则多元函数微分学习题课

1、则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 一、主要内容一、主要内容 平面点集平面点集 和区域和区域 多元函数概念多元函数概念 多元函数多元函数 的极限的极限 极极 限限 运运 算算 多元函数多元函数 连续的概念连续的概念 多元连续函数多元连续函数 的性质的性质 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 全微分全微分 概念概念 偏导数偏导数 概念概念 方向导数方向导数 全微分全微分 的应用的应用 复合函数复合函数 求导法则求导法则 全微分形式全微分形式 的不变性的不变性 高阶偏导数高阶偏导数 隐函数

2、隐函数 求导法则求导法则 微分法在微分法在 几何上的应用几何上的应用 多元函数的极值多元函数的极值 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 1 1、多元函数的极限、多元函数的极限 说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的； 0 PP （2）二元函数的极限运算法则与一元）二元函数的极限运算法则与一元 函数类似函数类似 存在性存在性定义，夹逼定理定义，夹逼定理 不存在不存在特殊路径、两种方式特殊路径、两种方式 求法求法 运算法则、定义验证、夹逼定理运算法则、定义验证、夹逼定理 消去致零因子、化成一元极限等消去致零因子、化成一元极限等 2 2、多元函数的连续性、多元函数

3、的连续性 )()(lim 0 0 PfPf PP 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 3 3、偏导数概念、偏导数概念 定义、求法定义、求法 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系 高阶偏导数高阶偏导数纯偏导、混合偏导纯偏导、混合偏导 4 4、全微分概念、全微分概念 定义定义 可微的必要条件可微的必要条件可微的充分条件可微的充分条件 利用定义验证不可微利用定义验证不可微 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微函数可微 函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续 函数可导函数可导 则多元函数微分学习题课则多元

4、函数微分学习题课 5 5、复合函数求导法则、复合函数求导法则 ),(),(),(yxvvyxuuvufz x v v z x u u z x z y v v z y u u z y z 法则22 “分道相加，连线相乘分道相加，连线相乘” 法则的推广法则的推广任意多个中间变量，任意多任意多个中间变量，任意多 个自变量个自变量 如何求二阶偏导数如何求二阶偏导数 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 6 6、全微分形式不变性、全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的. zvu、vu、 dv v

5、 z du u z dz . 7 7、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则 0),()1( yxF 0),()2( zyxF 0),( 0),( )3( zyxG zyxF 0),( 0),( )4( vuyxG vuyxF z y z x F F y z F F x z , 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 公式法公式法直接法直接法全微分法全微分法 8 8、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用 (1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 ()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 求直线、平面的方程求直线、平面的方程 定点（过点）、定向（方向向量、法向量）定点（过点）、

6、定向（方向向量、法向量） 曲线：参数式，一般式给出曲线：参数式，一般式给出 曲面：隐式、显式给出曲面：隐式、显式给出 求隐函数偏导数的方法求隐函数偏导数的方法 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 1010、多元函数的极值、多元函数的极值 9 9、方向导数与梯度、方向导数与梯度 定义定义 计算公式（注意使用公式的条件）计算公式（注意使用公式的条件） 梯度的概念梯度的概念向量向量 梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系 极值、驻点、必要条件极值、驻点、必要条件 充分条件充分条件) 0( 2 ACB 求求函函数数),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤： 则多元函数微分学习题课则多元

7、函数微分学习题课 最值最值 条件极值，目标函数、约束条件条件极值，目标函数、约束条件 构造构造 Lagrange 函数函数 ),(),(),(zyxzyxfzyxF 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 二、典型例题二、典型例题 例例1 1. )( lim 22 0 0 yx xxy y x 求求极极限限 解解 )0(,sin,cos yx令令 . 0)0 , 0(),( 等价于等价于则则yx cos)cos(sin)( 0 2 22 yx xxy cos)cos(sin ,2 . 0 )( lim 22 0 0 yx xxy y x 故故 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课

8、 例例2 已知已知),(ztzyyxfw 求求 t w z w y w x w 解解 1 f x w 21 ff y w 32 ff z w 3 f t w t w z w y w x w 0 例例3 已知已知 )sin(cbyaxz 求求 nm nm yx z 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 解解 )cos(cbyaxa x z ) 2 sin( cbyaxa ) 2 2sin( 2 2 2 cbyaxa x z ) 2 sin( mcbyaxa x z m m m ) 22 sin( 1 m cbyaxba yx z m m m ) 2 )( sin( nm cbyaxba

9、yx z nm nm nm 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 例例4 4 ., )(),( 2 2 2 3 yx z y z y z f x y xyfxz 求求 ，具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设 解解 ) 1 ( 21 3 x fxfx y z , 2 2 1 4 fxfx ) 1 () 1 ( 2221 2 1211 4 2 2 x fxfx x fxfx y z ,2 2212 3 11 5 fxfxfx ,2 2212 3 11 5 fxfxfx 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 xy z yx z 22 )( 2 2 1 4 fxfx x )( 2)

10、(4 22221 2 221211 4 1 3 x y fyfx xf x y fyfxfx .24 2211 4 21 3 f yf yxfxfx 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 例例5 5 ., 0),( ,sin, 0),(),( 2 dx du z f xyzexzyxfu y 求求且且，具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数 设设 解解 , dx dz z f dx dy y f x f dx du ,cosx dx dy 显显然然 , dx dz 求求得得的的导导数数两两边边求求对对,0),( 2 xzex y ,02 321 dx dz dx dy ex y 于是可得

11、于是可得, ),cos2( 1 2 sin 1 3 xex dx dz x .)cos2( 1 cos 2 sin 1 3 z f xex y f x x f dx du x 故故 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 )(zyx ezyx 求求 2 22 2 2 , y z yx z x z 解一解一 记记 )( ),( zyx ezyxzyxF 则则 zyx FFF )( 1 zyx e 1 y z x z 2 22 2 2 y z yx z x z 0 解二解二 方程两边对方程两边对 x 求偏导求偏导 )1(1 )( x z e x z zyx 01)1( )( zyx e x

12、z 例例6 设设 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 1 x z 由轮换对称性由轮换对称性1 y z 2 22 2 2 y z yx z x z 0 两边取全微分两边取全微分 )( )( dzdydxedzdydx zyx 0)(1 )( dzdydxe zyx 0 dzdydx 即即 dydxdz 1 y z x z 2 22 2 2 y z yx z x z 0 解三解三 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 设有方程组设有方程组 33333 22222 cuzyx buzyx auzyx 求求 dx dy 解解 两边对两边对 x 求导求导 0 0 01 2222 uuz

13、zyyx uuz zyyx uzy 这是一个以这是一个以 uzy , 为未知量的三元为未知量的三元 一次方程组一次方程组 若系数行列式若系数行列式 222 111 uzy uzyD （ Vandermond行列式）行列式） 0)()( zuyuyz 例例7 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 则有则有 222 111 1 uzx uzx D y )()( 1 zuxuxz D )( )( yuyz xuxz 在半径为在半径为R的圆的一切内接三角形中，的圆的一切内接三角形中， 求其面积最大者求其面积最大者 解解 如图若以如图若以 x ,y , z 表示三角形的表示三角形的 三边所对的圆

14、心角，则三边所对的圆心角，则 zyx 三角形的面积三角形的面积)sinsin(sin 2 1 2 zyxRA 例例8 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 问题就是求问题就是求A在条件在条件 zyx 下的最大值下的最大值 x y z )2()sinsin(sin),( zyxzyxzyxF ),0( zyx 0cos 0cos 0cos zF yF xF z y x zyxcoscoscos zyx 3 2 2 max 4 33 RA 记记 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 例例9 已知已知 ),(yxuu 满足方程满足方程 0 2 2 2 2 y u a x u a y

15、u x u 试选择参数试选择参数 , 通过变换通过变换 yx eyxvyxu ),(),( 使原方程变形所得新方程中没有使原方程变形所得新方程中没有 v 对对 x , y 的一阶偏导数的一阶偏导数 解解 yx ev x v x u )( yx ev x v x v x u )2( 2 2 2 2 2 yx ev y v y u )( yx ev y v y v y u )2( 2 2 2 2 2 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 代入方程代入方程 消去消去 yx e 0)( )2()2( 22 2 2 2 2 vaa y v a x v a y v x v 令令 02 02 a a

16、 解得解得 2 , 2 aa 因因 0)( 22 a 故变换后的方程为故变换后的方程为 0 2 2 2 2 y v x v 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 例例1010 ? , ),( 0 0002 2 2 2 2 2 模模此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的 具具有有什什么么关关系系时时的的方方向向导导数数，问问的的向向径径 处处沿沿点点在在点点求求 cbar zyxM c z b y a x u 解解 , 2 0 2 0 2 00000 0 zyxrzyxr .cos,cos,cos 0 0 0 0 0 0 r z r y r x 处的方向导数为处的方向导数为在点在点 M

17、 coscoscos 0 MMMM z u y u x u r u 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 222 r z c z r y b y r x a x )( 2 2 2 2 2 2 2 0 000 c z b y a x r . ),(2 2 0 2 0 2 000 0 zyx zyxu 处的梯度为处的梯度为在点在点 M k z u j y u i x u gradu MMMM , 222 2 0 2 0 2 0 k c z j b y i a x 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 ,2 4 2 4 2 4 2 00

18、0 c z b y a x gradu M ,时时当当cba , 2 222 2 000 zyx a gradu M , 2 )( 2 2 0 2 0 2 22 0 2 0 2 222 2 0 0 0 000 zyx azyx zyx a r u M , 0 M M gradu r u .,模模此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的相相等等时时故故当当cba 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 例例1111 之间的最短距离之间的最短距离 与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面22 22 zyxyxz 解解 .22 6 1 ,022 ,),( 22 zyxd dzyxP yxzzyxP

19、 的距离为的距离为到平面到平面 则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设 分析分析: 最小最小即即 且使且使满足满足 ，使得，使得本题变为求一点本题变为求一点 )22( 6 1 ( 22 6 1 0 ,),( 22 22 zyxd zyxdzyx zyxzyxP 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 ),()22( 6 1 ),( 222 yxzzyxzyxF 令令得得 )4(, )3(, 0)2)(22( 3 1 )2(, 02)22( 3 1 )1(, 02)22( 3 1 22 yxz zzyxF yzyxF xzyxF z y x . 8 1 , 4 1 , 4 1 zyx解此

20、方程组得解此方程组得 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 ), 8 1 , 4 1 , 4 1 (即得唯一驻点即得唯一驻点 处取得最小值处取得最小值驻点，故必在驻点，故必在 一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值根据题意距离的最小值 ) 8 1 , 4 1 , 4 1 ( . 64 7 2 4 1 4 1 4 1 6 1 min d 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 试求曲面试求曲面 xyz=1上任一点上任一点 ),( 处的法线方程和切平面方程处的法线方程和切平面方程 并证明切平面与三个坐标面所围成的并证明切平面与三个坐标面所围成的 四面体的体积是一个常

21、量四面体的体积是一个常量 证证设设 1),( xyzzyxFxyFxzFyzF zyx , 法线法线 zyx 切平面切平面 0)()()( zyx 即即3 zyx 例例12 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 切平面在三个坐标轴上的截距分别为切平面在三个坐标轴上的截距分别为 3 3 ,3 3 ,3 3 故切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为故切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为 高高底底面面积积 3 1 V|3|3|3| 2 1 3 1 2 9 | 2 9 是一个常量是一个常量 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 例例13 设设 y = f ( x ,t ) 而而

22、t 是由是由 F (x ,y ,t) 确定的确定的 x ,y 的函数的函数 ，试证明，试证明 tyt txtx FFf fFFf dx dy 证一证一 方程组方程组 0),( ),( tyxF txfy 确定了两个一元隐函数确定了两个一元隐函数 y =y (x) , t =t ( x ) 两边分别对两边分别对 x 求导得求导得 xty xt F dx dt F dx dy F f dx dt f dx dy 则多元函数微分学习题课则多元函数微分学习题课 解得解得 tyt txtx FFf fFFf dx dy 证二证二 本题主要是弄清楚函数关系本题主要是弄清楚函数关系 ，具体求导则，具体求导则 很简单，很简单， 初