11特殊值法——教师版

1、实用文案第 11 讲特殊值法一、方法技巧特殊值法（一）定义又叫特值法， 即通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法这个特殊值必须满足无论这个量的值是多少，对最终结果所要求的量的值没有影响；（二）使用条件有些选择题或填空题，用常规方法求解比较困难，若根据已知或答案所提供信息，选择某些特殊值进行分析或计算，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往比较简单（三）专题目标通过训练，能迅速作出判断并能用特殊值法解决问题（四）解题思路标准文档实用文案1 一定要按照题目所给的具体条件取值2 所取的数值一般最大不超过5，最小不超过5这样的整数，例如11、0最常用、3 将所取的特殊

2、值代入题干直接判断或逐一代入题支判断即可得出正确答案（四）应用类型类型一已知中具体数量关系较少的问题类型二化简与求值的问题类型三恒等式问题类型四解以“不论 k 为何值时”为条件的问题类型五验证结论的正确性的问题类型六比较大小的问题类型七几何问题二、应用举例类型一已知中具体数量关系较少的问题【例题 1 】有两只相同的大桶和一只空杯子，甲桶装牛奶，乙桶装糖水先从甲桶内取出一杯牛奶倒入乙桶， 再从乙桶中取出一杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶请问此时甲桶内糖水多还是乙桶内的牛奶多？标准文档实用文案A 甲桶多B乙桶多C一样多D 无法判断【答案】 C【解析】题干全部为文字叙述，没有具体数据，可采用特值法解：令

3、甲桶牛奶量= 乙桶牛奶量 = 1L ，空杯子体积为1L ，第一次取一杯牛奶即将甲桶牛奶全部倒入乙桶，充分混合，此时乙桶内牛奶和糖水的比例为1： 1，乙桶有 2L ，甲桶 0L ，又从乙桶取一杯混合液倒入甲桶，此时甲桶溶液量= 乙桶溶液量 = 1L ，且牛奶和糖水各占一半即甲桶内糖水= 乙桶内糖水故选C【难度】一般类型二化简与求值的问题【例题 2 】已知 a 、b满足 baa2abb22 ，则4abb2aba2A 11C31B4D 24【答案】 B【解析】满足题干条件的bba b 1，a 、 的数据很多，但结果是唯一的， 所以可以对 a 、 特殊化，令a2abb231则4abb26，故选择 Ba

4、22【难度】一般类型三恒等式问题标准文档实用文案20 ，则下列式子一定成立的【例题 3 】若实数 x 、 y 、 z 满足 x z4 x y y z是（）A x yz 0B x y 2z 0C y z2x 0D z x 2y 0【答案】 D【解析】本题三个未知数，一个方程，如果不用特值法很难解答取特殊值： x 1 ， y 2 ， z3 ，满足 x z24 x y y z 0 ，A x y z 1 2 3 6 0 ,B x y 2z 1 2 2 33 0C y z 2x 2 3 2 3 0D z x 2 y 3 1 2 2 0故选择 D【难度】一般类型四解以“不论 k 为何值时”为条件的问题【例

5、题 4 】不论参数 a 取什么值， 直线 y2aax 总通过一个定点， 这个定点坐标为 （）A0,2B2,0C 2,0D0, 2【答案】 C【解析】标准文档实用文案由条件“不论参数a取什么值” ，可知 a 的取值不影响直线y 2a ax 通过定点，故简单的方法是将选项直接代入来验证将选项代入直线 y2a ax ，可以看出只有C 选项 2,0代入时恒等成立，故选 C【难度】容易类型五验证结论的正确性的问题【例题 5 】已知有理数a 、 b 满足 ab ，则下列式子正确的是（）A abB abCabD ab【答案】 C【解析】由有理数 a 、 b 满足 ab ，取 a 1 ， b 0 ，那么A ：

6、10，成立， B：10 ，成立， C：10 ，成立， D ：10，不成立，故排除D 取 a1 ， b2 ，那么A ： 12 ，不成立， B：12，不成立， C： 12 ，成立，故选C点评：特殊值法将抽象的字母换成形象的数字，使解题更为方便【难度】一般类型六比较大小的问题【例题 6 】当 m0 ， m 与1）m 的大小关系为（5标准文档实用文案A m 1 mB m 1 mC m= 1 mD无法确定555【答案】 B【解析】因为 m0 ，取 m1，则 1 m11 1m 1 m，故选 B55 ，因5 ，故5【难度】较易类型七几何问题【例题 7 】 如图，过 y 轴上任意一点 P ，作 x 轴的平行线

7、，分别与反比例函数y4和2xyAC 、 BC ，则 ABC的面的图象交于 A 点和 B 点若 C 为 x 轴上任意一点，连接x积为【答案】 3【解析】因为 P 为 y 轴上任意一点且C 为 x 轴上任意一点，本题为填空题，故选择特殊值法比较适合解：令 P 0,1， C0,0，则 A4,1 ，B 2,1 ，即AB 246， OP1标准文档实用文案SV ABC16 1 32【难度】较易三、实战演练类型一已知中具体数量关系较少的问题11 一个圆柱的半径比原来的圆柱的半径多3 倍，高是原来的，则这个圆柱的体积是原来4圆柱体积的（）A 一样多B 9倍C 3倍D4倍44【答案】 D【解析】此题若不用特殊值

8、法解答，势必要去寻找两者的数量关系，而这个数量关系还要靠字母来体现，若用特殊值法，数量关系明了，能轻松顺利的解答解：令原来的圆柱半径是1,高是 1，则体积是新圆柱半径是4 ,高是 1 ，则体积是 44则这个圆柱的体积是原来的4倍，故选 D【难度】一般2 老王前几年投资的一套艺术品市价上涨了50%，为尽快出手， 老王将该艺术品按市价的八折出售，扣除成交价5% 的交易费后，发现与买进时相比赚了7 万元问老王买进该艺术标准文档实用文案品花了多少元？A84B 42C100D 50【答案】 D【解析】本题是选择题， 已知的数量关系是百分数，因此把购入价格看作100比较快捷、 准确的解答此题解：令该艺术品

9、两年前价格为100则现在市价为 150八折售价为 1500.8=120交易费用为 120 5%=6实际售价为1206 114利润为 11410014因实际赚了7 万元，则万元= 14，故购买价格为50 万元选择 D7购买价格100点评 :本题若列方程，可设买进价格为x 万元，则 1 50%80% 1 5% 1 x 7 ，求解容易出错，这样题型特值法较好【难度】一般3 若 2x3x213xk 有一个因式为2x1 ，求 k 的值【答案】6【解析】根据大纲要求这部分知识难度已降低，因此不采用特殊值法将无从下手因式2x1 已定，标准文档实用文案故 2x3x213xk 已定，故 k 不变的，适合使用特值

10、法令 2x3x213xk 2x 1 A，把 x1代入可求得 k 62【难度】较难类型二化简与求值问题4 如果 abc 1，则111的值是（）abb1 bc c1caa1A 4B 1C 1D 不确定【答案】 C【解析】试题分析：本题已知条件只给了abc1，因此令 abc1，即可迅速得出答案试题解析：解：（方法一）令 abc1，则1111111abb1bcc1caa1333（方法二） abc1ab111b1bcc1caa1abc11abbabc1c1caa 1aaca1a1ac1acacaa1aca1a1ac1点评：显然特值法对这样条件较少，但题目很繁冗复杂的问题很快捷【难度】较难标准文档实用文案

11、5 已知【答案】【解析】11ab1 ，则的值为 _a1b11因为 ab1 ，所以令 ab 1 ，原式111，即11值为 122a 1b1点评：由于选择题、填空题不需要写出解题的过程，只要求出正确答案即可，解答选择题，填空题时运用特殊值法能提高解题的速度和准确性【难度】较易6 若 a1 ，则 3 3 a3 的最后结果是（）A 3 aB 3 aC 3 aD a 3【答案】 B【解析】本题若用常规的方法应根据a1，先讨论 a3 的正负，进而讨论3a3 的正负，最后得出最终答案，相比较选择题中此题特值法比较好用解：（法一） a 1，故 a340 ，即 a33a 3 a 3a ，则 3 3 a 33a（

12、法二）由于 a1，故令 a2，则3 3a333231故选B【难度】一般标准文档实用文案7 已知一次函数ya2 x 1的图像不经过第三象限，则化简a24a 496aa2的结果是（）A 1B 1C 2a 5D 5 2a【答案】 D【解析】我们不妨从已知，即一次函数ya2 x1的图像不经过第三象限这一条件入手，因为ya2 x1的图像必经过0,1 这点，而经过0,1 这点的图像要想不经过第三象限，只有当 a20 ，即 a2 ，我们取 a0 代入即可得到答案解：一次函数 ya2 x1的图像不经过第三象限a20 ，即 a2取 a 0代入 a24a 4 9 6a a24 9235，显然答案 A、B 错，答案

13、 C 为 2a5，由 a0 ，故 2a55，故 C错答案D为52a，由 a0，故 52a5 ，故 D 正确故选择 D【难度】一般类型三恒等式问题3228 若2 xa bx cx2dx3，求 a cb d 的值【答案】 1标准文档实用文案【解析】对于恒等式问题，当等式中的的字母取使等式有意义的任何一个特殊值时，等式都成立， 根据恒等式这个性质，可以用特殊值法求恒等式中参数的值令 x1 时，321abcd3令 x1 时，21abcd所以 a c2b d2a c b d a c b d232132121311【难度】较难类型四解以“不论 k 为何值时”为条件的问题9 求证：不论 k 为何值时，一次函

14、数2k1 xk3 yk110 的图像恒过一定点【答案】证明：条件为不论k 为何值时，故可取特殊值令 k0 时，x 3 y110 令 k1 时， x4 y10 0把 、 联立成方程组x 3y110x24 y100解得：3xy当 x2 ， y3 时， 2k 1 x k 3 yk 11 0 成立所以不论 k 为何值时，一次函数的图像恒过定点2,3【解析】因为条件为“不论k 为何值时”，即定义范围内的所有数值都会使图象经过定点，故取两个标准文档实用文案数值即可确定这个定点证明：条件为不论 k 为何值时，故可取特殊值令 k0 时，x 3 y110 令 k1 时， x4 y10 0把 、 联立成方程组x

15、3y110x24 y100解得：3xy当 x2 ， y3 时， 2k 1 x k 3 yk 11 0 成立所以不论 k 为何值时，一次函数的图像恒过定点2,3点评：解决以“不论k 为何值时或 k 为任意实数时”为条件的问题，可以取特殊值法，探求出定点，然后加以验证即可【难度】较难10 若点 A a,b 在第一象限，则点Ba,b2 在（）A 第一象限B第二象限C第三象限D 第四象限【答案】 B【解析】按题目要求取A 1,1 ，即 a1 ， b1，则a1 ， b2123 ，故 B 点为1,3显而易见在第二象限故选B【难度】容易标准文档实用文案11 当 2 m1时，点 P 3m 2， m 1在第（）

16、象限3A 一B 二C 三D 四【答案】 D【解析】由于数学选择题的唯一性，因此取满足条件2 m1的特殊值 m5，通过计算点P 的坐36标为1， 1，在第四象限内，故选D 26【难度】较易12 二次函数 y ax2c a 0 ，若当 x 取 x1 、 x2 时函数值相等，当x 取 x1x2 时函数值等于 _【答案】 c【解析】本题在解答时需根据二次函数图像的特点，二次函数y ax2c 的对称轴为 y 轴，则可得x1 x20 ，从而得 x1 x20时，取 x 0 代入 yax 2c 中得 y c2【难度】一般类型五验证结论的正确性问题13 “如果两个三角形的三个内角与三条边六个元素中有五个元素分别

17、相等，那么这两个三角形一定全等” ，这个命题正确吗？说明理由标准文档实用文案【答案】不正确【解析】两个三角形的三边长分别取特殊值为8、 12、 18或12 、18、 27因为 81218 ，所以两个三角形相似，所以两个三角形三个内角分别相等，又有两条121827边分别相等，即五个元素相等，但这两个三角形不全等，所以这个命题是假命题点评：要想说明一个命题是假命题，只需举出一个符合条件但不符合结论的特殊值反例即可【难度】较易14 如果 x 、 y 、 z 是不全相等的实数，且ax2yz ， by2zx ， cz2xy ，则下列结论正确的是（）A a 、 b 、 c 都不小于 0B a 、 b 、

18、c 都不大于 0Ca 、 b 、 c 至少一个小于0D a 、 b 、 c 至少一个大于0【答案】 D【解析】本题若不用特值法将无从下手，x 、 y、 z是不全相等的实数，可取范围较大，故令 x1， y1， z1，则 a2， b0 ， c2 ，排除 B、 C故令 x1， y1， z2，则 a3， b1， c5 ，排除 A故选 D【难度】较难标准文档实用文案15 如果方程y q y 有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是（）A q0B q 1C 0 q 1D q 1444【答案】 B【解析】此题直接解比较困难，可采用特值法，由选项可知q 的取值将实数分为三部分，即q0 、0 q 1 、 q 1

19、 ，故可取三个特殊值来验证44令 q1 ，yqy 变形得 y2y10 ，50，有两个不相等的实数根令 q1，yqy 变形得 5y25y10 ，50 ，有两个不相等的实数根5令 q1，yqy 变形得 y2y10，30 ，没有实数根故排除 D ，选择 B【难度】较难类型六比较大小问题16 若 x0 ， y0 ，且 x y ，则 xy0 若 x0 ，y0 ，且 x y ，则 xy0 【答案】，【解析】因为 x0 ， y0 ，且 x y ，所以设 x1 ， y2 ，则 121 ，所以 xy0标准文档实用文案因为 x0 ， y0 ，且 x y ，所以设 x2 ， y1 ，则 2+1=3，所以 xy0点评：此题若不用特殊值法，就要考虑绝对值的性质，会显得繁琐，现在用特殊值法，会使表达更清晰直观【难度】一般17 如图，数轴上的点A 、 B 分别对应实数a 、 b ，下列结论中正确的是（）A abB a bCabD ab0【答案】 C【解析】根据数轴确定出a 、 b 的正负情况以及绝对