医科数学第五章 微分方程

1、第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 第五章第五章 微分方程微分方程 例例 一一曲曲线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点 ),(yxM处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2, 求求 这这曲曲线线的的方方 程程. 解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为 x dx dy 2 xdxy2 2,1 yx时时其中其中 , 2 Cxy 即即, 1 C求求得得 .1 2 xy所求曲线方程为所求曲线方程为 一、微分方程的定义一、微分方程的定义 1 1 问题的提出问题的提出 解解 )(,tssst 米米秒钟行驶秒钟行驶设制动后设制动后 4 . 0 2 2 dt sd ,

2、20, 0,0 dt ds vst时时 1 4 . 0Ct dt ds v 21 2 2 . 0CtCts 代入条件后知代入条件后知0,20 21 CC ,202 . 0 2 tts ,204 . 0 t dt ds v 故故 ),(50 4 . 0 20 秒秒 t 列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了 ).(5005020502 . 0 2 米米 s 开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需 (1)(1)微分方程的定义微分方程的定义 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程. . 例例,xyy , 0)( 2 xdxdtxt ,

3、32 x eyyy , yx x z 实质实质 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的 某些导数某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. . 2 微分方程的定义与分类微分方程的定义与分类 微分方程的阶微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶. . 分类分类1 1 常微分方程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. . , 0),( y yxF一阶微分方程一阶微分方程);,(yxfy 高阶高阶( (n) )微分方程微分方程 , 0),( )( n yyyx

4、F ).,( )1()( nn yyyxfy 分类分类2 2 (2) (2) 微分方程的分类微分方程的分类 分类分类3 3 线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程. . ),()(xQyxPy ; 02)( 2 xyyyx 分类分类4 4 单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组. . ,2 ,23 zy dx dz zy dx dy 微分方程的解微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为 该方程的解该方程的解. . ,)(阶导数阶导数上有上有在区间在区间设设nIxy . 0)(,),(),(,( )( xxxxF n 微分方程

5、的解的分类微分方程的解的分类 二、微分方程的解二、微分方程的解 (1)(1)通解通解 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同. . (2)(2)特解特解 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. . , yy 例例; x Cey 通解通解 , 0 yy;cossin 21 xCxCy 通解通解 解的图象解的图象 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. . 通解的图象通解的图象 积分曲线族积分曲线族. . 初始条件初始条件 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. . 过定点的积

6、分曲线过定点的积分曲线; 0 0 ),( yy yxfy xx 一阶一阶 二阶二阶 00 00 , ),( yyyy yyxfy xxxx 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. . 例例 验验证证:函函数数ktCktCxsincos 21 是是微微分分 方方程程0 2 2 2 xk dt xd 的的解解. 并并 求求 满满足足初初始始条条件件 0, 0 0 t t dt dx Ax的的特特解解. 解解 ,cossin 21 ktkCktkC dt dx ,si

7、ncos 2 2 1 2 2 2 ktCkktCk dt xd , 2 2 的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将x dt xd . 0)sincos()sincos( 21 2 21 2 ktCktCkktCktCk .sincos 21 是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx , 0, 0 0 t t dt dx Ax. 0, 21 CAC 所求特解为所求特解为.cosktAx 微分方程的初等解法微分方程的初等解法 初等积分法初等积分法. . 求解微分方程求解微分方程求积分求积分 (通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来) ; 02)()1( 2 xyyyx

8、 :1阶阶数数说说出出下下列列各各微微分分方方程程的的 .0)( 2 2121 21 21 的的解解 是是否否为为所所给给微微分分方方程程指指出出函函数数 yyy eCeCy xx ; 0)2( 2 yyxyx 第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 一、可分离变量的微分方程的求解一、可分离变量的微分方程的求解 dxxfdyyg)()( 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. . 5 4 2 2yx dx dy 例如例如,2 2 5 4 dxxdyy 解法解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的, dxxfdyyg)()( 设设函函数数)(yG和和)(xF是是依

9、依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函 数数,CxFyG )()( 为微分方程的解为微分方程的解. 分离变量法分离变量法 1 分离变量法分离变量法 例例 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xy dx dy 解解分离变量分离变量,2xdx y dy 两端积分两端积分 ,2 xdx y dy 1 2 lnCxy . 2 为所求通解为所求通解 x Cey 2 2 典型例题典型例题 .0)()(通解通解求方程求方程 xdyxygydxxyf ,xyu 令令,ydxxdydu 则则 , 0)()( x ydxdu xugydxuf , 0)()()( duugdx x u uguf , 0 )

10、()( )( du ugufu ug x dx . )()( )( |lnCdu ugufu ug x 通解为通解为 解解 例例 例例 衰衰变变问问题题:衰衰变变速速度度与与未未衰衰变变原原子子含含量量M成成正正比比, 已已知知 00 MM t , 求求 衰衰变变过过程程中中铀铀含含量量)(tM随随时时间间 t变变化化的的规规律律. 解解, dt dM 衰变速度衰变速度由题设条件由题设条件 )0(衰变系数衰变系数 M dt dM dt M dM , dt M dM 00 MM t 代代入入 ,lnlnCtM , t CeM 即即 0 0 CeM 得得,C t eMM 0 衰变规律衰变规律 )(

11、 x y f dx dy 形如形如的微分方程的微分方程. . (2)(2)解法解法, x y u 作变量代换作变量代换,xuy 即即 代入原式代入原式 , dx du xu dx dy ),(uf dx du xu . )( x uuf dx du 即即可分离变量的方程可分离变量的方程 (1) (1) 两种特殊可分离变量方程两种特殊可分离变量方程 ,0)(时时当当 uuf,ln )( 1x C uuf du 得得 , )(u Cex 即即 ）（ uuf du u )( )( ,代入代入将将 x y u , )( x y Cex 得得通通解解 , 0 u 当当, 0)( 00 uuf使使, 0是

12、新方程的解 是新方程的解则则uu ,代回原方程代回原方程. 0 xuy 得齐次方程的解得齐次方程的解 例例 求解微分方程求解微分方程 . 0cos)cos( dy x y xdx x y yx ，令令 x y u ，则则udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx ,cos x dx udu ,lnsinCxu .lnsinCx x y 微分方程的解为微分方程的解为 解解 22 2 2 yxyx xyy dx dy , 1 2 2 2 x y x y x y x y , x y u 令令,udxxdudy 则则 , 1 2 2 2 uu uu uxu . 2 22

13、2 xyy dy yxyx dx 例例 求解微分方程求解微分方程 解解 ,lnlnln 2 1 )2ln( 2 3 )1ln(Cxuuu . )2( 1 2 3 Cx uu u 微分方程的解为微分方程的解为.)2()( 32 xyCyxy , 1 1 2 2 ) 1 2 1 ( 2 1 x dx du uuuu () dy f axby dx 解法：解法： (2)(2)形如形如 的方程的方程 ,byaxz 令令 ),( 1 a dx dz bdx dy 1 ()( ) dz af z b dx 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. ( ) dz dx abf z 2 () dy xy d

14、x 解解 ,uyx 令令1 dx du dx dy 代入原方程代入原方程 2 1u dx du ,arctanCxu 解得解得 得得代回代回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy 例：求方程例：求方程 的通解。的通解。 ; 0)1( 22 xyyyx 解解, 0 1 22 xy xx y y ,0时时当当 x, x y u 令令,xuy 则则, dx du xu dx dy ,代入原方程代入原方程, 01 2 u dx du x得得 , 1 2 x dx u du 求下列方程的通解求下列方程的通解 两边积分，两边积分， ,lnln2)ln( l

15、nln)1ln( 22 2 Cxxyy Cxuu 或或 得得 , 222 Cxxyy 即即 ,0时时当当 x原方程可化为原方程可化为 , 01 2 u dx du x 可求得可求得同样同样, ,lnln)1ln( 2 Cxuu . 222 Cxxyy 即即 . 222 Cxxyy 故所求通解为故所求通解为 ; 03)()2( 233 dyxydxyx 解解 , 3 1 )( 3 1 2 x y y x dx dy ,u x y 令令,xuy , dx du xu dx dy 代入原方程，代入原方程，, 3 1 ) 1 ( 3 1 2 u udx du xu 得得, 21 3 3 2 x dx

16、du u u ,两边积分两边积分 .lnln)(21ln 2 1 lnln21ln 2 1 3 3 Cx x y Cxu 或或 得得 第三节第三节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 )()(xQyxP dx dy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式 , 0)( xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的. 上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的., 0)( xQ当当 例如例如, 2 xy dx dy ,sin 2 ttx dt dx , 32 xyyy, 1cos yy 线性的线性的; 非线性的非线性的. . 0)( yxP dx dy ,)(dxxP y dy ,)( dxxP

17、 y dy ,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为. )( dxxP Cey (1) 线性齐次方程线性齐次方程 一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法 (使用分离变量法使用分离变量法) (2) 线性非齐次方程线性非齐次方程 ).()(xQyxP dx dy 讨论讨论,)( )( dxxP y xQ y dy 两边积分两边积分 ,)( )( ln dxxPdx y xQ y ),( )( xvdx y xQ 为为设设 ,)()(ln dxxPxvy . )()( dxxPxv eey即即 非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比)(x

18、uC 常数变易法常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. . 实质实质 未知函数的变量代换未知函数的变量代换. ),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数 作变换作变换 dxxP exuy )( )( ,)()()( )()( dxxPdxxP exPxuexuy 代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()( )( CdxexQxu dxxP ),()( )( xQexu dxxP 积分得积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为 dxxPdxxP eCdxexQy )()( )( dxexQeCe dxxPdxxPdxxP )()()( )( 对应齐次对应齐次 方程通解方程通解 非齐次方程特解非齐次方程特解 . sin1 的通解的通解求方程求方程 x x y x y , 1 )( x xP , sin )( x x xQ Cdxe x x ey dx x dx x 11 sin Cdxe x x e xxlnln sin Cxdx x sin 1 .cos 1 Cx x 解解 例例 例例 .)1( 1 2 2 5 的通解的通解求方程求方程 x x y dx dy 解解 .这是非齐次线性方程这是非齐次线性方程.通解通解先求对应的齐