矩阵特征值与特征向量的计算

1、n在科学技术的应用领域中，许多问题都归为求 解一个特征系统。 n如动力学系统和结构系统中的振动问题，求系 统的频率与振型； n物理学中的某些临界值的确定等等。 引言 引言 定义定义1 设矩阵设矩阵A, B R n n，若有可逆阵若有可逆阵P，使使 则称则称A与与B相似相似。 1 BPA P - = 定理定理1 若矩阵若矩阵A, B R n n且相似且相似，则则 （1）A与与B的特征值完全相同的特征值完全相同； （2）若若x是是B的特征向量的特征向量，则则Px便为便为A的特征向量的特征向量。 引言 定理定理2： 设设A R n n具有完全的特征向量系，即存在具有完全的特征向量系，即存在n个个线性

2、无关线性无关 1 2 1 n PA PD l l l - 轾 犏 犏 犏 = 犏 犏 犏 犏 犏 臌 O 其中其中 i为为A的特征值的特征值，P的各列为相应于的各列为相应于 i的特征向量的特征向量。 的特征向量构成的特征向量构成Rn的一组基底的一组基底，则经相似变换可化则经相似变换可化A为为 对角阵，即有可逆阵对角阵，即有可逆阵P，使使 定理定理3 ：A R n n， 1, , n为为A的特征值的特征值，则则 n i i n i ii aAtr 11 )( （2）A的的行列式值行列式值等于全体特征值之积，即等于全体特征值之积，即 n A 21 )det( （1）A的的迹迹数等于特征值之和，即数

3、等于特征值之和，即 定理定理4 设设A R n n为对称矩阵为对称矩阵，其特征值其特征值 1 2 n，则则 （1）对任意对任意A R n，x0， 1 (, ) ( , ) n A x x x x ll 0 (, ) m i n ( , ) n x A x x x x l = （2） 1 0 (, ) m ax ( , )x A x x x x l = （3） 其中其中 称为关于称为关于 x 的的 Rayleigh（雷利） 商。 (, ) ( ) ( , ) A x x R x x x = 定理定理5 （圆盘定理圆盘定理） 设设A R n n，则则 1 ,1,2, n iiij j j i za

4、ain = -= L 表示以表示以aii为中心为中心，以以 半径为的复平面上的半径为的复平面上的n个圆盘个圆盘。 1 n ij j j i a = （2）如果矩阵如果矩阵A的的m个圆盘组成的并集个圆盘组成的并集S（连通的连通的）与其余与其余 （1）A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中， n m个圆盘不连接个圆盘不连接，则则S内恰包含内恰包含m个个A的特征值的特征值。 n例1 设有 估计A的特征值的范 围。 解：由圆盘定理： D1为弧立圆盘且包含A的一个实特征值1（因为虚根成 对出现的原理），则315。而2、3D2D3，则 410 101 114 A 轾 犏

5、 犏 =- 犏 犏 犏 - 臌 123 :41;:02;:42DzDzDz-+ ( )m ax6. 3( )6. i A A rl r = 3.1 3.1 乘幂法与反幂法乘幂法与反幂法 3.1.1 乘幂法乘幂法 x (K+2) 定理定理6 设设A Rn n有完全特征向量系有完全特征向量系，若若 1, 2, n为为A的的n个特征值且满足个特征值且满足 12n lll吵L 对任取初始向量对任取初始向量x(0) Rn，对乘幂公式对乘幂公式 ( )(1)kk xA x - = 确定的迭代序列确定的迭代序列xk，有下述结论有下述结论： （1）当当 时时，对对i = 1, 2, , n 12 ll (1)

6、 1 ( ) lim k i k k i x x l + = 收敛速度取决于收敛速度取决于 的程度的程度，r 1收敛快收敛快，r 1收敛慢收敛慢， 2 1 1r l l = 且且x(k)（当当k充分大时充分大时）为相应于为相应于 1的特征向量的近似值的特征向量的近似值。 321 （2）当当 时时 a）若若 1 = 2，则主特征值则主特征值 1及相应特征向量的求法同及相应特征向量的求法同（1）；）； (2) 2 1 ( ) l i m k i k k i x x l + = 收敛速度取决于收敛速度取决于 的程度的程度。向量向量 、 3 1 1r l l =(1)( ) 1 kk xxl + +

7、c）若）若 ，则连续迭代两次则连续迭代两次，计算出计算出x(k+1)，x(k+2)，21 ll= (2)(1)( ) 0 kkk jjj xpxqx + += (1)( ) 1 kk xxl + -分别为主特征值分别为主特征值 1、 2相应的特征向量的近似值相应的特征向量的近似值。 然后对然后对j = 1, 2, , n 解方程解方程 b）若若 1 = - 2，对，对i = 1, 2, , n 求出求出 、 后后，由公式由公式pq ( ) 2 1 22 pp i ql= -+- ( ) 2 2 22 pp i ql= - 解出主特征值解出主特征值 1、 2。此时收敛速度取决于此时收敛速度取决于

8、 的程度的程度。 3 1 1r l l =吵L 则对任初始向量则对任初始向量x(0)，由规范化的乘幂法公式确定的向量序列由规范化的乘幂法公式确定的向量序列 ( ) 1 l i m m ax() k k xl= (1) (2) y(k)为相应于主特征值为相应于主特征值 1的特征向量近似值的特征向量近似值 ( ) 111 1 ,() k yvA vvl= 的的n个特征值个特征值，且满足且满足 y(k)，x(k)满足满足 n例2 用规范化乘幂法计算矩阵A的主特征值及 相应特征向量 201 0135 0144 A 若若 A 有有| 1 | | 2 | | n |，则，则 A 1 有有 1 1 1 11

9、 nn A 1 的主特征根的主特征根 A的绝对值最小的特征根的绝对值最小的特征根 (1)( )kk A xx + = (1)1 ( )kk xAx +- = 如何计算如何计算 解线性方程组解线性方程组 对应同样一组特征向量。对应同样一组特征向量。 设设A Rn n可逆，则无零特征值，由可逆，则无零特征值，由 (0)A xxxl= 有有 1 1 Axx l - = 规范化反幂法公式为规范化反幂法公式为 ( )( )( ) (1)( ) m ax() (0,1, ) kkk kk yxx A xyk + = = L ( ) (1) 1 1 1 nk jk kk jj j xA xv l la l

10、- = 骣 = 桫 希望希望 | 2 / 1 | 越小越好。越小越好。 不妨设不妨设 1 2 n ，且，且 | 2 | | n |。 取取 0（常数），用矩阵（常数），用矩阵B = A - 0I 来代替来代替A进行乘幂迭代。进行乘幂迭代。 0ii mll=- (i = 1, 2, , n) 000 ()() iiiiii B vAI vA vvvllll=-=-=- 设设 i (i = 1, 2, , n)为矩阵为矩阵B B 的特征值，则的特征值，则B与与A特征值之间特征值之间 应有关系式：应有关系式： 关于矩阵关于矩阵B的乘幂公式为的乘幂公式为 ( )(0)(0) 0 () kkk xB x

11、AIxl=- 为加快收敛速度，适当选择参数为加快收敛速度，适当选择参数 0，使使 0 0 2 10 ()m ax k j j n ll w l ll - = - 达到最小值。达到最小值。 2 0 101 1 10 2 () n j k jj j vv ll llaa ll = 轾 -骣 犏 =-+ 犏 桫 - 臌 11 1 1 2 nk j k jj j vv m maa m = 轾 骣 犏 =+ 犏 桫 臌 当当 i (i = 1, 2, , n)为实数，且为实数，且 1 2 n时，取时，取 * 02 1 () 2 n lll=+ 则为则为 ( 0) 的极小值点。这时的极小值点。这时 * 2

12、2 2022 * 121 10 12 11 22 11 2 22 n n n n lll lllll llll ll lll - - = = - 若若 (1)(1)kk ppqq yaa - =- （1）令令 () (1)(1)(1) 2si gn kkk pqppqq xaaa - =- 22 cos2 y xy q= + （2） 当当 y = 0时，时， 4 p q= 22 1 si n2si ncos 2 x xy qqq= + () 1 cos1cos2 2 Cqq=+（3） si n 2 si n 2 S C J q= （4） ipipiqpi iqipiqqi aa Ca Sa a

13、a sa Ca =+= = -+= 22 22 22 2 2 ()() pppppqqq qqpppqqq pqppqqpqqp aa Ca CSa S aaSa CSa C aaaCSaCSa =+ + =- + =- +-= （5）计算特征向量计算特征向量 P0 = I ( )(1)(1) ( )(1)(1) ( )(1) cossi n si ncos , kkk ipipiq kkk iqipiq kk ijij PPP PPP PPjp q qq qq - - - =+ = -+ = 1221 12 1122 111 222 111 1221212 222 11 22 10 210

14、121 . 012 1,1,2 21 t2si ncos. 22 010 0 ,03 001 2 0. 5857800 020 003. 41421 T A aaij a g aa PAPA P A p qqqq 轾 - 犏 犏 =- 犏 犏 犏 - 臌 = -= = - 轾 轾 - 犏 犏 犏 犏 犏=- 犏 犏 犏 犏 犏 - 犏 臌 臌 = L 例题： 解：由于即令得 ,. 0. 50. 70. 5 0. 700. 7 . 0. 50. 70. 5 T P 犏 犏 犏 犏 犏 臌 轾 犏 犏 =- 犏 犏 犏 - 臌 特征值就可以求出了对应得特征向量 练习： 12 Jacobi 110.

15、 54 1 0 110. 25 ,1 2 1 . 0. 5 0. 2520 1 1 AA 轾轾 犏犏 犏犏 = 犏犏 犏犏 犏犏 臌臌 用方法求下列矩阵的全部特征值及特征向量： 3.4 Householder方法 3.4.1 实对称矩阵的三对角化 n旋转变换：CPTAP，将A化为三对角矩阵，使某个 n事实上，只需 n记上述旋转矩阵PPi,j,k n取P下标231,241,2n1;342,352, ,3n2;(n-1)n(n-2)依 次对A进行正交相似变换，便可将A化为三对角C cossi n0,(, ) ikkjikjk ccaaki jqq=+= 22 1 ,si n,cos. ikkj i

16、kkj aa aa rqrqr= -= - + 1212 2211 . 1111 2111 A 轾 犏 犏 - 犏 = 犏 - 犏 犏 犏 臌 例题：利用旋转变换将下述矩阵化为三对角阵 2 22, 3, 12, 3, 1, 3, 11 , ,2,3,1 1 0. 4472,si n0. 4472,cos0. 8944, 21 100012. 236102 0 0. 89440. 4472 02. 2361111. 3416 , 0 0. 44720. 894400120. 4472 000121. 3416 0. 44 T PAP ijk PA rqq = = -= + 轾 犏 犏 - 犏 =

17、 犏 - 犏 犏 犏 臌 解：首先约化第一行第一列，取,此时 721 轾 犏 犏 犏 犏 犏 犏 犏 臌 L L 1300 32. 33330. 47140 00. 47141. 16631. 5000 001. 50000. 5000 轾 犏 犏 犏 犏 犏 犏 犏 臌 p 反射变换反射变换 2 2,(,| | |1) Tn HIuuuRu=-= 反射矩阵反射矩阵 或或 Householder矩阵矩阵 性质：性质： (1) 对称矩阵：对称矩阵： T HH= (2) 正交矩阵：正交矩阵： 1T HH - = (3) 对合矩阵：对合矩阵： 2 HI= (4) 保模变换：保模变换： 22 | |

18、| | |H xx= 验证 , () H uu H vv H xHuvuvabab = - =+=- 容易： Householder 变换 定理定理设设 x, y Rn, x y 且且 |x|2 = |y|2，则存在则存在 n 阶阶 反射变换反射变换 H，使得，使得 y = Hx 。 证：取取 2 () | | | xy u xy - = - 2 2 2()() | | | T xy xy H xIx xy 轾 - 犏=- 犏 - 臌 2 2 2()() | | | TT xy x xy x x xy - =- - 又又 22 | | | | |xy= 2 2 | | |() ()2() TT

19、T xyxyxyx xy x-=-=- ()H xxxyy=-= Householder 变换 定理表明定理表明： 对任意的非零向量对任意的非零向量 x Rn，存在反射矩阵，存在反射矩阵 H，使得，使得 Hx = e1，其中，其中| |= |x|2, e1= (1, 0, ., 0)T ，且，且 1 12 () | | | xe u xe s s - = - 12 1 1 (, ,) 2 () n xxx x s s s =- - K 注注：为了防止：为了防止 与与 x1 互相抵消，通常取互相抵消，通常取 = -sign(x1)|x|2 将A化为三对角矩阵的具体作法 为 矩阵的一列向量 112

20、 112 2 2 1 2 1 11 ,A 0 , 0 (0,0,(),) , (),) , 21 ,. () ( , ) ) r T rT nr T rrrn T rrrn n i i rrr jT n H ac I HIww Iww wacasign as aa wasign as aa sarn s ssign aa w aaa l l l - + + =+ = 轾 犏 =-= 犏 - 犏 臌 =-=+ =+ = + = % L % LL %L 2221122 111 2 0000 211 00 22 10 . () () (), ,() () ,. . nnn kk TT TTTT TT

21、 TT CAHH H AH HH HA AH AHIwwA Iww Aww A AAw A www A w ww pA w kw A ww p qpk qqw w ll lll lll - = =- =-+ = =-+ - LL 实际运算中，不必真正计算，也不必计算与的乘法， 令 1212 221 1 . 1111 2111 A 轾 犏 犏 - 犏 = 犏 - 犏 犏 犏 臌 例题：利用H变换将下述矩阵化为三对角阵 222 1 15 1 111. 2123,(0,5,1,2) , 1/150. 0667,(15,11, 2,8) , 2. 3/150. 1533,(1, 0. 0333, 0.

22、 2867, 0. 2267) , 1() 1300 32. 33330. 46670. 0667 00. 46671. 57331. 3467 00. 06671. 34 T T T TT r sw p kq Awqqw l = =+= =- =- =-+ - - = - 解：首先做第 行第 列的约化，即 有： 670. 0933 轾 犏 犏 犏 犏 犏 犏 犏 臌 2 1300 32. 33330. 47140 00. 47141. 16671. 5003 001. 50030 A -轾 犏 犏 - 犏 = 犏 - 犏 犏 犏- 臌 3.4.2 求对称三角矩阵特征值的对分法 n考虑对称三角

23、阵 n记C-I的左上角的k阶主子式为pk()，且p0()1，可得： 11 12 1 1 ,0 i n nn ab ba Cb b ba - - 轾 犏 犏 犏 =犏 犏 犏 犏 犏 臌 O OO 0 11 2 112 ( )1, ( ), ( )()( )( ),2, . kkkkk p pa papbpkn l ll llll - = =- =-= L L 同 号 数 0 1 2 2 2 3 2 1 0 C1 2 1 . 0 1 2 ( )1, ( )2, ( )(2)1, ( )(2)(2). p p p p l ll ll lll 轾 犏 犏 = 犏 犏 犏 臌 = =- =- =- 定

24、理 ( )( )0 ,. n splll=同号数等于特征方程在区间上的根的个数 0000 1 00000011 2 0011 , , .( ), ( ). ().( )?! , , . , , , . i nn Ca bs ais bi cabs cic ba b a ba bab l蝄常 =+侈 缮LL 防止高次多项式求值溢出！ 1 011 2 1 12 1 2 1 ( ) ( ) , ( ), ( ) ( )1, ( ), ,( )( )0; ( ) ( ),( )0; ,( )0. k kk k k kkk k kkk k p qq p qqa app q qap p l ll l lll b lll l lll l - - - - - - = =- -坠 =-= - = 构造序列定义： 作业： n教材：P928题 第3章 矩阵特征值与特征向量 n一、考核知识点：一、考核知识点： q乘幂法、逆幂法、雅可比法 n二、考核要求二、考核要求： q1知道乘幂法，逆幂法的基本思想；会用乘幂法 求矩阵的特征值与特征向量。 q 2知