圆锥曲线的半径的倒数平方和为定值-文档资料

1、圆锥曲线的半径的倒数平方和为定值在高中数学竞赛和高考中， 圆锥曲线的半径理论是一个常考 的重要内容 . 下面是两道考试题：试题1 (2009年全国联赛一试)椭圆 +=1 ( ab0)上 任意两点P, Q若使得O吐OQ( O为坐标原点)，则乘积 OP?OQ 的最小值为 .试题 2(2012年高考真题上海理科考题第 3小题)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 C1: 2x2-y2=1.设椭圆C2: 4x2+y2=1，若M N分别是C1、C2上的动点，且 OML ON求证： O到直线MN的距离是定值.解以上两题的关键均是探求半径的平方的倒数和为常数这 一特性 . 本文对此性质作进一步探讨，得到如下

2、定理 .定理设线段OP1 OP2分别是圆锥曲线 C1: mx2+ny2=1和 C2: px2+qy2=1的半径，O是圆锥曲线的中心，P1 C1, P2 C2, 记 OP仁r1, OP2=r2,且 OP仕 OP2.(?)若n+p=m+q0则+为定值，且定值为 n+p；(?)若n-p=m-q，则 - 为定值，且定值为 n-p.证明：因为op仕OP2所以可设/ xOP1=e , / xOP2=e +, 由题意得 P1 (r1cos e , r1sin e ), P2 (-r2sin e , r2cos e ). 将点 P1 代入椭圆方程得m(r1cos e )2+n(r1sin e )2=1，得 =

3、mcoS2 6 +nsin2 6 . ?摇(1)同理，将点 P2 代入椭圆方程得 =psin2 6 +qcos26 . ?摇( 2)(?)当 n+p=m+q0寸，由(1) + (2)得 += (n+p) sin2 6 + (m+q cos2 6 =n+p 为定值；(?)当 n-p=m-q 时，由(1) - (2) 得- =n-p为定值.定理证毕.因为，我们在实际做题目时遇到的圆锥曲线都是具体到圆、 椭圆、双曲线、 或椭圆与双曲线组合的情形， 如试题 1 和试题 2， 所以为了能够更好的应用本定理快速有效的解题， 下面我们将对 满足定理条件的圆锥曲线的二次项系数进行分类讨论， 并画出此 时满足定

4、理条件所对应的图形，使定理使用起来更为直观便捷 .下面对满足定理条件的圆锥曲线的二次项系数进行分类讨 论.(一) 当正数 m， n， p， q 满足 m=n， p=q 时，曲线 C1 和 C2 表示圆：(1)当m=p时，两圆退化为一个圆，如图 1; (2)当mp 时，曲线C1和C2表示两不同的同心圆，如图 2.此时定理的结 论是显然成立的 .(二) 当正数 m n, p, q满足mn且pq时，曲线C1和 C2表示椭圆，(1)当m=p且n=q时，如图3和图4所示，两椭圆退化为 一个椭圆，可以考虑用定理( ?)中的结论来解决问题 . 例如图3的情形符合本文开头的试题 1中的条件，所以可以使用本定理 得到 + =n+p,从而可知r1?r2 .因为n=，p=，所以 试题1的答案为.（2）当p, nq,且两椭圆的焦点在同一坐标轴上时，如图 5至图 6，可以考虑用定理（ ?）中的结论来解决问题 .当两椭圆的焦点不在同一坐标轴上时, 如图 7所示,可以考 虑用定理（ ?）中的结论来解决问题 .（三）当mr，可以考虑用定理（？）中的结论来解决问题.当m， p异号时，两双曲线的焦点不在同一