全微分教学课件

全微分全微分在第二章我们已经学习了一元函数y=f(x)微分的概念，现在用类似的思想和方法，通过多元函数的全增量，把一元函数微分的概念推广到多元函数.在研究多元函数的偏导数时，只是某一个自变量变化，而其他的自变量视为常量，但在实际问题中，往往是几个自变量同时在变动，下面我们就来研究多元函数各个自变量同时变化时函数的变化情形.以二元函数为例，为此，我们引入二元函数全微分的概念.一、全微分的概念

一般来说，计算函数的全增量是比较麻烦和复杂的，能否找到一个计算简单且准确度较高的近似表达式呢？请看二元函数的全微分概念.一、全微分的概念定义9设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域有定义，如果函数在(x0,y0)处的全增量Δz可以表示成

Δz=AΔx+BΔy+α，(8-12)

其中A,B与Δx,Δy无关仅与x0,y0有关，α是ρ=(Δx)2+(Δy)2的高阶无穷小，即

则称AΔx+BΔy为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分，记为dz，即

dz=AΔx+BΔy，(8-13)

这时也称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微.一、全微分的概念如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都可微，则称函数z=f(x,y)在区域D内是可微的.在第二章的学习中，我们知道了一元函数连续、可导与可微三者之间的关系，那么，对于二元函数连续、可导与可微三者之间的关系又如何呢？在第二节我们知道了函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数存在，不能保证函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续，若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微能否保证函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续且偏导数存在呢？一、全微分的概念定理6如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.证由函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，可得即函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.一、全微分的概念定理6也告诉我们，如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处不连续，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处一定不可微.连续是可微的必要条件.上面讨论了可微与连续的关系，下面来分析二元函数可微与偏导数存在的关系.如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，如何求A，B呢？一、全微分的概念定理7一、全微分的概念上面两式的右端我们分别称其为二元函数z=f(x,y)对x和对y的偏微分.(8-15)(8-14)一、全微分的概念定理8(可微的充分条件)如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数

连续，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微.证明略.常见的二元函数一般都满足定理3的条件，从而它们都是可微函数.二元函数全微分的概念可以推广到三元及其以上的函数.例如，设三元函数u=f(x,y,z)，如果三个偏导数

都连续，则它可微且其全微分为(8-16)一、全微分的概念【例31】二、全微分形式的不变性设函数z=f(u,v)具有连续的一阶偏导数，则有全微分如果u,v又是x,y的函数u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)，且两个函数也具有连续的一阶偏导数，则复合函数

z=f［φ(x,y),ψ(x,y)］的全微分为二、全微分形式的不变性又因为由此可见，无论u,v是自变量还是中间变量，全微分形式都是一样的.这个性质就是全微分形式的不变性.利用全微分形式的不变性可以降低复合函数求导的难度，在第十章学习微分方程知识时还要用到.二、全微分形式的不变性【例32】三、全微分在近似计算中的应用与一元函数类似，当ρ→0时，二元函数z=f(x,y)的全增量与全微分之差是ρ的高阶无穷小.由二元函数z=f(x,y)的全微分定义和全微分存在的充分条件可知，当二元函数z=f(x,y)在点P(x,y)的两个偏导数f′x(x,y),f′y(x,y)连续，并且|Δx|和|Δy|都较小时，就有如下的近似计算公式Δz≈dz=f′x(x,y)Δx+f′y(x,y)Δy.(8-17)如果所考虑的是点(x0,y0)，则有Δz≈f′x(x0,y0)Δx+f′y(x0,y0)Δy，(8-18)

这是求全增量的近似表达式.三、全微分在近似计算中的应用式(8-18)也可以写成

f(x0+Δx,y0+Δy)≈f(x0,y0)+f′x(x0,y0)Δx+f′y(x0,y0)Δy.(8-19)令x=x0+Δx,y=y0+Δy，得函数值的近似公式

f(x,y)≈f(x0,y0)+f′x(x0,y0)(x－x0)+f′y(x0,y0)(y－y0).(8-20)利用式(8-18)和式(8-20)可以对二元函数做近似计算和误差估计.三、全微分在近似计算中的应用【例33】