直线的向量参数方程[重要知识]

1、1重点辅导 研究 从今天开始从今天开始, ,我们将进一步来体会向量这一工我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用具在立体几何中的应用. . 2重点辅导 。 ，使，实数对共面的充要条件是存在 与向量不共线，则向量如果两个向量 byaxp yx ,p,baba 共线向量定理共线向量定理: 复习：复习： 共面向量定理共面向量定理: 0/ a a b bab b 对空间任意两个向量 、 （），的 充要条件是存在实数 ，使 。 3重点辅导 思考思考1： 1、如何确定一个点在空间的位置？、如何确定一个点在空间的位置？ 2、在空间中给一个定点、在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），和一个定方向

2、（向量）， 能确定一条直线在空间的位置吗？能确定一条直线在空间的位置吗？ 3、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一 个平面在空间的位置吗？个平面在空间的位置吗？ 4、给一个定点和一个定方向（向量），能确定一、给一个定点和一个定方向（向量），能确定一 个平面在空间的位置吗？个平面在空间的位置吗？ 4重点辅导 O POP OPP 在空间中，我们取一定点 作为基点，那么空间中 任意一点 的位置就可以用向量来表示。我们把 向量称为点 的位置向量。 O P 一、点的位置向量一、点的位置向量 5重点辅导 a A B P 二、直线的向量参数方程二、直线的向量参数

3、方程 对于对于直线直线 l上上的任一的任一点点P, , 存在实数存在实数t使得使得 APtAB (1 ， ） OP OA ta OPxOA yOB xy 此方程称为此方程称为直线的向量参数方程。直线的向量参数方程。这这 样点样点A和向量和向量 不仅可以确定直线不仅可以确定直线 l的的 位置，还可以具体写出位置，还可以具体写出l上的任意一点。上的任意一点。 a l 6重点辅导 1 -2 321 -3ABAB例1：已知两点（， ， ），（ ， ， ），求 ， 连线与 三坐标平面的交点。 517 1 0,0) 334 4 （ ，），( 11 0AByozCyz 分析： 设连线与平面的交点为（ ， ，

4、 ）， 1OCt OAtOB 由（）得 11 11 01(1,-2,3)(2,1,-3) 0(1-23 3-6 yztt yzttt （ ， ， ）（） （ ， ， ），） 5 9OC （0， ， ） 7重点辅导 12 3212112ABPQ OPQA QBQ 练习：已知两点（， ， ），（ ， ， ），（， ， ），点 在 上运动，求当取得最小值时，点 的坐标。 ( , ,2 ),OQOP 设 2 61610QA QB 42 33 QA QB 当时，取得最小值。 4 4 8 3 3 3 Q此时（ ，） 8重点辅导 P b a O OPxayb 除除 此之外此之外, 还可以用垂直于平面的直线的

5、方向向还可以用垂直于平面的直线的方向向 量量(这个这个平面的法向量平面的法向量)表示空间中平面的位置表示空间中平面的位置. n 这样，点这样，点O与向量与向量 不仅可以确定平面不仅可以确定平面 的位的位 置，还可以具体表示出置，还可以具体表示出 内的任意一点。内的任意一点。 a b 、 三、平面的法向量三、平面的法向量 9重点辅导 A 平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在的有向线段所在 直线垂直于平面直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平，则称这个向量垂直于平 面面 ,记作记作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量. n

6、n n n 给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么那么 过点过点A,以向量以向量 为法向量的平面是为法向量的平面是 完全确定的完全确定的. n n 几点注意：几点注意： 1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都一个平面的所有法向量都 互相平行互相平行; 3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向 量量 是与平面平行或在平面是与平面平行或在平面 内，则有内，则有 0n m n m n l 10重点辅导 问题：如何求平面的法向量？ ),() 1 (zyxn 设出平面的法向量为 ),(),( )2( 222111 cbabcbaa向量的坐标 两个不共

7、线的找出（求出）平面内的 0 0 ,) 3( bn an zyx 方程组 的关于根据法向量的定义建立 个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4( 11重点辅导 (2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例2：已知求平面的 单位法向量。 nxyz 解：设平面的法向量为（ ， ， ）， (2,2,1)0(4,5,3)0, nAB nAC xyzxyz 则， （ ， ， ），（ ， ， ） 220 , 4530 xyz xyz 即 1 12 1 x z y 取，得 1 ( , 1,1), 2 n 3 | 2 n 12 2 (- 33 3 ABC求平面的单位法向量为， ，） 12重点辅导 因为

8、方向向量与法向量可以确定直线和平面的因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、平行、垂直、 夹角夹角等位置关系等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？位置关系以及它们二面角的大小吗？

9、思考思考2： 13重点辅导 线线面面平平行行 面面面面平平行行 四、平行关系：四、平行关系： 111 222 (,), (,), laa b c ua b c 设直线 的方向向量为平面 的 法向量为则 121 21 2 /00;laua abbc c 14重点辅导 五、垂直关系：五、垂直关系： 111 222 222 ,0, / abc a b cau abc 当时 111222 (,),(,),aa b cua b c 若则 121212 /,.lauakuaka bkb ckc 15重点辅导 巩固性训练1 1.设设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量的方向向量,根据下根据下 列条件列

10、条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系. ba, )3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3( )2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2( )6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 ( ba ba ba 平行平行 垂直垂直 平行平行 16重点辅导 巩固性训练2 1.设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系. vu, )4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3( )4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2( )4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 ( vu vu vu 垂直垂直 平行平

11、行 相交相交 17重点辅导 巩固性训练3 1、设平面、设平面 的法向量为的法向量为(1,2,-2),平面平面 的法向量为的法向量为 (-2,-4,k),若若 ，则，则k= ；若；若 则则 k= 。 2、已知、已知 ，且，且 的方向向量为的方向向量为(2,m,1)，平面，平面 的法向量为的法向量为(1,1/2,2),则则m= . 3、若、若 的方向向量为的方向向量为(2,1,m),平面平面 的法向量为的法向量为 (1,1/2,2),且且 ，则，则m= . / /ll l l 18重点辅导 例例3、用、用向量法向量法证明：一条直线与一个平面内两条相证明：一条直线与一个平面内两条相 交直线都垂直，则

12、该直线与此平面垂直。交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 已知：直线已知：直线m，n是平面是平面 内的任意两条相交直线，内的任意两条相交直线， 且且 ,.lm ln求证：求证： .l , , .l m na b c 解：设直线的方向向量分别为 ,0.lm lnab a b 0.a c 同理 ,m nm n且相交， p 内任一向量 可以表示为如下形式： , ,.pxbyc x yR ()0,a paxbycxa bya c .ll与 内的任一直线垂直.即 19重点辅导 直线直线l与平面与平面 所成的所成的角为角为( (0 2 ) ), ,sin a u a u ； 六、夹角：六、夹角： 20重点辅导 l m a b ml /baba / 21重点辅导 l u a /l0 uaua 22重点辅导 u v /vuvu / 23重点辅导 l a m b ml0 baba 24重点辅导 l u uaua / l a 25重点辅导