高中数学【排列组合】

1、讲解：XX1 10.2 10.2 排列、组合及其应用排列、组合及其应用 要点梳理要点梳理 1.1.排列排列 （1 1）排列的定义：从）排列的定义：从n n个个 的元素中取出的元素中取出m m ( (m m n n) )个元素，按照一定的个元素，按照一定的 排成一列，叫做从排成一列，叫做从n n 个不同的元素中取出个不同的元素中取出m m个元素的一个排列个元素的一个排列. . （2 2）排列数的定义：从）排列数的定义：从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m m （m mn n）个元素的）个元素的 的个数叫做从的个数叫做从n n个个 不同的元素中取出不同的元素中取出m m个元素的排列数，用

2、个元素的排列数，用A A 表示表示. . 不同不同 顺序顺序 所有不同排列所有不同排列 m n 基础知识基础知识 自主学习自主学习 讲解：XX2 （3 3）排列数公式：）排列数公式：A = A = . . （4 4）全排列：）全排列：n n个不同的元素全部取出的个不同的元素全部取出的 ，叫，叫 做做n n个不同元素的一个全排列，个不同元素的一个全排列，A =A =n n ( (n n-1-1） （n n-2-2）21= 21= . .于是排列数公式写成阶乘于是排列数公式写成阶乘 的形式为的形式为 ，这里规定，这里规定0 0！= = . . 2.2.组合组合 （1 1）组合的定义：从）组合的定义

3、：从n n个个 的元素中取出的元素中取出m m（m m n n）个元素）个元素 叫做从叫做从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出 m m（m mn n）个元素的一个组合）个元素的一个组合. . n n m n n n( (n n-1)(-1)(n n-2)(-2)(n n- -m m+1)+1) 排列排列 n n！ 1 1)!( ! A mn n m n 不同不同 合成一组合成一组 讲解：XX3 （2 2）组合数的定义：从）组合数的定义：从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m m（m m n n）个元素的）个元素的 的个数，叫做从的个数，叫做从n n个个 不同的元素中取出不同的元

4、素中取出m m（m mn n）个元素的组合数，用）个元素的组合数，用 C C 表示表示. . （3 3）组合数的计算公式：）组合数的计算公式： = = ，由于，由于0 0！= = ，所以，所以 C =C = . . （4 4）组合数的性质：）组合数的性质：C =C = ；C =C = + + . . 所有不同组合所有不同组合 m n m m m n m n A A C )!( ! ! mnm n 1 1 1 1 0 n 12) 1( ) 1()2)(1( mm mnnnn m n m n 1 mn n C m n C 1 C m n 讲解：XX4 基础自测基础自测 1.1.从从1 1，2 2，

5、3 3，4 4，5 5，6 6六个数字中，选出一个偶数六个数字中，选出一个偶数 和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这 样的三位数共有样的三位数共有（） A.9A.9个个B.24B.24个个C.36C.36个个D.54D.54个个 解析解析 选出符合题意的三个数有选出符合题意的三个数有 =9=9种方法，种方法， 每三个数可排成每三个数可排成 =6=6个三位数，个三位数， 共有共有9 96=546=54个符合题意的三位数个符合题意的三位数. . D 2 3 1 3C C 3 3 A 讲解：XX5 2.2.已知已知11，22X X1,2,3,4,5

6、1,2,3,4,5，满足这个关系式，满足这个关系式 的集合的集合X X共有共有（） A.2A.2个个B.6B.6个个C.4C.4个个D.8D.8个个 解析解析 由题意知集合由题意知集合X X中的元素中的元素1 1，2 2必取，另外，必取，另外， 从从3 3，4 4，5 5中可以不取，取中可以不取，取1 1个，取个，取2 2个，取个，取3 3个个. . 故有故有 =8=8（个）（个）. . D 3 3 2 3 1 3 0 3 CCCC 讲解：XX6 3.3.某中学要从某中学要从4 4名男生和名男生和3 3名女生中选派名女生中选派4 4人担任奥人担任奥 运会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加，运

7、会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加， 则不同的选派方案共有则不同的选派方案共有（ ） A.25A.25种种B.35B.35种种C.840C.840种种D.820D.820种种 解析解析 若选男生甲，则有若选男生甲，则有 =10=10种不同的选法；同种不同的选法；同 理，选女生乙也有理，选女生乙也有1010种不同的选法；两人都不选有种不同的选法；两人都不选有 =5=5种不同的选法，所以共有种不同的选法，所以共有2525种不同的选派方案种不同的选派方案. . A 4 5 C 3 5 C 讲解：XX7 4.4.（20092009湖南理，湖南理，5 5）从从1010名大学毕业生中选名大学毕业生中选

8、3 3人人 担任村长助理，则甲、乙至少有担任村长助理，则甲、乙至少有1 1人入选，而丙没人入选，而丙没 有入选的不同选法的种数为有入选的不同选法的种数为（） A.85A.85B.56B.56C.49C.49D.28D.28 解析解析 丙不入选的选法有丙不入选的选法有 =84=84（种）（种）, , 甲乙丙都不入选的选法有甲乙丙都不入选的选法有 =35=35（种）（种）. . 所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法 有有84-35=4984-35=49种种. . C 123 789 C3 9 123 567 C3 7 讲解：XX8 5.5.有有6 6

9、个座位连成一排，现有个座位连成一排，现有3 3人就坐，则恰有两个人就坐，则恰有两个 空座位相邻的不同坐法有空座位相邻的不同坐法有（） A.36A.36种种B.48B.48种种C.72C.72种种D.96D.96种种 解析解析 恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第 三个空位不相邻，先排三个人，然后插空三个空位不相邻，先排三个人，然后插空. .从而共从而共 =72 =72种排法种排法. . C 3 3 A 2 4 A 讲解：XX9 题型一题型一 排列问题排列问题 【例例1 1】有】有3 3名男生、名男生、4 4名女生，在下列不同条件下，名女生，在下列不同条件下，

10、 求不同的排列方法总数求不同的排列方法总数. . （1 1）选其中）选其中5 5人排成一排；人排成一排； （2 2）排成前后两排，前排）排成前后两排，前排3 3人，后排人，后排4 4人；人； （3 3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； （4 4）全体排成一排，女生必须站在一起；）全体排成一排，女生必须站在一起； （5 5）全体排成一排，男生互不相邻；）全体排成一排，男生互不相邻； （6 6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3 3人人. . 题型分类题型分类 深度剖析深度剖析 讲解：XX10 思维启迪思维启迪 无限制

11、条件的排列问题，直接利用排无限制条件的排列问题，直接利用排 列数公式即可列数公式即可. .但要看清是全排列还是选排列；有但要看清是全排列还是选排列；有 限制条件的排列问题，常见类型是限制条件的排列问题，常见类型是“在与不在在与不在”、 “邻与不邻邻与不邻”问题，可分别用相应方法问题，可分别用相应方法. . 解解 （1 1）从）从7 7个人中选个人中选5 5个人来排列，个人来排列， 有有 =7=76 65 54 43=2 5203=2 520种种. . （2 2）分两步完成，先选）分两步完成，先选3 3人排在前排，有人排在前排，有 种方法，种方法， 余下余下4 4人排在后排，有人排在后排，有 种

12、方法，故共有种方法，故共有 =5 040 =5 040种种. .事实上，本小题即为事实上，本小题即为7 7人排成一排的人排成一排的 全排列，无任何限制条件全排列，无任何限制条件. . 3 7 A 4 4 A 3 7 A 4 4 A 5 7 A 讲解：XX11 （3 3）（优先法）（优先法） 方法一方法一 甲为特殊元素甲为特殊元素. .先排甲，有先排甲，有5 5种方法；其种方法；其 余余6 6人有人有 种方法，故共有种方法，故共有5 5 =3 600 =3 600种种. . 方法二方法二 排头与排尾为特殊位置排头与排尾为特殊位置. .排头与排尾从非排头与排尾从非 甲的甲的6 6个人中选个人中选2

13、 2个排列，有个排列，有 种方法，中间种方法，中间5 5个位个位 置由余下置由余下4 4人和甲进行全排列有人和甲进行全排列有 种方法，共有种方法，共有 =3 600 =3 600种种. . （4 4）（捆绑法）将女生看成一个整体，与）（捆绑法）将女生看成一个整体，与3 3名男生名男生 在一起进行全排列，有在一起进行全排列，有 种方法，再将种方法，再将4 4名女生进名女生进 行全排列行全排列, ,也有也有 种方法种方法, ,故共有故共有 =576=576种种. . 6 6 A 6 6 A 2 6 A 5 5 A 2 6 A 5 5 A 4 4 A 4 4 4 4 AA 4 4 A 讲解：XX12

14、 （5 5）（插空法）男生不相邻，而女生不作要求，）（插空法）男生不相邻，而女生不作要求， 所以应先排女生，有所以应先排女生，有 种方法，再在女生之间及首种方法，再在女生之间及首 尾空出的尾空出的5 5个空位中任选个空位中任选3 3个空位排男生，有个空位排男生，有 种方种方 法，故共有法，故共有 =1 440 =1 440种种. . （6 6）把甲、乙及中间）把甲、乙及中间3 3人看作一个整体，第一步先人看作一个整体，第一步先 排甲、乙两人有排甲、乙两人有 种方法，再从剩下的种方法，再从剩下的5 5人中选人中选3 3 人排到中间，有人排到中间，有 种方法，最后把甲、乙及中间种方法，最后把甲、乙

15、及中间3 3 人看作一个整体，与剩余人看作一个整体，与剩余2 2人全排列，有人全排列，有 种方种方 法，故共有法，故共有 =720 =720种种. . 4 4 A 3 5 A 4 4 A 3 5 A 2 2 A 3 5 A 3 3 A 2 2 A 3 5 A 3 3 A 讲解：XX13 探究提高探究提高 排列问题的本质就是排列问题的本质就是“元素元素”占占“位位 子子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现 在：某些元素在：某些元素“排排”或或“不排不排”在哪个位子上，某在哪个位子上，某 些元素些元素“相邻相邻”或或“不相邻不相邻”. .对于这类问题在

16、分对于这类问题在分 析时，主要按析时，主要按“优先优先”原则，即优先安排特殊元素原则，即优先安排特殊元素 或优先满足特殊位子或优先满足特殊位子. . 讲解：XX14 知能迁移知能迁移1 1 用用0 0、1 1、2 2、3 3、4 4、5 5这六个数字，可以这六个数字，可以 组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位 数：数： （1 1）奇数；（）奇数；（2 2）偶数；（）偶数；（3 3）大于）大于3 1253 125的数的数. . 解解 （1 1）先排个位，再排首位，共有）先排个位，再排首位，共有 =144 =144（个）（个）. . （2 2）以

17、）以0 0结尾的四位偶数有结尾的四位偶数有 个，以个，以2 2或或4 4结尾的四结尾的四 位偶数有位偶数有 个，则共有个，则共有 =156 =156（个）（个）. . （3 3）要比）要比3 1253 125大，大，4 4、5 5作千位时有作千位时有2 2 个，个，3 3作千作千 位，位，2 2、4 4、5 5作百位时有作百位时有3 3 个，个，3 3作千位，作千位，1 1作百位作百位 时有时有2 2 个，所以共有个，所以共有2 =162(2 =162(个个).). 1 3 A 1 4 A 2 4 A 3 5 A 1 2 A 1 4 A 2 4 A 1 2 3 5 AA 1 4 A 2 4 A

18、 3 5 A 2 4 A 1 3 A 1 3 2 4 3 5 A2A3A 讲解：XX15 题型二题型二 组合问题组合问题 【例例2 2】 （1212分）男运动员分）男运动员6 6名，女运动员名，女运动员4 4名，其名，其 中男女队长各中男女队长各1 1人人. .选派选派5 5人外出比赛人外出比赛. .在下列情形中在下列情形中 各有多少种选派方法？各有多少种选派方法？ （1 1）男运动员）男运动员3 3名，女运动员名，女运动员2 2名；名； （2 2）至少有）至少有1 1名女运动员；名女运动员； （3 3）队长中至少有）队长中至少有1 1人参加；人参加； （4 4）既要有队长，又要有女运动员）既

19、要有队长，又要有女运动员. . 讲解：XX16 思维启迪思维启迪 （1 1）分步）分步. .（2 2）可分类也可用间接法）可分类也可用间接法. . （3 3）可分类也可用间接法）可分类也可用间接法. .（4 4）分类）分类. . 解题示范解题示范 解解 （1 1）第一步：选）第一步：选3 3名男运动员，有名男运动员，有 种选法种选法. . 第二步：选第二步：选2 2名女运动员，有名女运动员，有 种选法种选法. . 共有共有 =120 =120种选法种选法. .33分分 （2 2）方法一方法一 至少至少1 1名女运动员包括以下几种情况：名女运动员包括以下几种情况： 1 1女女4 4男，男，2 2

20、女女3 3男，男，3 3女女2 2男，男，4 4女女1 1男男. . 由分类加法计数原理可得总选法数为由分类加法计数原理可得总选法数为 =246=246种种. .66分分 3 6 C 2 4 C 3 6 C 2 4 C 1 6 4 4 2 6 3 4 3 6 2 4 4 6 1 4 CCCCCCCC 讲解：XX17 方法二方法二 “ “至少至少1 1名女运动员名女运动员”的反面为的反面为“全是男运全是男运 动员动员”可用间接法求解可用间接法求解. . 从从1010人中任选人中任选5 5人有人有 种选法，其中全是男运动员种选法，其中全是男运动员 的选法有的选法有 种种. . 所以所以“至少有至少

21、有1 1名女运动员名女运动员”的选法为的选法为 =246=246 种种. 6. 6分分 （3 3）方法一方法一 可分类求解：可分类求解： “只有男队长只有男队长”的选法为的选法为 ； “只有女队长只有女队长”的选法为的选法为 ； “男、女队长都入选男、女队长都入选”的选法为的选法为 ； 所以共有所以共有2 + =1962 + =196种选法种选法. . 9 9分分 5 10 C 5 6 C 5 6 5 10 CC 4 8 C 4 8 C 3 8 C 3 8 C 4 8 C 讲解：XX18 方法二方法二 间接法：间接法： 从从1010人中任选人中任选5 5人有人有 种选法种选法. . 其中不选队

22、长的方法有其中不选队长的方法有 种种. .所以所以“至少至少1 1名队长名队长” 的选法为的选法为 - =196- =196种种. .99分分 （4 4）当有女队长时，其他人任意选，共有）当有女队长时，其他人任意选，共有 种选种选 法法. .不选女队长时，必选男队长，共有不选女队长时，必选男队长，共有 种选法种选法. .其其 中不含女运动员的选法有中不含女运动员的选法有 种，所以不选女队长时种，所以不选女队长时 的选法共有的选法共有 - - 种选法种选法. . 所以既有队长又有女运动员的选法共有所以既有队长又有女运动员的选法共有 + - =191+ - =191种种. . 12 12分分 5

23、10 C 5 10 C 5 8 C 5 8 C 4 9 C 4 8 C 4 5 C 4 8 C 4 5 C 4 9 C 4 8 C 4 5 C 讲解：XX19 探究提高探究提高 解组合题时，常遇到解组合题时，常遇到“至多至多”、“至至 少少”问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求 解以减少运算量解以减少运算量. .当限制条件较多时，要恰当分类，当限制条件较多时，要恰当分类， 逐一满足逐一满足. . 讲解：XX20 知能迁移知能迁移2 2 在在7 7名男生名男生5 5名女生中选取名女生中选取5 5人，分别求人，分别求 符合下列条件的选法总数有多少种？符合

24、下列条件的选法总数有多少种？ （1 1）A A，B B必须当选；必须当选； （2 2）A A，B B必不当选；必不当选； （3 3）A A，B B不全当选；不全当选； （4 4）至少有）至少有2 2名女生当选；名女生当选； （5 5）选取）选取3 3名男生和名男生和2 2名女生分别担任班长、体育名女生分别担任班长、体育 委员等委员等5 5种不同的工作，但体育委员必须由男生担种不同的工作，但体育委员必须由男生担 任，班长必须由女生担任任，班长必须由女生担任. . 讲解：XX21 解解 （1 1）由于）由于A A，B B必须当选，那么从剩下的必须当选，那么从剩下的1010人中人中 选取选取3 3人

25、即可，人即可，有有 =120=120种种. . （2 2）从除去的）从除去的A A，B B两人的两人的1010人中选人中选5 5人即可，人即可， 有有 =252=252种种. . （3 3）全部选法有）全部选法有 种，种，A A，B B全当选有全当选有 种，种， 故故A A，B B不全当选有不全当选有 - =672- =672种种. . 3 10 C 5 10 C 5 12 C 3 10 C 5 12 C 3 10 C 讲解：XX22 （4 4）注意到）注意到“至少有至少有2 2名女生名女生”的反面是只有一名的反面是只有一名 女生或没有女生，故可用间接法进行，女生或没有女生，故可用间接法进行，

26、 有有 =596=596种选法种选法. . （5 5）分三步进行：）分三步进行： 第一步：选第一步：选1 1男男1 1女分别担任两个职务为女分别担任两个职务为 ； 第二步：选第二步：选2 2男男1 1女补足女补足5 5人有人有 种；种； 第三步：为这第三步：为这3 3人安排工作有人安排工作有 . . 由分步计数原理共有由分步计数原理共有 =12 600=12 600种选法种选法. . 5 7 4 7 1 5 5 12 CCCC 1 7 C 1 5 C 2 6 C 1 4 C 3 3 A 3 3 1 4 2 6 1 5 1 7 ACCCC 讲解：XX23 题型三题型三 排列、组合的综合应用排列、

27、组合的综合应用 【例例3 3】 4 4个不同的球，个不同的球，4 4个不同的盒子，把球全部放入个不同的盒子，把球全部放入 盒内盒内. . （1 1）恰有）恰有1 1个盒不放球，共有几种放法？个盒不放球，共有几种放法？ （2 2）恰有）恰有1 1个盒内有个盒内有2 2个球，共有几种放法？个球，共有几种放法？ （3 3）恰有）恰有2 2个盒不放球，共有几种放法？个盒不放球，共有几种放法？ 把不放球的盒子先拿走，再放球到余把不放球的盒子先拿走，再放球到余 下的盒子中并且不空下的盒子中并且不空. . 解解 （1 1）为保证）为保证“恰有恰有1 1个盒不放球个盒不放球”，先从，先从4 4个盒个盒 子中任

28、意取出去一个，问题转化为子中任意取出去一个，问题转化为“4 4个球，个球，3 3个盒个盒 子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把即把 4 4个球分成个球分成2 2，1 1，1 1的三组，然后再从的三组，然后再从3 3个盒子中选个盒子中选1 1 个放个放2 2个球，其余个球，其余2 2个球放在另外个球放在另外2 2个盒子内，由分个盒子内，由分 步乘法计数原理，共有步乘法计数原理，共有 =144 =144种种. . 思维启迪思维启迪 2 2 A 1 3 2 4 1 4 CCC 讲解：XX24 （2 2）“恰有恰有1 1个盒内有个盒内有2 2个球个球”，即

29、另外，即另外3 3个盒子放个盒子放2 2 个球，每个盒子至多放个球，每个盒子至多放1 1个球，也即另外个球，也即另外3 3个盒子中个盒子中 恰有一个空盒，因此，恰有一个空盒，因此，“恰有恰有1 1个盒内有个盒内有2 2个球个球”与与 “恰有恰有1 1个盒不放球个盒不放球”是同一件事，所以共有是同一件事，所以共有144144种种 放法放法. . （3 3）确定）确定2 2个空盒有个空盒有 种方法种方法. . 4 4个球放进个球放进2 2个盒子可分成（个盒子可分成（3 3，1 1）、（）、（2 2，2 2）两）两 类，第一类有序不均匀分组有类，第一类有序不均匀分组有 种方法；第种方法；第 二类有序

30、均匀分组有二类有序均匀分组有 种方法种方法. . 故共有故共有 （ ）=84=84种种. . 2 4 C 2 2 1 1 3 4 ACC 2 2 2 2 2 2 2 4 A A CC 2 4 C 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 1 1 3 4 A A CC ACC 讲解：XX25 探究提高探究提高 排列、组合综合题目，一般是将符合排列、组合综合题目，一般是将符合 要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的 元素或分好的组进行排列元素或分好的组进行排列. .其中分组时，要注意其中分组时，要注意 “平均分组平均分组”与与“不平均分组不平均分组”

31、的差异及分类的标的差异及分类的标 准准. . 知能迁移知能迁移3 3 已知已知1010件不同产品中有件不同产品中有4 4件是次品，现件是次品，现 对它们进行一一测试对它们进行一一测试, ,直至找出所有直至找出所有4 4件次品为止件次品为止. . （1 1）若恰在第）若恰在第5 5次测试，才测试到第一件次品，第次测试，才测试到第一件次品，第 十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法 数是多少？数是多少？ （2 2）若恰在第）若恰在第5 5次测试后，就找出了所有次测试后，就找出了所有4 4件次品，件次品， 则这样的不同测试方法数是多少？则这样的不同测

32、试方法数是多少？ 讲解：XX26 解解 （1 1）先排前）先排前4 4次测试，只能取正品，有次测试，只能取正品，有 种种 不同测试方法，再从不同测试方法，再从4 4件次品中选件次品中选2 2件排在第件排在第5 5和第和第 1010的位置上测试，有的位置上测试，有 = = 种测法，再排余种测法，再排余 下下4 4件的测试位置，有件的测试位置，有 种测法种测法. .所以共有不同排法所以共有不同排法 =103 680 =103 680种种. . （2 2）第）第5 5次测试恰为最后一件次品，另次测试恰为最后一件次品，另3 3件在前件在前4 4次次 中出现，从而前中出现，从而前4 4次有一件正品出现次

33、有一件正品出现. .所以不同测试所以不同测试 方法共有方法共有 （ ） =576=576种种. . 4 6 A 2 4 C 2 2 A 2 4 A 4 4 A 4 6 A 2 4 A 4 4 A 1 4 A 1 6 C 3 3 C 4 4 A 讲解：XX27 方法与技巧方法与技巧 1.1.解排列、组合混合题一般是先选元素、后排元素、解排列、组合混合题一般是先选元素、后排元素、 或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两 个基本原理作最后处理个基本原理作最后处理. . 2.2.对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做对于较难直接解决的问题则可用间接

34、法，但应做 到不重不漏到不重不漏. . 3.3.对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形 式，处理这类选择题可采用排除法分析答案的形式，式，处理这类选择题可采用排除法分析答案的形式， 错误的答案都是犯有重复或遗漏的错误错误的答案都是犯有重复或遗漏的错误. . 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 讲解：XX28 4.4.对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否 与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避 免计数的重复或遗漏免计数的重复或遗漏. . 失误与防范失误与

35、防范 要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不 要重复计数要重复计数. . 讲解：XX29 一、选择题一、选择题 1.1.（20092009辽宁理，辽宁理，5 5）从从5 5名男医生、名男医生、4 4名女医生中名女医生中 选选3 3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女 医生都有，则不同的组队方案共有医生都有，则不同的组队方案共有（） A.70A.70种种B.80B.80种种 C.100C.100种种D.140D.140种种 解析解析 对此问题可分类：男对此问题可分类：男2 2女女1 1和男和男1 1女女

36、2 2，故总，故总 共有共有 =70=70种不同的组队方案种不同的组队方案. . A 2 4 1 5 1 4 2 5 CCCC 定时检测定时检测 讲解：XX30 2.2.（20092009北京理，北京理，7 7）用用0 0到到9 9这这1010个数字，可以组个数字，可以组 成没有重复数字的三位偶数的个数为成没有重复数字的三位偶数的个数为（） A.324A.324B.328B.328 C.360 C.360D.648D.648 解析解析 若组成没有重复数字的三位偶数，可分为若组成没有重复数字的三位偶数，可分为 两种情况：两种情况：当个位上是当个位上是0 0时，共有时，共有9 98=728=72种

37、情况；种情况； 当个位上是不为当个位上是不为0 0的偶数时，共有的偶数时，共有4 48 88=2568=256种种 情况情况. . 综上，共有综上，共有72+256=32872+256=328种情况种情况. . B 讲解：XX31 3.3.高三（一）班学生要安排元旦晚会的高三（一）班学生要安排元旦晚会的4 4个音乐节目，个音乐节目，2 2个个 舞蹈节目和舞蹈节目和1 1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节 目不连排，则不同排法的种数是目不连排，则不同排法的种数是（） A.1 800A.1 800 B.3 600 B.3 600C.4 320C.4 320D.

38、5 040D.5 040 解析解析 4 4个音乐节目和个音乐节目和1 1个曲艺节目的排列共个曲艺节目的排列共 种种. . 两个舞蹈节目不连排，用插空法，不同的排法种两个舞蹈节目不连排，用插空法，不同的排法种 数是数是 =3 600.=3 600. B 5 5 A 2 6 5 5A A 讲解：XX32 4.4.摄影师要为摄影师要为5 5名学生和名学生和2 2位老师拍照，要求排成一排，位老师拍照，要求排成一排， 2 2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有 （） A.1 440A.1 440种种B.960B.960种种 C.720C.720种种D.480D.4

39、80种种 解析解析 2 2位老师作为一个整体与位老师作为一个整体与5 5名学生排队，相名学生排队，相 当于当于6 6个元素排在个元素排在6 6个位置，且老师不排两端，先安个位置，且老师不排两端，先安 排老师，有排老师，有 种排法，种排法，5 5名学生排在剩下的名学生排在剩下的5 5个个 位置位置, ,有有 种，所以共有种，所以共有 =960 =960种排法种排法. . B 1 4 2 2 CA 5 5 A 5 5 A 2 2 A 1 4 C 讲解：XX33 5.5.（20092009广东理，广东理，7 7）20102010年广州亚运会组委会要年广州亚运会组委会要 从小张、小赵、小李、小罗、小王

40、五名志愿者中选从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选 派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同 工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其 余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共 有有（） A.36A.36种种B.12B.12种种C.18C.18种种D.48D.48种种 解析解析 小张和小赵选派一人参加有小张和小赵选派一人参加有 =24=24种种 方案，小张和小赵都参加有方案，小张和小赵都参加有 =12=12种方案，种方案， 共有不同的选派方案共

41、有不同的选派方案24+12=3624+12=36种种. . A 3 3 1 2 1 2 ACC 2 2 2 2 2 3 AAC 讲解：XX34 6.20086.2008年北京奥运会期间，计划将年北京奥运会期间，计划将5 5名志愿者分配到名志愿者分配到 3 3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至 少分配一名志愿者的方案种数为少分配一名志愿者的方案种数为（） A.540A.540B.300B.300C.150C.150D.180D.180 解析解析 每个场馆至少一名志愿者，相当于将每个场馆至少一名志愿者，相当于将5 5人分人分 成三组，然后排列，三组的人

42、数分别为成三组，然后排列，三组的人数分别为3 3，1 1，1 1或或 2 2，2 2，1 1，这样，这样, ,分组方法共有分组方法共有 种，然后种，然后 三组进行排列，有三组进行排列，有 种种. . 所以共有所以共有 =150=150种方案种方案. . C 2 CC C 2 3 2 5 3 5 3 3 A 3 3 2 3 2 5 3 5 A) 2 CC (C 讲解：XX35 二、填空题二、填空题 7.7.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货 架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、

43、丁两种不能排在一起，不同的排法共有丁两种不能排在一起，不同的排法共有 种种. . （用数字作答）（用数字作答） 解析解析 甲、乙排在一起，用甲、乙排在一起，用“捆绑捆绑”排列，丙丁排列，丙丁 不排在一起，用插空法，不同的排法共有不排在一起，用插空法，不同的排法共有 =24=24种种. . 2424 2 3 2 2 AA2 讲解：XX36 8.8.宿舍楼内的走廊一排有宿舍楼内的走廊一排有8 8盏灯，为节约用电又不影盏灯，为节约用电又不影 响照明，要同时熄掉其中响照明，要同时熄掉其中3 3盏，但这盏，但这3 3盏灯不能相盏灯不能相 邻，则不同的熄灯方法种数为邻，则不同的熄灯方法种数为 . .（用数

44、字作答）（用数字作答） 解析解析 可以先将五盏灯排列，然后将可以先将五盏灯排列，然后将3 3盏将要熄灭盏将要熄灭 的灯分成三组插空，共有的灯分成三组插空，共有2020种不同的熄灯方法种不同的熄灯方法. . 2020 讲解：XX37 9.9.（20092009浙江理，浙江理，1616）甲、乙、丙甲、乙、丙3 3人站到共有人站到共有7 7 级的台阶上，若每级台阶最多站级的台阶上，若每级台阶最多站2 2人，同一级台阶人，同一级台阶 上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）（用数字作答）. . 解析解析 当每个台阶上各站当每个台阶上各站1 1人时

45、有人时有 种站法，种站法， 当两个人站在同一个台阶上时有当两个人站在同一个台阶上时有 种站法，种站法， 因此不同的站法种数有因此不同的站法种数有 =210+126=210+126 =336 =336（种）（种）. . 336336 3 7 3 3C A 1 6 1 7 2 3 CCC 1 6 1 7 2 3 3 7 3 3 CCCCA 讲解：XX38 三、解答题三、解答题 10.10.某医院有内科医生某医院有内科医生1212名，外科医生名，外科医生8 8名，现选派名，现选派5 5名名 参加赈灾医疗队，其中参加赈灾医疗队，其中 （1 1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共）某内科医生甲与某外

46、科医生乙必须参加，共 有多少种不同选法？有多少种不同选法？ （2 2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？）甲、乙均不能参加，有多少种选法？ （3 3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选 法？法？ （4 4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，）队中至少有一名内科医生和一名外科医生， 有几种选法？有几种选法？ 解解（1 1）只需从其他）只需从其他1818人中选人中选3 3人即可，人即可， 共有共有 =816=816（种）；（种）； 3 18 C 讲解：XX39 （2 2）只需从其他）只需从其他1818人中选人中选5 5人即可，共有人即可，共有 =8 568=8 568 （种）；（种）； （3 3）分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，）分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加， 共有共有 =6 936=6 936（种）；（种）； （4 4）方法一方法一 （直接法）至少一名内科医生一名外科（直接法）至少一名内科医生一名外科 医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二 外；四内一外，所以共有外；四内一外，所以共有 =14 656=14 656（种）（种）. . 方法二方法二（间接法）