随机过程泊松过程

1、 任意不相交时间间隔上的增量都是相互独立的 任意相等时间间隔上的增量都是同分布的 一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程； 由法国著名数学家泊松证明； 1943年帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了泊松过程， 辛钦于50年代在服务系统的研究中进一步发展； 是具有连续时间参数和离散状态空间的一类随机过程； 在金融和保险领域中广泛应用，如证券价格波动。 等价定义 数字特征 数字特征 证明： 数字特征 证明： 数字特征 证明： 到达时刻与时间间隔序列 时间间隔的分布 证明： 证明(续)： 独立增量 时间间隔的分布 证明： 时间间隔的分布 到达时刻的分布 证明： 泊松过程的等价定义 泊松过程的等

2、价定义 证明： (1)独立平稳增量性 泊松过程的等价定义 证明：(2)过程服从泊松分布 到达时刻的条件分布 证明： 到达时刻的条件分布 说明说明: : 问题问题: : 到达时刻序列的联合条件分布 证明： 到达时刻序列的联合条件分布 到达时刻序列的联合条件分布 泊松过程与均匀分布 泊松过程与均匀分布 证明： 泊松过程与均匀分布 证明： 泊松过程与均匀分布 证明： 泊松过程与均匀分布 证明： 解： 解： 证明： 解： 解： 随机过程 齐次Poisson过程，其强度为一常数，意味着在不同的 时刻，事件发生的速率都是一个恒定值。 而实际中，事件发生的速率可能会因时而变。 比如，公交车站到达的乘客流，早

3、晚高峰期的速率明显比 其他时段要大；研究某地发生地震的次数，夏秋季的速率也 会比冬春季的高。 因此，为了描述这些现象，将齐次Poisson过程推广到非 齐次Poisson过程。 证明： 增量分布证明 证明(续1）： 增量分布证明 证明(续2）： 增量分布证明 例：某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按 平均乘客为200人/小时计算；5时至8时乘客平均到达率线性增加，8时到 达率为1400人/小时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时到达率 线性下降，到21时为200人/小时，假定乘客数在不重叠的区间内是相互独 立的，求12时至14时有2000人乘车的概率，并求

4、这两个小时内来站乘车人 数的数学期望。 解： 增量分布例题 随机过程 证明： 独立平稳增量证明 (a)独立增量性 (b)平稳增量性 证明： 特征函数证明 证明： 数字特征证明 解： 例题 随机过程 0t 概率分布 证明： 概率分布证明 0 概率分布 证明： 概率分布证明 证明： 概率分布证明 0t 证明： 概率分布证明 0t 证明： 概率分布证明 0t 证明： 概率分布证明 证明： 概率分布证明 泊松过程判定定理 证明： 泊松过程判定定理证明 随机过程 性质1：有限时间有限次更新 证明： 解： 解（续1）： 解（续2）： 证明：（1） 更新函数性质1 证明：(2) 更新函数性质2 证明：(3)

5、 更新函数性质3 定义 性质1：更新函数满足更新方程 证明： 性质1：更新函数满足更新方程 性质2：更新函数与分布函数一一对应 更新方程的解 证明：(1) (1)解的有界性解的有界性 更新方程的解 证明：(3) (3)解解的唯一性的唯一性 更新方程的解 极限定理 证明： 极限定理 证明： 极限定理 证明： 极限定理 证明： 极限定理 停时（Stopping Time） Wald等式 证明： Wald等式 ()+1为停 时 证明： 0 ()+1为停 时 证明（续）： 为一个更新方程，其解为: ()+1为停 时 基本更新定理 证明： 有： 基本更新定理 证明： 基本更新定理 格点随机变量 Blac

6、kwell定理 直接黎曼可积 关键更新定理 证明： 关键更新定理与Blackwell定理的等价性 证明： 关键更新定理与Blackwell定理的等价性 剩余寿命的极限分布 剩余寿命的极限分布 年龄的极限分布 0 可见年龄的极限分布与寿命的极限分布相同。 当过程的时间持续很长时，可倒过来观察此过程。 交错更新过程的极限分布 交错更新过程的极限分布 证明： 交错更新过程的极限分布 交错更新过程的极限分布 交错更新过程的极限分布 更新报酬过程的极限分布 更新报酬过程的极限分布 证明： 更新报酬过程的极限分布 (a) 证明： 更新报酬过程的极限分布 (b) 证明(续)： 更新报酬过程的极限分布 (b) 更新报酬过程的极限分布 更新报酬过程的极限分布 解(续1)： 更新报酬过程的极限分布 更新报