；另外结点A、 B、C有一个独立水平线 位移，编号为Z2，基本 未知量和基本结构见图 （b）。图（b）中为杆 件的线刚度。 材料力学课件 l基本结构在外荷载q单独 作用下引起的弯矩图，记 为图，见图（C）。它引

12、起附加刚臂和附加链杆的 反力矩和反力，分别用、 （图C）表示。其中第一 个脚标表示反力所属约束， 第二个脚标表示反力产生 的原因。如表示由荷载作 用引起附加刚臂的反力矩， 后面遇到下标的物理意义 可按此类推。 材料力学课件 l图8-8（d）、（e）分别表示基本 结构在Z1=1及Z2=1单独作用下产 生的弯矩图，称为单位弯矩图 （或称图及图）。用r11、r21、 r12、r22表示在相应的附加约束 中产生的反力矩及反力。他们的 第一个脚标表示该反力所属的附 加约束；第二个脚标则表示反力 产生的原因。例如r11表示由Z1=1 单独作用于基本结构时，在附加 刚臂中产生的反力矩（图d）； r12表示由

13、Z2=1单独作用在基本 结构时，在附加刚臂中产生的反 力矩（图e）。单位位移均按基本 未知量的正方向设定，而各反力 的方向也均按所设的基本未知量 方向设定。 材料力学课件 l设基本结构在外荷载和独立结点位移Z1 及Z2分别作用下，在附加刚臂和链杆中产 生的反力矩和反力之和为R1及R2，由叠 加法可得其表达式为： P P RZrZrR RZrZrR 22221212 12121111 材料力学课件 l要使基本结构在荷载和基本未知量共同作用下的受力和 原结构受力相同，所以R1和R2应该等于零，故式（a） 变为: l上式称为二个未知量的位移法典型方程。它的物理意义 是，基本结构在外荷载和结点位移共同

14、作用下，在每一 个附加约束中产生的反力等于零。它反映了基本结构受 力与原结构是相同的，实质上代表了原结构的静力平衡 方程。结构有多少个独立的结点位移未知数，就可以建 立与之对应的相同数目的平衡方程。 0 0 2222121 1212111 P P RZrZr RZrZr 材料力学课件 5.2 n个基本未知量的位移法典型方程 l对于具有n个独立结点位移的结构，在原 结构中加入相应的附加约束，根据每个附 加约束中的反力矩或反力都应等于零的平 衡条件， 则可建立n个方程如下： 0 0 0 2211 22222121 11212111 nPnnnnn Pnn Pnn RZrZrZr RZrZrZr R

15、ZrZrZr 材料力学课件 l也可写成矩阵表达式: 0RK nnnn n n rrr rrr rrr K 21 22221 11211 n Z Z Z 2 1 nP P P R R R R 2 1 材料力学课件 l在位移法典型方程中，每个系数都是单位结点 位移所引起的附加约束的反力，它的大小与结 构刚度有关；刚度愈大则反力也愈大。故把系 数称为结构的刚度系数，把典型方程称为刚度 方程，把位移法也叫刚度法。 l 无论刚架、连续梁、铰接排架还是组合结构， 也无论结构形式有多大差异，也不管基本未知 量的类型有什么不同，只要结构的位移法基本 未知量数目相同，位移法方程形式都是相同的。 材料力学课件 5

16、.3 位移法典型方程中的系数和自由项计算 l计算系数和自由项时，可根据单位弯矩图、 以及荷载弯矩图,取隔离体,由平衡条件求 得系数和自由项.现以图8-8（a）所示刚 架中的系数和自由项具体计算说明如下。 材料力学课件 l计算附加刚臂中由 Z1=1，Z2=1及荷载 单独作用下产生的反 力矩时，从图8-8 （d）、（e）、（c） 中取结点B为隔离体， 运用力矩平衡方程可 求得有关刚臂中的反 力矩系数和自由项： ir10 11 ir10 11 lir/6 12 lir/6 12 8/8 2 1 qlR P 材料力学课件 l计算附加链杆中产生 的反力时，从图8-8 （d）、（e）、（c） 中取横梁AB

17、C部分为 隔离体，受力见图8-9 （d）、（e）、（f）。 用投影方程，可求得 相应的系数和自由项： lir/6 21 0 2 P R 2 22 /12lir 材料力学课件 5.4 解联立方程组求基本未知量 l将求得的系数和自由项代入典型方程，可 得： l求解方程组，得基本未知量的值为： 0 126 0 8 6 10 2 2 1 2 21 Z l i Z l i ql Z l i iZ iqlZ iqlZ 112/ 56/ 3 2 2 1 材料力学课件 5.5 求最后内力并作内力图 l在计算位移法典型方程中的系数和自由项 时，已经作出单位弯矩图、 以及荷载弯 矩图,可用叠加法求最后内力和作弯矩

18、图。 l用简支梁叠加法可绘出最后弯矩图，见图 8-8（f）。绘出M图后，可由静力平衡条 件求得杆端剪力和轴力，并作出剪力图和 轴力图。 材料力学课件 第六节 用典型方程法计算超静定结构 l典型方程法的计算步骤 l用位移法的典型方程方法计算各外部因素（载荷、支座位移等）作 用下的各类结构内力的步骤归纳如下： l1确定原结构的基本结构和基本未知量； l2列位移法的基本方程（典型方程）； l3计算系数和自由项。首先作图和图，然后用平衡条件计算系数 和自由项； l4解联立方程组求基本未知量； l5求结构内力，并作内力图； l6校核。 l用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无 侧移结构，如连续梁；又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如 铰接排架和有侧移刚架等。 材料力学课件 6.2 有一个独立结点角位移未知量的结构计算 l例8-1 用位移法计算图8- 10（a）所示结构，绘弯 矩图。 l（1）确定基本未知量和 基本结构。各结点无线位 移，只有刚结点E处角位 移，作为基本未知量，并 加附加刚臂约束限制结点 转角。可将原结构分成单 跨超静定杆件和静定杆件， 得基本结构和基本未知量， 见图（b），令，各杆的 线刚度标在图（b）中。 材料力学课件 l2）列典型方程： 式中系数和自由项的物 理意义见图（c）和 （d）。 0 1111