山东省郯城县郯城街道初级中学高中数学人教必修四向量数乘运算及其几何意义课件

1、 1.1.向量加法三角形法则向量加法三角形法则: : a A b B C ba a a A b B b O C ba 特点特点:首尾相接首尾相接 特点特点:共起点共起点 b a b B a A BAab 2.2.向量加法平行四边形法则向量加法平行四边形法则: : 3.3.向量减法三角形法则向量减法三角形法则: : O 特点：特点：共起点，连终点，方向指向被减数共起点，连终点，方向指向被减数 思考题思考题1:已知向量已知向量 如何作出如何作出 和和 a, aaa ( a)( a)( a)? a O A a B a C a NM QP a a a OC OA AB BC a a a 记记:aaa3

2、a 即即:OC3a. 同理可得同理可得: PN( a)( a)( a)3a 思考题思考题2: 向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系? 向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系? 3a a a 3a (1)向量向量 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同, 向量向量 的长度是的长度是 的的3倍倍,即即 3a a a 3a 3a3 a . (2)向量向量 的方向与的方向与 的方向相反的方向相反, 向量向量 的长度是的长度是 的的3倍倍,即即 3a a 3a a 3a3 a . 一、实数与向量的积的定义：一、实数与向量的积的定义： 如下：，它的长度和方向规定 的积是一个向量，记作与向量实

3、数 a a aa 1 的方向相同；的方向与时，当aa 02 的方向相反；的方向与时，当aa 0 . 0 00 aa时，或当特别地， 是无意义的 ，但不可以作加减法，即 ，可以作积，与向量实数 a a a 注意：注意： 二、实数与向量的积的运算律：二、实数与向量的积的运算律： aa )()( ?6)2(3aa a 2 )2( 3a a 6 a aaa )( a 5 a 2a 3 ?32) 32(aaa a 二、实数与向量的积的运算律：二、实数与向量的积的运算律： ?222baba a b a b a2 b2 ba ba22 baba )( 二、实数与向量的积的运算律：二、实数与向量的积的运算律：

4、 任意实数，则有： 为、为任意向量，设ba , baba aaa aa )( (3) )( (2) )()( (1) 二、实数与向量的积的运算律：二、实数与向量的积的运算律： )2(3)3(2 )3( )2()3( )2( 43)( (1) cbacba ababa a 12a 5b 52abc 注注：向量与实数之间可以像多项式：向量与实数之间可以像多项式 一样进行运算一样进行运算. 例例1：计算题计算题 )0( . 1 aaa有何关系？与 是共线向量吗？，那么如果baab ,. 2 ？那么是共线向量，与如果abba 3. 想一想：想一想： 2) 可以是零向量吗可以是零向量吗? 思考思考:1)

5、 为什么要是非零向量为什么要是非零向量? 三、共线向量基本定理：三、共线向量基本定理： 向量向量 与非零向量与非零向量 共线共线当且仅当当且仅当 有唯一一个实数有唯一一个实数 ，使得，使得 ab ab a b 定理的应用定理的应用: (1)有关向量共线问题有关向量共线问题: BCAB33 BCAB 3 AC3 DEADAE 解：解： 与与 共线共线 ACAE 例例2:如图：已知如图：已知 试判断试判断 与与 是否共线是否共线 ACAE ， 3 3BCDEABAD A B C D E )0(三点共线、CBABCBCAB (2)证明三点共线的问题证明三点共线的问题: 定理的应用定理的应用: (1)

6、有关向量共线问题有关向量共线问题: 例例3：设：设a，b是两个不共线的向量，是两个不共线的向量， 求证：求证：A，B，D三点共线三点共线. 证明：证明： 又它们有公共点又它们有公共点B A,B,D三点共线三点共线 ba baba CDBCBD 5 382 AB5 ABBD/ ， 3 82 baCDbaBCbaAB (2)证明三点共线的问题证明三点共线的问题: 定理的应用定理的应用: (1)有关向量共线问题有关向量共线问题: / / CDAB CDAB CDABCDAB 直线直线 不在同一直线上与 (3)证明两直线平行的问题证明两直线平行的问题: )0(三点共线、CBABCBCAB 解：解： 例例4:在四边形在四边形ABCD中，中， 求证：四边形求证：四边形ABCD为梯形为梯形 ， 2baAB ， 35 4baCDbaBC 28ba CDBCABAD BC2 BCAD直线直线/ BCAD/ 不在同一直线上与CDAB 所以四边形所以四边形ABCD为梯形为梯形 练习练习 035 ,. 4 bxax bax 解方程 为不共线向量，为未知向量，设 小结小结 1.1.向量数乘的定义向量数乘的定义 3.3.向量共线基本定理向量共线