线性空间和线性映射

1、第一节第一节 线性空间线性空间 一：一： 线性空间的定义与例子线性空间的定义与例子 定义定义 设设 是一个非空的集合，是一个非空的集合， 是一个数域，是一个数域， 在集和在集和 中定义两种代数运算中定义两种代数运算, 一种是加法运算一种是加法运算, 用用 来表示来表示; 另一种是数乘运算另一种是数乘运算, 并且并且 这两种运算满足下列八条运算律：这两种运算满足下列八条运算律： VF V 第一章第一章 线性空间和线性映射线性空间和线性映射 （1） 加法交换律加法交换律 （2） 加法结合律加法结合律 ()() （3） 零元素零元素 在在 中存在一个元素中存在一个元素 ，使得对，使得对 于任意的于任

2、意的 都有都有 0 0V V （4） 负元素负元素 对于对于 中的任意元素中的任意元素 都存都存 在一个元素在一个元素 使得使得 V 0 1 （5） ()()k lkl（6） （7） ()klkl （8） ()kkk 且这两种运算满足封闭性，则且这两种运算满足封闭性，则 称这样的称这样的 为数域为数域 上的线性空间。上的线性空间。VF 例例 1 全体实函数集合全体实函数集合 构成实数域构成实数域 上的上的 线性空间。线性空间。 R RR 例例 2 复数域复数域 上的全体上的全体 型矩阵构成型矩阵构成 的集合的集合 为为 上的线性空间。上的线性空间。 Cmn C nm C 例例 3 实数域实数域

3、 上全体次数小于上全体次数小于 的多项式集的多项式集 合合 构成实数域构成实数域 上的线性空间上的线性空间 Rn nR xR 例例 4 全体正的实数全体正的实数 在下面的加法与数乘的在下面的加法与数乘的 定义下也构成线性空间：定义下也构成线性空间： R :, :, k ababa bR kaaa kR 例例 5 实数矩阵实数矩阵 的核（或零）空间：方程组的核（或零）空间：方程组 的解空间，记为的解空间，记为 nm A )(AN 0AX ()0,(),() mmnnm nm n VxRCAxxR CARC 例例 6 矩阵矩阵 的列空间（或值域）的列空间（或值域） ： 记为记为 )(),(,)(

4、nmnmnnmm CRACRxAxyCRyV nm A )(AR 二：二： 线性空间的基本概念及其性质线性空间的基本概念及其性质 向量：线性空间的元素称为向量向量：线性空间的元素称为向量 定义定义: 线性组合；线性表出；线性相关；线性线性组合；线性表出；线性相关；线性 无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩 基本性质：基本性质： （1）含有零向量的向量组一定线性相关；）含有零向量的向量组一定线性相关； （2）整体无关）整体无关 部分无关；部分相关部分无关；部分相关 整体相整体相 关；关； （3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少）如果含有向量多的向

5、量组可以由含有向量少 的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定 线性相关；线性相关； （4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关 并不唯一；并不唯一； （5）如果向量组（）如果向量组（I）可以由向量组（）可以由向量组（II）线性表）线性表 出，那么向量组（出，那么向量组（I）的秩）的秩 向量组（向量组（II）的秩；）的秩； （6）等价的向量组秩相同。）等价的向量组秩相同。 例例 1 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中，函数组中，函数组 是一组线性无关的函数，其中是一组线性无关的函数，其中 为一为一

6、 组互不相同的实数。组互不相同的实数。 例例 2 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中，函数组中，函数组 是一组线性无关的函数，其中是一组线性无关的函数，其中 为一为一 组互不相同的实数。组互不相同的实数。 例例 3 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中，函数组中，函数组 也是线性无关的。也是线性无关的。 R R R 12 , nx xx eee 12 , n R R R 12 , n xxx 12 , n R R R 1,cos ,cos2 ,cosxxnx 例例 4 实数域实数域 上的线性空间空间上的线性空间空间 中，函数组中，函数组 与函数组与函数组 都是线性相关的函数组。都

7、是线性相关的函数组。 R R R 2 1,cos,cos2xx 22 sin ,cos ,sin,cos, sin,cos,4. nn xxxx xxn 定理定理1.1.1如果向量组如果向量组 A : a1 , a2 , am 线性无关，线性无关， 而向量组而向量组 B:a1 , a2 , am , b 线性相关线性相关, 那么向量那么向量 b 可可 由向量组由向量组 A 线性表示且表法唯一线性表示且表法唯一. 定义定义 设设 为数域为数域 上的一个线性空间。如果在上的一个线性空间。如果在 中存在中存在 个线性无关的向量个线性无关的向量 使得使得 中的任意一个向量中的任意一个向量 都可以由都可

8、以由 线性表出线性表出 则称则称 为为 的一个基底；的一个基底； 为向量为向量 在基底在基底 下的坐标。此时我们下的坐标。此时我们 称称 为一个为一个 维线性空间，记为维线性空间，记为 例例 1 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中向量组中向量组 与向量组与向量组 VF n 12 , n V 12 , n V 1122nn kkk 12 , n V 12 ( ,) T n k kk 12 , n V ndim.Vn R 3 R (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) 第二节第二节 线性空间的基底、维数与坐标变换线性空间的基底、维数与坐标变换 都是都是 的基。的基。 是是3维线性空

9、间。维线性空间。 例例 2 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中的向量组中的向量组 与向量组与向量组 都是都是 的基。的基。 是是4维线性空间。维线性空间。 例例 3 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中的向量组中的向量组 1011111 1 , 0000101 1 2 2 R 01101111 , 11110110 R 2 2 R (0,1,1),(1,0,1),(1,1,0) 3 R 3 R 2 2 R R 1 n xR 与向量组与向量组 都是都是 的基底。的基底。 维数为维数为 注意：注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯

10、一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。前，我们主要讨论有限维的线性空间。 例例 4 在在4维线性空间维线性空间 中，向量组中，向量组 2 1, , n x xx 2 1,2,(2) ,(2) n xxx 1.n 2 2 R 1 n xR 01101111 , 11110110 与向量组与向量组 是其两组基，求向量是其两组基，求向量 在这两组基下的在这两组基下的 坐标。坐标。 解：设向量解：设向量 在第一组基下的坐标

11、为在第一组基下的坐标为 1011111 1 , 0000101 1 12 34 A A 1234 (,) T x x x x 于是可得于是可得 解得解得 同样可解出在第二组基下的坐标为同样可解出在第二组基下的坐标为 12 34 120110 341111 1111 0110 xx xx 1234 7412 , 3333 xxxx 1234 1,1,1,4yyyy 由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。同的。 基变换与坐标变换基变换与坐标变换 设设 （旧的）与（旧的）与 （新的）（新的） 是是 维线性空间维线性空间 的两组基底，它们之

12、间的关系为的两组基底，它们之间的关系为 12 , n 12 , n V n 1122 1 2 12 ,1,2, iiinin i i n ni aaa a a in a 11121 21222 1212 12 , n n nn nnn aaa aaa aaa 将上式矩阵化可以得到下面的关系式：将上式矩阵化可以得到下面的关系式： 称称 阶方阵阶方阵n 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa P aaa 是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可 以写成以写成 定理：过渡矩阵定理：过渡矩阵 是可逆的。是可逆的。 1212 , n

13、n P P 任取任取 ，设，设 在两组基下的坐标分别为在两组基下的坐标分别为 与与 ，那么我们有：，那么我们有： 称上式为坐标变换公式。称上式为坐标变换公式。 例例 1 在在4维线性空间维线性空间 中，向量组中，向量组 V 12 , T n x xx 12 , T n y yy 11 22 nn xy xy P xy 2 2 R 12 34 0110 , 1111 1111 , 0110 12 34 1011 , 0000 111 1 , 101 1 与向量组与向量组 12 34 A 为其两组基，求从基为其两组基，求从基 到基到基 的的 过渡矩阵，过渡矩阵， 并求向量并求向量 在这两组基下的坐

14、标。在这两组基下的坐标。 解：容易计算出下面的矩阵表达式解：容易计算出下面的矩阵表达式 1234 , 1234 , 1234 7412 , 3333 xxxx 向量向量 第一组基下的坐标为第一组基下的坐标为 利用坐标变换公式可以求得利用坐标变换公式可以求得 在第二组基下的坐标为在第二组基下的坐标为A A 例例 2 教材教材13页例页例1.2.6 第三节第三节 线性空间的子空间线性空间的子空间 定义定义 设设 为数域为数域 上的一个上的一个 维线性空间，维线性空间， 为为 的一个非空子集合，如果对于任意的的一个非空子集合，如果对于任意的 以及任意的以及任意的 都有都有 那么我们称那么我们称 为为

15、 的一个子空间。的一个子空间。 例例 1 对于任意一个有限维线性空间对于任意一个有限维线性空间 ，它必有，它必有 两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间 FVn VW ,W , k lF klW VW V 以及线性空间以及线性空间 本身。本身。 例例 2 设设 ，那么线性方程组，那么线性方程组 的的 全部解为全部解为 维线性空间维线性空间 的一个子空间，我们称的一个子空间，我们称 其为齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组其为齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基有无穷多解时，其解空间的基底即为其基 础

16、解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个 数。数。 例例 3 设设 为为 维线性空间维线性空间 中的中的 一组向量，那么非空子集合一组向量，那么非空子集合 0V m n AR 0AX n n R 0AX 12 , s n V 12 1122 , s ssi span kkkkF 构成线性空间构成线性空间 的一个子空间，称此子空间为有限生的一个子空间，称此子空间为有限生 成子空间，称成子空间，称 为该子空间的生成元。为该子空间的生成元。 的基底即为向量组的基底即为向量组 的极大线性无关组，的极大线性无关组， 的维数即为的维数即为 向量组向量组 的秩。

17、的秩。 例例 4 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中全体上三角矩阵中全体上三角矩阵 集合，全体下三角矩阵集合，全体对称矩阵集合，全体集合，全体下三角矩阵集合，全体对称矩阵集合，全体 反对称矩阵集合分别都构成反对称矩阵集合分别都构成 的子空间，的子空间， V 12 , s 12 , s span 12 , s 12 , s span 12 , s n n R R n n R 问题：这几个子空间的基底与维数分别时什么？问题：这几个子空间的基底与维数分别时什么？ 子空间的交与和子空间的交与和 矩阵（或线性变换）的特征值与特征向量矩阵（或线性变换）的特征值与特征向量 定义定义 设设 是数域是数

18、域 上的线性空间上的线性空间 的一个线的一个线 性变换，如果对于数域性变换，如果对于数域 中任一元素中任一元素 ， 中中 都存在一个非零向量都存在一个非零向量 ，使得，使得 那么称那么称 为为 的一个特征值，而的一个特征值，而 称为称为 的的 属于特征值属于特征值 的一个特征向量。的一个特征向量。 现在设现在设 是数域是数域 上的上的 维线性空间，维线性空间， 中取定一个基中取定一个基 ，设线性变换，设线性变换 在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是 ，向量，向量 在这组基下的在这组基下的 坐标是坐标是 ， 。那么我们有。那么我们有 fFV F 0 V 0 ( )f 0 ff 0 VFn V 1

19、2 , n f A X 0 F 由此可得定理：由此可得定理： 是是 的特征值的特征值 是是 的特征值的特征值 是是 的属于的属于 的特征向量的特征向量 是是 的的 属于属于 的特征向量的特征向量 因此，只要将因此，只要将 的全部特征值求出来，它们的全部特征值求出来，它们 就是线性变换就是线性变换 的全部特征值；只要将矩阵的全部特征值；只要将矩阵 的的 属于属于 的全部特征向量求出来，分别以它们为坐的全部特征向量求出来，分别以它们为坐 标的向量就是标的向量就是 的属于的属于 的全部特征向量。的全部特征向量。 00 ( )fAXX 0 f 0 A f 0 X A 0 A fA 0 f 0 例例 1

20、 设设 是数域是数域 上的上的3维线性空间，维线性空间， 是是 上上 的一个线性变换，的一个线性变换， 在在 的一个基的一个基 下的下的 矩阵是矩阵是 求求 的全部特征值与特征向量。的全部特征值与特征向量。 解：解： 的特征多项式为的特征多项式为 VKf fV 123 , 222 214 241 A f V A 2 222 214 241 (3) (6) IA 所以所以 的特征值是的特征值是 （二重）与（二重）与 。 对于特征值对于特征值 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组 得到一个基础解系：得到一个基础解系： A36 3 (3)0IA X 210,201 TT 从而从而 的属于的属于 的极

21、大线性无关特征向量组是的极大线性无关特征向量组是 于是于是 的属于的属于 的全部特征向量是的全部特征向量是 这里这里 为数域为数域 中不全为零的数对。中不全为零的数对。 对于特征值对于特征值 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组 得到一个基础解系：得到一个基础解系： 3 f 112213 2,2 f 3 1 12212 ,kkk kK 12 ,k kK 6 ( 6)0IA X 122 T 从而从而 的属于的属于 的极大线性无关特征向量组是的极大线性无关特征向量组是 于是于是 的属于的属于 的全部特征向量的全部特征向量 这里这里 为数域为数域 中任意非零数。中任意非零数。 矩阵的相似与相似对角化

22、矩阵的相似与相似对角化 相似矩阵的性质：相似矩阵的性质： 相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征 f6 3123 22 3 ,kkK f6 kK 值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹， 有相同的谱。有相同的谱。 矩阵的特征值与特征向量的性质：矩阵的特征值与特征向量的性质： （1） 阶矩阵阶矩阵 的属于特征值的属于特征值 的全部特征向量的全部特征向量 再添上零向量，可以组成再添上零向量，可以组成 的一个子空间，称之为矩的一个子空间，称之为矩 阵阵 的属于特征值的属于特征值 的特征子空间，记为的特征子空

23、间，记为 ，不难，不难 看出看出 正是特征方程组正是特征方程组 的解空间。的解空间。 （2） 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。属于不同特征值的特征向量是线性无关的。 An 0 n R A 0 0 V 0 V 0 ()0IA X （3） 设设 是是 的的 个互不同的特征个互不同的特征 值，值， 的几何重数为的几何重数为 ， 是对是对 应于应于 的的 个线性无关的特征向量，则的所有这个线性无关的特征向量，则的所有这 些特征向量些特征向量 仍然是线性无关的。仍然是线性无关的。 （4） 任意一个特征值的几何重数不大于它的代数任意一个特征值的几何重数不大于它的代数 重数。重数。 12 , r Ar

24、 i i q 12 , i iiiq i i q 1 2 11121 21222 12 ,; ,; , r q q rrrq （5）一个特征向量不能属于不同的特征值。）一个特征向量不能属于不同的特征值。 矩阵（线性变换）的相似对角化矩阵（线性变换）的相似对角化 定义定义 数域数域 上的上的 维线性空间维线性空间 的一个线性的一个线性 变换变换 称为可以对角化的，如果称为可以对角化的，如果 中存在一个基中存在一个基 底，使得底，使得 在这个基底下的矩阵为对角矩阵。在这个基底下的矩阵为对角矩阵。 我们在我们在 中取定一个基底中取定一个基底 ，设，设 线性变换线性变换 在这个基下的矩阵为在这个基下的矩阵为 ，那么可以得，那么可以得 到下面的定理到下面的定理 定理：定理