22空间向量的数量积运算

1、3.1.33.1.3空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 概念概念 1 1） 两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义 abba ba , ,0 被唯一确定了，并且 量的夹角就在这个规定下，两个向范围： bababa互相垂直，并记作：与则称如果, 2 , ba baAOBbOBaOA Oba , , ., 记作： 的夹角，与叫做向量则角作 ，在空间任取一点量如图，已知两个非零向 O O A A B B a a b b 2 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积 注意：注意： 两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量. 零向量与任意向量的数量积等于零。零向量与任意

2、向量的数量积等于零。 bababa ba babababa aaOAaOA ,cos , ,cos, , 即记作： 的数量积，叫做向量，则已知空间两个向量 记作：的长度或模的长度叫做向量则有向线段设 3)3)空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质 aaa baba eaaea 2 ) 3 0)2 ,cos) 1 注意：注意： 性质性质2 2）是证明两向量垂直的依据；）是证明两向量垂直的依据； 性质性质3 3）是求向量的长度（模）的依据；）是求向量的长度（模）的依据； 对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：,ab 4)4)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律 注意：注意：

3、分配律） 交换律） ()(3 ()2 )()() 1 cabacba abba baba 数量积不满足结合律数量积不满足结合律 )()cbacba（ 思考思考 1.下列命题成立吗? 若 ,则 若 ,则 a ba c bc k a b a bk ()()a bcab c 135 典型例题典型例题 例例1 在平面内的一条直线在平面内的一条直线,如果和这个平面的一如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直那么它也和这条斜线垂直. P O A l a 分析分析：用向量来证明：用向量来证明 两直线垂直，只需证两直线垂直，只需证 明两直线的方向向量明两直线的方向向量 的数

4、量积为零即可！的数量积为零即可！ 证明：证明： 如图如图,已知已知:,POAOllOA射射影影且且 求证：求证：lPA 在直线在直线l上取向量上取向量 ,只要证只要证 a 0a PA () 0 a PAaPOOA a POa OA ,aPAl 即即PA.PA. 为为 P O A l a 0,0a POa OA 逆命题成立吗? P O A l a 变式变式 设设A、B、C、D是空间不共面的四点是空间不共面的四点,且满足且满足 则则BCD是是 ( ) A.钝角三角形钝角三角形 B.直角三角形直角三角形 C.锐角三角形锐角三角形 D.不确定不确定 0,0,0AB ACAB ADAC AD C C 分

5、析：分析：要证明一条直线与一个平面要证明一条直线与一个平面 垂直垂直, ,由直线与平面垂直的定义可由直线与平面垂直的定义可 知知, ,就是要证明这条直线与平面内就是要证明这条直线与平面内 的的任意一条直线任意一条直线都垂直都垂直. . 例例2:(试用试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线已知直线m ,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线, 如果如果 m, n,求证求证: . ll l l m n g m g m l l m n g n g m l ,gxmyn ,l gxl myl n 0,0 ,l ml m 0,.l glg 即即

6、 ,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 内内任任一一直直线线. 解解: 在在 内作不与内作不与m ,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 , ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m ,n, ,l m n g 不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数存在唯一实数 ,使使 ( , )x y 例例2:已知直线已知直线m ,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线, 如果如果 m, n,求证求证: . lll 例例3 如图，已知线段在平面如图，已知线段在平面 内，线段内，线段 ，线段，线段 ，线段，线段， ，如，如 果，求、之间的距

7、离。果，求、之间的距离。 AC BDAB DD 30DBD ,ABaACBDbCD AB 解：由，可知解：由，可知. . 由由 知知 . . AC ACAB 30DBD ,120CABD 22 222 2222 22 |() |2 22 2cos120 CDCD CDCAABBD CAABBDCA AB CA BDAB BD babb ab 22 CDab b a b C AB D D 课堂练习 A B A1 C1 B1 C 1.如图如图,在正三棱柱在正三棱柱ABC-A1B1C1中中, 若若AB= BB1,则则AB1与与C1B所成角所成角 的大小为的大小为( ) A. B. C. D. 2 105 75 90 60 2.已知在平行六面体中，已知在平行六面体中，, , 求对角线的长。求对角线的长。 ABCDABCD 4AB 3 ,5 ,90 ,60ADAABADBAADAA AC DC B D A B C A B |85AC 小小 结：结： 通过学习通过学习, , 我们可以利用向量数量积解决