线性时不变系统变换分析

1、线性时不变系统变换分析 第五章第五章 线性时不变系统变换分析线性时不变系统变换分析 Transform Analysis of Linear Time-Invariant Systems 线性时不变系统变换分析 5.0 5.0 引言引言 傅立叶变换傅立叶变换 ，z变换变换 分析分析 LTI系统系统 LTI系统系统 单位脉冲响应单位脉冲响应 hn 频率响应频率响应H(e(ej j) )hn （傅立叶变换（傅立叶变换) - ) - 存在（收敛）存在（收敛） H(z) hn （z z变换变换) - ) - 傅立叶变换推广，收敛傅立叶变换推广，收敛 LTI系统系统 hn， H(e(ej j) )， H

2、(z) Y(e(ej j)= )= H(e(ej j) )X(e ej j) ) Y(z) = H(z)X(z) H(z) - 系统函数（系统函数（system function） k y nx nh nx k h nk 线性时不变系统变换分析 5.1 LTI5.1 LTI系统的频率响应系统的频率响应 频率响应频率响应 - 系统对指数输入（特征函数）系统对指数输入（特征函数）ejn的复增益（特征值）的复增益（特征值） 系统的输入输出关系（频域）：系统的输入输出关系（频域）： Y(e(ej j)= )= H(e(ej j) )X(e ej j) ) | H(e(ej j) )| - 幅度响应，增

3、益幅度响应，增益 H(e(ej j) - ) - 相位响应，相移相位响应，相移 5.1.1 5.1.1 理想频率选择性滤波器理想频率选择性滤波器 | H(e(ej j) )| 对不同频率的值决定了输出在响应频率上的值。对不同频率的值决定了输出在响应频率上的值。 线性时不变系统变换分析 理想低通滤波器：理想低通滤波器： 选取信号的低频成分，抑制信号的高频成分选取信号的低频成分，抑制信号的高频成分 其响应的单位脉冲响应：其响应的单位脉冲响应： 理想高通滤波器理想高通滤波器 c| 频率无失真通过，频率无失真通过，c以下频率不予通过以下频率不予通过 理想滤波器：（理想滤波器：（1）hn无限长无限长-

4、非因果非因果- 计算上不可实现计算上不可实现 （2）相位响应为零）相位响应为零 因果性因果性非零相位响应非零相位响应 线性时不变系统变换分析 5.1.2 相位失真和延迟（相位失真和延迟（phase distortion and delay） 理想延迟系统：理想延迟系统： 相位失真：相位失真：线性相移线性相移 一种轻微的失真一种轻微的失真 产生序列上的移位产生序列上的移位 延迟失真延迟失真 （不产生波形上的变形）（不产生波形上的变形） 近似理想滤波器设计：线性相位响应近似理想滤波器设计：线性相位响应 理想模型理想模型 例：具有线性相位的理想低通滤波器例：具有线性相位的理想低通滤波器 线性时不变系

5、统变换分析 具有线性相位的理想频率选择性滤波器：具有线性相位的理想频率选择性滤波器： 分隔输入信号频带分隔输入信号频带( (频率选择频率选择) ) 输出延迟输出延迟nd 群延迟（群延迟（group delay）: 相位特性线性程度的一种度量相位特性线性程度的一种度量 定义：定义： 含义：对窄带输入含义：对窄带输入xn=sncos(0n) sn 为包络，为包络，0载波频率载波频率 即即X(ej)仅在仅在= 0附近为非零附近为非零 系统的相位效果（在系统的相位效果（在= 0附近）：附近）： 即系统的输出：即系统的输出： 包络的延迟包络的延迟 相位特性导数的负值相位特性导数的负值 非因果 线性时不变

6、系统变换分析 例子：衰减和群延迟的效果例子：衰减和群延迟的效果 线性时不变系统变换分析 线性时不变系统变换分析 5.2 5.2 用线性常系数差分方程表征系统的系统函数用线性常系数差分方程表征系统的系统函数 理想频率选择性滤波器理想频率选择性滤波器 （近似、逼近）一类频率选择性滤波器（近似、逼近）一类频率选择性滤波器 考虑由线性常系数差分方程表示的一类系统：考虑由线性常系数差分方程表示的一类系统： 对于初始松弛（对于初始松弛（initial rest）的辅助条件）的辅助条件因果、线性、时不变因果、线性、时不变 z变换变换 （分析、描述）（分析、描述） 线性常系数差分方程（表示系统）的性质、特征线

7、性常系数差分方程（表示系统）的性质、特征 方程两边方程两边z变换变换 M k k N k k knxbknya 00 M k k k N k k k zXzbzYza 00 )()( )()( 00 zXzbzYza M k k k N k k k 线性时不变系统变换分析 系统函数：系统函数： 或或 差分方程差分方程 系统函数系统函数 系数直接对应关系系数直接对应关系 零极点形式 线性时不变系统变换分析 例：例： 线性时不变系统变换分析 稳定性和因果性稳定性和因果性 对一个系统函数对一个系统函数H( (z) )，对应于一个差分方程，对应于一个差分方程 （线性时不变）（线性时不变） 不同的收敛域

8、不同的收敛域不同的单位脉冲响应不同的单位脉冲响应hn 因果、稳定的条件：因果、稳定的条件： （线性时不变系统）（线性时不变系统） ROC是一个圆的外部，且包括单位圆是一个圆的外部，且包括单位圆 也就意味着：系统函数的全部极点在单位圆内也就意味着：系统函数的全部极点在单位圆内 逆系统（逆系统（Inverse Systems） 定义：定义： 与系统与系统H(z)级联后的总系统函数：级联后的总系统函数： G(z) = H(z)Hi(z) = 1 时域：时域：gn = hn hin = n 频率响应：频率响应： )( 1 )( zH zHi )e ( 1 )e ( j j H Hi 线性时不变系统变换

9、分析 并不是所有系统都有逆系统，如理想低通滤波器没有逆系统并不是所有系统都有逆系统，如理想低通滤波器没有逆系统 表示：无法恢复被理想滤波器滤去的频率分量。表示：无法恢复被理想滤波器滤去的频率分量。 具有有理系统函数的一类系统：具有有理系统函数的一类系统： 零极点零极点- 互换互换 逆系统的收敛？逆系统的收敛？ 卷积定理表示：卷积定理表示： H(z)和和Hi(z)收敛域重合收敛域重合 （不要求完全相同）（不要求完全相同） 若若H(z)因果，收敛域为：因果，收敛域为： 上式收敛域内某个重合区域即上式收敛域内某个重合区域即Hi(z)的收敛域的收敛域 线性时不变系统变换分析 例子例子1：一阶系统的逆系

10、统：一阶系统的逆系统 Hi(z)收敛域的两者可能：收敛域的两者可能：|z|和和|z| 重合的收敛域：重合的收敛域： |z| 相应的单位脉冲响应：相应的单位脉冲响应： 例子例子2： 逆系统：逆系统： 收敛域的两种可能：收敛域的两种可能：|z|2和和|z| 2都与都与|z|重合重合 都是有效的逆系统都是有效的逆系统 线性时不变系统变换分析 推论：推论： H(z)为因果系统，零点是为因果系统，零点是ck ,k=1,M， 当且仅当当且仅当Hi(z)的收敛域为：的收敛域为： 逆系统一定因果。逆系统一定因果。 若同时要求逆系统稳定，若同时要求逆系统稳定， Hi(z)的收敛域必须包括单位圆，即的收敛域必须包

11、括单位圆，即 表示表示H(z)的全部零点在单位圆内。的全部零点在单位圆内。 当且仅当当且仅当H(z)的零点和极点都在单位圆内时。的零点和极点都在单位圆内时。 稳定因果系统稳定因果系统 稳定因果逆系统稳定因果逆系统 定义为：定义为：最小相位系统（最小相位系统（minimum-phase systems） 线性时不变系统变换分析 5.2.3 有理系统函数的单位脉冲响应有理系统函数的单位脉冲响应 H(z)作作z反变换（部分分式法）反变换（部分分式法） hn 一阶极点的有理系统函数：一阶极点的有理系统函数： 若系统因果，可得：若系统因果，可得： 若至少存在一个非零极点，若至少存在一个非零极点，hn无限

12、长，无限长，IIR系统系统 若除若除z =0 外，没有极点外，没有极点 hn有限长，有限长，FIR系统系统 线性时不变系统变换分析 FIR系统，差分方程系统，差分方程 = 卷积卷积 例子：一个简单的例子：一个简单的FIR系统，系统，hn为无限长指数序列的截断为无限长指数序列的截断 其系统函数其系统函数 分子的零点：分子的零点： 若若a为正实数，系统的极点（为正实数，系统的极点（z = a）被一个零点抵消）被一个零点抵消 M =7 线性时不变系统变换分析 5.3 5.3 有理系统函数的频率响应有理系统函数的频率响应 频率响应：频率响应： e-j- 变量变量 频率响应（幅度频率响应（幅度 相位相位

13、 群延迟）群延迟） 零极点关系（表示）零极点关系（表示） 用用z = ej代入代入H(z)， 得频率响应幅度：得频率响应幅度： 线性时不变系统变换分析 采用幅度平方函数：采用幅度平方函数： 或或 幅度表示：全部零点到单位圆上的幅度（随频率变化）乘积幅度表示：全部零点到单位圆上的幅度（随频率变化）乘积 / 全部极点到单位圆上的幅度（随频率变化）乘积全部极点到单位圆上的幅度（随频率变化）乘积 |1-cke-j |= | ej -ck|/ | ej| = | ej -ck|为矢量为矢量ej -ck的长度，的长度， 而矢量而矢量ej -ck是矢量是矢量 ej与矢量与矢量ck之差（图示）之差（图示） 对

14、数表示：对数表示： 称为增益称为增益 线性时不变系统变换分析 相位响应：相位响应： 零点相位和与极点相位和之差（不包括常数项）。零点相位和与极点相位和之差（不包括常数项）。 群延迟：群延迟： 或表示为：或表示为： 引入相位的主值：引入相位的主值： 相位用主值表示为：相位用主值表示为： r()是某个正或负的整数是某个正或负的整数 线性时不变系统变换分析 相位函数的主值可以用频率响应的实部和虚部计算：相位函数的主值可以用频率响应的实部和虚部计算： 5.3.1 单个零点或极点的频率响应单个零点或极点的频率响应 幅度、相位、群延迟幅度、相位、群延迟 零极点的贡献之和零极点的贡献之和 考虑零极点的单一因

15、式：考虑零极点的单一因式： ak = rej 表示零点或极点表示零点或极点 r和和表示零点或极点在表示零点或极点在z平面的幅值和相位（图示）平面的幅值和相位（图示） 幅度平方：幅度平方： 主值相位：主值相位： 群延迟：群延迟： jjj ee1e1 rak 线性时不变系统变换分析 例：例：r = 0.9, = 0, /2, 时对数幅度、相位和群延迟随频率时对数幅度、相位和群延迟随频率的变化的变化 曲线曲线 线性时不变系统变换分析 幅度函数，从图中及上式可见：幅度函数，从图中及上式可见： （1）= 附件急剧下陷附件急剧下陷 （2）r不变时，对数幅度是不变时，对数幅度是(- )的函数，频率轴上的平移

16、的函数，频率轴上的平移 （3）对数幅度的最大值出现在）对数幅度的最大值出现在(- ) = （4）对数幅度的最小值出现在）对数幅度的最小值出现在(- ) = 0，即，即= 线性时不变系统变换分析 相位函数：相位函数： （1） = 时相位为零；时相位为零； （2）对于一定的）对于一定的r，相位函数只是简单地随，相位函数只是简单地随 不同而平移。不同而平移。 群延迟：群延迟： （1） 相位在相位在= 附近大的正斜率对应于群延迟最大的负峰值。附近大的正斜率对应于群延迟最大的负峰值。 几何图表示频率响应几何图表示频率响应 一阶系统函数：一阶系统函数： 极点：极点：z = 0 零点：零点：z = rej

17、频率响应：频率响应： )e( j z j jj j e ee )e ( r H 1, )e( )e1 ()( j 1j r z rz zrzH 线性时不变系统变换分析 三个矢量：三个矢量： v1 = ej，v2 = rej，v3 = v1 - v2 = ej- rej 每个零极点代表的矢量每个零极点代表的矢量 = 零极点到单位圆（随零极点到单位圆（随 变化）变化） 线性时不变系统变换分析 频率响应频率响应的幅度为：的幅度为： |v1| = 1 上式等于上式等于|v3| 相位为相位为 从图中可见，当从图中可见，当= 时矢量长度最小时矢量长度最小幅度函数下降；幅度函数下降； z = 0的极点矢量的

18、极点矢量v1 ，其长度始终为，其长度始终为1，不随，不随变化，不影响幅度。变化，不影响幅度。 线性时不变系统变换分析 = 时的零极点图：时的零极点图： 两个不同频率两个不同频率的幅度和相位的幅度和相位 v3最大最大( = 0) 减小（减小（增加增加） 最小（最小（ = ） 相角变化：相角变化： = 时相等，相角为零时相等，相角为零 单个因式（单个因式（1-reje-j）与）与r的关系：的关系： = 情况情况 线性时不变系统变换分析 线性时不变系统变换分析 5.3.2 5.3.2 多个零极点的例子多个零极点的例子 由有理系统函数由有理系统函数 系统频率响应系统频率响应 例例5.8 5.8 二阶二

19、阶IIR系统系统 零点：零点：z =0=0，二阶零点；，二阶零点； 极点：一对共轭极点，极点：一对共轭极点，z = = rej和和z = = re-j 增益、相位和群延迟分别为：增益、相位和群延迟分别为： 线性时不变系统变换分析 幅度响应：幅度响应： r = 0.9, =/4 线性时不变系统变换分析 例例5.9 二阶二阶FIR系统系统 单位脉冲响应和系统函数分别为：单位脉冲响应和系统函数分别为： 是上例的倒数，曲线图负值，零点和极点互换。是上例的倒数，曲线图负值，零点和极点互换。 例例5.10 三阶三阶IIR系统系统 三个零点，其中一对共轭零点，三个零点均在单位圆上三个零点，其中一对共轭零点，

20、三个零点均在单位圆上 线性时不变系统变换分析 三个极点，其中一对共轭极点三个极点，其中一对共轭极点 极点的配置极点的配置- 总的对数幅频特性（题中的低通滤波器特性）总的对数幅频特性（题中的低通滤波器特性） 零点的配置零点的配置- 抑制幅频特性抑制幅频特性 （实现频率选择）（实现频率选择） 线性时不变系统变换分析 相位的跳变：相位的跳变： 主值主值 单位圆上零点单位圆上零点 线性时不变系统变换分析 5.4 幅度和相位之间的关系幅度和相位之间的关系 一般情况下，频率响应的幅度函数一般情况下，频率响应的幅度函数 相位函数相位函数 无关无关 对于线性常系数差分方程描述的系统（有理系统函数），对于线性常

21、系数差分方程描述的系统（有理系统函数）， 幅度函数幅度函数 相位函数相位函数 某种制约关系某种制约关系 幅频特性和零极点个数确定幅频特性和零极点个数确定 相位特性有限种选择相位特性有限种选择 (2) 相位特性和零极点个数确定相位特性和零极点个数确定 幅频特性有限种选择（除幅度加幅频特性有限种选择（除幅度加 权因子）权因子） (3) 最小相位系统：最小相位系统：幅度函数幅度函数 相位函数相位函数 唯一确定唯一确定 （除幅度加（除幅度加 权因子）权因子） 上述的关系，可以归结为：上述的关系，可以归结为： 频率响应的幅度平方特性频率响应的幅度平方特性 系统函数的可能选择系统函数的可能选择 线性时不变

22、系统变换分析 考虑将幅度平方特性表示为：考虑将幅度平方特性表示为： 系统函数限制为有理形式：系统函数限制为有理形式： 则则 线性时不变系统变换分析 定义复函数定义复函数C(z): 频率响应的幅度平方为频率响应的幅度平方为C(z)在单位圆上的求值。在单位圆上的求值。 表明：如果表明：如果|H(ej)|2已知，用已知，用z代替代替ej C(z) 全部可能的全部可能的H(z) . H(z)中的极点中的极点dk C(z) 中的极点中的极点dk 和和 共轭倒数对共轭倒数对 H(z)中的零点中的零点ck C(z) 中的零点中的零点ck 和和 共轭倒数对共轭倒数对 每每共轭倒数对共轭倒数对零极点：一个零极点

23、：一个 H(z) 相联系相联系 另一个另一个 相联系相联系 一个在单位圆内一个在单位圆内 另一个在单位圆外另一个在单位圆外 若零极点为不在单位圆上的复数，则若零极点为不在单位圆上的复数，则4个零极点同时存在个零极点同时存在 1 )( k d 1 )( k c )/1 ( zH 线性时不变系统变换分析 如果如果H(z) 为因果稳定，全部极点在单位圆内。为因果稳定，全部极点在单位圆内。 H(z)的极点的极点 C(z)的极点的极点 但但H(z)的零点则不能从的零点则不能从C(z)的零点中唯一确定的零点中唯一确定 （最小相位系统？）（最小相位系统？） 本节讨论的问题转化为：本节讨论的问题转化为： 由由

24、C(z) （ |H(ej)|2 ）构造出）构造出H(z) （可能类型，唯一性）（可能类型，唯一性） 例例5.11 具有相同具有相同C(z) 的系统的系统 两个稳定的系统：两个稳定的系统： 线性时不变系统变换分析 分别的零极点图：分别的零极点图： 相应的相应的C1(z) 和和C2(z) 为：为： 线性时不变系统变换分析 由于分子中由于分子中 所以所以 C1(z) = C2(z)，零极点图为：，零极点图为： 例例5.12 根据根据C(z)的零极点图，确定的零极点图，确定 与与H(z)有关的零极点。有关的零极点。 共轭倒数对零极点：共轭倒数对零极点： 极点：系统因果稳定，则极点：系统因果稳定，则P1

25、, P2, P3 零点：复数共轭对，零点：复数共轭对，Z3或或Z6 和和 (Z1, Z2)或或(Z4, Z5) 线性时不变系统变换分析 4种不同的因果稳定的种不同的因果稳定的H(z) - 三个极点，三个零点三个极点，三个零点 相同的频率响应幅度特性。相同的频率响应幅度特性。 零极点数的限定零极点数的限定 假定假定H(z) 有一个如下的因子：有一个如下的因子： 全通因子全通因子 即即 容易证明：容易证明： 表示全通因子相抵消，不能从表示全通因子相抵消，不能从C(z)的零极点中辨别出来。的零极点中辨别出来。 零极点不限定，任意个全通因子级联。零极点不限定，任意个全通因子级联。 线性时不变系统变换分

26、析 5.5 全通系统（全通系统（all-pass systems ） 全通系统的系统函数：全通系统的系统函数： 频率响应：频率响应： 分子、分母互为共轭，幅度相等，因此分子、分母互为共轭，幅度相等，因此 |Hap(ej)| = 1 - 全部频率成分都通过全部频率成分都通过 全通系统的一般形式：全通系统的一般形式： dk实数极点，实数极点，ck复数极点（共轭成对），零、极点数：复数极点（共轭成对），零、极点数：M = 2Mc+Mr 线性时不变系统变换分析 例：例：Mr = 2, Mc = 1 每一个极点每一个极点 与与 一个共轭倒数零点一个共轭倒数零点 配对配对 因果全通系统：因果全通系统： 单

27、位圆内单极点单位圆内单极点 + 共轭倒数零点共轭倒数零点 全通系统的相位函数：全通系统的相位函数： 线性时不变系统变换分析 例例5.13 一阶和二阶全通系统一阶和二阶全通系统 极点：系统极点：系统1，z = 0.9 ( =0, r = 0.9) 系统系统2，z = -0.9 ( =, r = 0.9) 线性时不变系统变换分析 二阶全通系统：二阶全通系统： 极点极点 z j/4 线性时不变系统变换分析 结论：因果全通系统的相位结论：因果全通系统的相位argHap(ej)是非正的（是非正的（0） （不考虑由计算主值产生的（不考虑由计算主值产生的2 跳变）跳变） 群延迟：群延迟： 稳定因果全通系统：

28、稳定因果全通系统： r1，对群延迟的贡献总是正的。，对群延迟的贡献总是正的。 从群延迟的正值性从群延迟的正值性 相位函数的非正值性相位函数的非正值性 线性时不变系统变换分析 全通系统的用途：全通系统的用途： 相位失真的补偿，最小相位系统理论，数字滤波器变换，可变相位失真的补偿，最小相位系统理论，数字滤波器变换，可变 截止频率滤波器等。截止频率滤波器等。 线性时不变系统变换分析 5.6 最小相位系统最小相位系统 （minimum-phase systems） 有理系统函数的有理系统函数的LTI系统系统 - 频率响应的幅度频率响应的幅度 不能唯一表征不能唯一表征 若因果、稳定若因果、稳定 - 极点

29、在单位圆内，零点没有限制极点在单位圆内，零点没有限制 若其逆系统若其逆系统 因果稳定因果稳定 - 则系统的零极点在单位圆内。则系统的零极点在单位圆内。 最小相位系统：零极点在单位圆内（逆系统因果稳定）最小相位系统：零极点在单位圆内（逆系统因果稳定） 最小相位最小相位 - 相位特性相位特性 幅度平方函数幅度平方函数 + 最小相位最小相位 系统唯一确定系统唯一确定 即由即由 单位圆内的全部零极点组成单位圆内的全部零极点组成 5.6.1 最小相位和全通分解最小相位和全通分解 与任意全通因子级联与任意全通因子级联 不改变系统的幅频特性不改变系统的幅频特性 （不能唯一确定系（不能唯一确定系 统）统） 一

30、个结论：任何有理系统函数都能分解为最小相位系统与全通系统一个结论：任何有理系统函数都能分解为最小相位系统与全通系统 的级联，即的级联，即 H(z) = Hmin(z)Hap(z) Hmin(z) - 最小相位系统最小相位系统 Hap(z) - 全通系统全通系统 线性时不变系统变换分析 将将H(z) Hmin(z) - 单位圆外零点分离出去单位圆外零点分离出去 设设H(z) 有一个单位圆外零点：有一个单位圆外零点：z = 1/c*，|c| 1，则，则H(z) 可表示为可表示为 H(z) = H1(z)(z-1-c*) H1(z) - 最小相位系统最小相位系统 考虑到分离出最小相位系统的幅频特性与

31、原系统一致，考虑到分离出最小相位系统的幅频特性与原系统一致， H(z) 的另一种表示形式：的另一种表示形式： 将分离出的单位圆外零点将分离出的单位圆外零点(z-1-c*) 以某种形式补回到单位圆内，以某种形式补回到单位圆内， 即即 (1-cz-1) - 零点零点 z = c 在单位圆内，与在单位圆内，与z = 1/c*共轭倒数共轭倒数 所以所以 H1(z)(1-cz-1) - 最小相位最小相位 系统，与系统，与H(z)的差别的差别 而而 - 全通型系统全通型系统 1 1 1 1 ( )( )(1) 1 zc H zH zcz cz 1 1 1 zc cz 线性时不变系统变换分析 Hmin(z)

32、 ： H(z) 单位圆内全部零极点单位圆内全部零极点 + 单位圆外零点的共轭倒数零单位圆外零点的共轭倒数零 点点 Hap(z) ： H(z) 单位圆外零点单位圆外零点 + Hmin(z) 共轭倒数零点相抵消的极点共轭倒数零点相抵消的极点 这样的分离保证了这样的分离保证了H(z) 和和Hmin(z)具有相同的频率响应幅度。具有相同的频率响应幅度。 例例5.14 最小相位最小相位/全通分解全通分解 两个因果稳定系统：两个因果稳定系统： 系统系统1零极点：极点零极点：极点z = -1/2, 零点零点z = -3 (单位圆外单位圆外) 由零点的反射（共轭对称），由零点的反射（共轭对称），c = -1/

33、3 线性时不变系统变换分析 全通分量为：全通分量为： 最小相位分量：最小相位分量： 系统系统1可以表示为（最小相位与全通的级联）：可以表示为（最小相位与全通的级联）： 系统系统2零极点零极点：一个实数极点（单位圆内），两个复数零点（单位：一个实数极点（单位圆内），两个复数零点（单位 圆外），将其表示为共轭倒数圆外），将其表示为共轭倒数 最小相位分量最小相位分量 再求出全通分量再求出全通分量 线性时不变系统变换分析 5.6.2 频率响应的补偿频率响应的补偿 信号信号 经过经过 系统系统 产生失真产生失真 （如信号在信道传输过程中）（如信号在信道传输过程中） 补偿：逆系统补偿：逆系统 Hc(z)

34、为为Hd(z)的逆系统的逆系统 两个系统的因果稳定性两个系统的因果稳定性 - Hd(z) 为最小相位系统为最小相位系统 Hd(z)本身为最小相位系统：直接求逆系统本身为最小相位系统：直接求逆系统 Hd(z)本身为非最小相位系统：先分解，再求逆系统本身为非最小相位系统：先分解，再求逆系统 即：即： 选取补偿系统：选取补偿系统： Hd(z)与与Hdmin(z)幅频特幅频特 性相同性相同 线性时不变系统变换分析 总系统函数为：总系统函数为： 相当于全通系统，起到幅频特性的补偿作用。相当于全通系统，起到幅频特性的补偿作用。 例例5.15 FIR系统的补偿系统的补偿 失真系统的系统函数和零极点分布图为：

35、失真系统的系统函数和零极点分布图为： FIR系统只有零点（极点在原点）系统只有零点（极点在原点） 两个零点在单位圆外，反射到单位圆内两个零点在单位圆外，反射到单位圆内 得到最小相位系统：得到最小相位系统： 线性时不变系统变换分析 相应的全通系统：相应的全通系统： Hd(z)的逆系统是不稳定的，而的逆系统是不稳定的，而Hmin(z)的逆系统则是稳定的。的逆系统则是稳定的。 线性时不变系统变换分析 最小相位系统的频率相应：最小相位系统的频率相应： 线性时不变系统变换分析 全通系统的频率相应曲线：全通系统的频率相应曲线： 线性时不变系统变换分析 5.6.3 最小相位系统的性质最小相位系统的性质 最小

36、相位最小相位 - 因果稳定，逆系统因果稳定因果稳定，逆系统因果稳定 最小相位含义？最小相位含义？ 分析具有相同幅频响应的最小相位系统的特性分析具有相同幅频响应的最小相位系统的特性 （1）最小相位滞后性质）最小相位滞后性质 对任何非最小相位系统都可以表示为： H(ej) = Hmin(ej )Hap(ej ) 最小相位系统Hmin(z)的零极点都在单位圆内 其相位可表示为： 由前面的讨论 ，argHap(ej ) 0 即即 hn和-hn的系统具有相同零极点，而-1表示相位改变 （2）最小群延迟性质）最小群延迟性质 任何非最小相位系统的群延迟可表示为： 与上相同，由于grdHap(ej) 0，具有

37、与H(ej) 相同幅度响应的 Hmin(ej)其群延迟grd Hmin(ej)是最小的。 （3）最小能量延迟性质）最小能量延迟性质 如图零极点分布的FIR系统具有相同的频率响应幅度（零点互为共 轭倒数） 线性时不变系统变换分析 其中图（其中图（a）对应于最小相位系统。）对应于最小相位系统。 线性时不变系统变换分析 相应的单位脉冲响应： 比较可见，最小相位系统最左端的几个样本值如图中的h0，h1 比其它几个系统都要大。 表示：最小相位系统具体最小的能量延迟（总能量相同，时域频域） 线性时不变系统变换分析 5.7 广义线性相位的线性系统广义线性相位的线性系统 最理想的滤波器最理想的滤波器 - 频率

38、响应幅度恒定，相移为零（零相位特性）频率响应幅度恒定，相移为零（零相位特性） 因果的滤波器（实际）因果的滤波器（实际） - 非零相位非零相位 线性相位（相移）线性相位（相移） - 波形整体延迟（恒定的群延迟），波形保波形整体延迟（恒定的群延迟），波形保 持不失真持不失真 而非线性相位而非线性相位 - 波形失真波形失真 实际滤波器实际滤波器 真正或近似的线性相位系统真正或近似的线性相位系统 5.7.1 线性相位系统线性相位系统 考虑一个考虑一个LTI系统的频率响应（一个周期内）：系统的频率响应（一个周期内）： 式中式中为实数，为实数， 系统称为理想延迟系统（系统称为理想延迟系统（ideal de

39、lay system） 线性时不变系统变换分析 该系统具有恒定的幅度响应、线性相位和恒定的群延迟：该系统具有恒定的幅度响应、线性相位和恒定的群延迟： 单位脉冲响应：单位脉冲响应： 系统的输入、输出关系：系统的输入、输出关系： 如果如果= = nd 为整数，则有：为整数，则有： 线性时不变系统变换分析 表示（具有线性相位和单位增益）输出表示（具有线性相位和单位增益）输出 = 输入输入nd 个样本的移位。个样本的移位。 一般的具有线性相位的系统：一般的具有线性相位的系统： 可以看成零相位频率响应可以看成零相位频率响应| |H(ejw)| |与理想延迟系统与理想延迟系统e e-j -j的级联： 的级

40、联： 若若H(ej)是如下线性相位理想低通滤波器：是如下线性相位理想低通滤波器： 相应的单位脉冲响应：相应的单位脉冲响应： c= 即为理想延迟系统即为理想延迟系统 线性时不变系统变换分析 例例5.16 具有线性相位的理想低通滤波器具有线性相位的理想低通滤波器 频率响应频率响应 - 明确，线性相位明确，线性相位 分析其单位脉冲响应的特性分析其单位脉冲响应的特性 - hn 图（图（a）是）是c， = nd = 5 时的时的hlpn： 可见当可见当是整数时，单位脉冲是整数时，单位脉冲 响应响应hlpn是对是对n = nd 对称的。对称的。 即即 无限长，非因果无限长，非因果 线性时不变系统变换分析

41、图（图（b）是）是c， = 4.5 时的时的hlpn： 整数再加半个样本延迟。整数再加半个样本延迟。 同样可以证明：同样可以证明： 第三种情况是当第三种情况是当c， ，序列，序列hlpn没有对称性。没有对称性。 无限长，非因果 lplp 2 hnhn 线性时不变系统变换分析 结论：如果结论：如果2为整数，为整数， 即即是整数或整数再加是整数或整数再加1/2， 则单位脉冲响应是关于则单位脉冲响应是关于偶对称。偶对称。 h2-n=hn 对称性对称性 线性相位（恒定群延迟）线性相位（恒定群延迟） 无确定关系。无确定关系。 5.7.2 广义线性相位广义线性相位 线性相位系统的频率响应：线性相位系统的频

42、率响应： 实值非负的实值非负的函数函数|H(ej)|与线性相位项与线性相位项e-j的的 乘积。乘积。 相位的线性性完全与线性相位因子相位的线性性完全与线性相位因子e-j相联系。相联系。 另一种情况：另一种情况：实值的实值的函数函数A(ej) 与线性相位项与线性相位项e-j的的 乘积。乘积。 实值的实值的函数函数A(ej) - 有负值，即增添有负值，即增添的相位的相位- 非严格线性相位非严格线性相位 jj-j (e )(e ) eHH 线性时不变系统变换分析 但线性相位的很多优点也适用于这种情况，线性相位的定义与概念但线性相位的很多优点也适用于这种情况，线性相位的定义与概念 作适当推广作适当推广

43、 广义线性相位系统广义线性相位系统 定义：定义： ，实数，实数， A(ej) 是是的实函数（有正，有负）的实函数（有正，有负） 相位：相位： - + - 线性方程，同样具有恒定的群延迟线性方程，同样具有恒定的群延迟 一般的线性相位形式：一般的线性相位形式： 广义线性相位系统单位脉冲响应的对称性讨论：广义线性相位系统单位脉冲响应的对称性讨论： 频率响应可表示为：频率响应可表示为： jj-jj (e)(e)eHA jjj( -) jj (e )(e )e (e )cos()j (e )sin() HA AA 线性时不变系统变换分析 同时也可以用其定义来表示：同时也可以用其定义来表示： H(ej)相

44、位的正切可表示为：相位的正切可表示为： 交叉相乘并用三角恒等式合并，可得：交叉相乘并用三角恒等式合并，可得： 恒定群延迟系统恒定群延迟系统hn ,和和的一个必要条件的一个必要条件 线性时不变系统变换分析 上述的方程式是一个隐式，无法根据方程求得一个线性相位系统。上述的方程式是一个隐式，无法根据方程求得一个线性相位系统。 例如，满足方程的一组条件：例如，满足方程的一组条件： 用用 = 0或或代入，方程变为：代入，方程变为： 可以证明，如果可以证明，如果2是整数，是整数，hn满足上式，上述方程中的各项就能满足上式，上述方程中的各项就能 配对，以使得组成的每一对对全部配对，以使得组成的每一对对全部都

45、恒为零。都恒为零。 这组条件隐含这组条件隐含 且且A(ej) 是是的偶函数。的偶函数。 另外，若另外，若 = /2或或3/2，方程变为：，方程变为： jj-jj (e)(e)eHA 线性时不变系统变换分析 可以证明，条件：可以证明，条件： 满足上述方程，同时也表示满足上述方程，同时也表示 且且A(ej) 是是的奇函数。的奇函数。 归纳（条件）：归纳（条件）：hn关于关于2（整数）奇对称或偶对称。（整数）奇对称或偶对称。 h2-n = hn 方程方程 只是对于具有恒定群延迟（广义线性相位）系统的一个必要条件，只是对于具有恒定群延迟（广义线性相位）系统的一个必要条件， 而非充分条件，即存在其他满足

46、而非充分条件，即存在其他满足 的系统不具有上述的对称条件。的系统不具有上述的对称条件。 jj-jj (e)(e)eHA jj-jj (e)(e)eHA 线性时不变系统变换分析 得出一个结论：得出一个结论： 若若 hn关于关于2（整数）奇对称或偶对称，（整数）奇对称或偶对称， 即即 h2-n = hn 则则 hn必为线性相位或广义线性相位系统（恒定的群延时）必为线性相位或广义线性相位系统（恒定的群延时） 当然，线性相位或广义线性相位系统（恒定的群延时）当然，线性相位或广义线性相位系统（恒定的群延时） 其其hn并不一定是关于并不一定是关于2（整数）奇对称或偶对称。（整数）奇对称或偶对称。 实际使用

47、中，考虑到设计的方便实际使用中，考虑到设计的方便 将将 h2-n = hn作为设计广义线性相位系统的条件作为设计广义线性相位系统的条件 线性时不变系统变换分析 5.7.3 因果广义线性相位系统因果广义线性相位系统 上面讨论的具有奇偶对称性的上面讨论的具有奇偶对称性的hn(线性相位性线性相位性) - 无限长（非因无限长（非因 果）果） 因果的必要条件可写为：因果的必要条件可写为： 再根据再根据hn的奇偶对称条件，可得：的奇偶对称条件，可得： hn = 0, n M 结论：如果结论：如果hn的长度为（的长度为（M+1），并满足奇对称或偶对称条件，），并满足奇对称或偶对称条件， 则因果的则因果的FI

48、R系统就具有广义线性相位。系统就具有广义线性相位。 用式子表示，若：用式子表示，若： 可以证明：可以证明： Ae(ej) 是是的实、偶、周期函数的实、偶、周期函数 线性时不变系统变换分析 同样，若：同样，若： 就有：就有： 式中式中Ao(ej) 是是的实、奇、周期函数的实、奇、周期函数 广义线性相位系统广义线性相位系统FIR系统系统 （关系，（关系，IIR系统）系统） FIR广义线性相位系统的广义线性相位系统的4种类型：种类型： （1） hn = hM-n, 0n M， M为偶整数为偶整数 频率响应：频率响应： 由对称性由对称性 其中其中 线性时不变系统变换分析 （2） h n = hM-n,

49、 0n M， M为奇整数为奇整数 频率响应：频率响应： （3）h n = - hM-n, 0n M， M为偶整数为偶整数 频率响应：频率响应： （4）h n = - hM-n, 0n M， M为奇整数为奇整数 频率响应：频率响应： 线性时不变系统变换分析 4种种FIR线性相位系统的例子：线性相位系统的例子： 线性时不变系统变换分析 例例5.17 第一种线性相位系统第一种线性相位系统 单位脉冲响应：单位脉冲响应： 频率响应：频率响应： M = 4，群延迟群延迟 = 2 线性时不变系统变换分析 例例5.18 第二种线性相位系统第二种线性相位系统 hn延长一个样本，延长一个样本，M = 5, = 5

50、/2 频率响应：频率响应： 线性时不变系统变换分析 例例5.19 第三种线性相位系统第三种线性相位系统 M = 2，群延迟群延迟 = 1 线性时不变系统变换分析 例例5.20 第四种线性相位系统第四种线性相位系统 M =1，群延迟群延迟 线性时不变系统变换分析 FIR线性相位系统的零点位置线性相位系统的零点位置 系统函数：系统函数： 对于对于hn 对称情况（第一、二种类型）对称情况（第一、二种类型） 如果如果z0是是H(z)的零点，那么，的零点，那么， 因为因为z0-M 不为零，不为零， 表示表示z0 = rej是零点，是零点， z0-1 = r-1e-j也是也是H(z)的零点。的零点。 若若

51、hn是实序列，是实序列， z0* = re-j以及以及(z0*)-1 = r-1ej也是也是H(z)的零点。的零点。 零点组（零点组（4个）：个）： 线性时不变系统变换分析 零点在单位圆上，但不在实轴上情况：零点在单位圆上，但不在实轴上情况： 零点在实轴，但不在单位圆上情况：零点在实轴，但不在单位圆上情况： 零点既在实轴，又在单位圆上情况（零点既在实轴，又在单位圆上情况（z=1）：）： z = -1情况情况 M为偶数：为偶数： H(-1) = H(-1) M为奇数：为奇数：H(-1) = -H(-1) H(-1) = 0 z = -1必定是系统的零点。必定是系统的零点。 对于对于hn反对称情况（第三、四种类型）反对称情况（第三、四种类型） 可以证明：可以证明： 线性时不变系统变换分析 零点的约束情况同上，但零点的约束情况同上，但z = 1 和和z = -1情况有特殊意义：情况有特殊意义： 对对z = 1 ，有：，有：H(1) = -H(1) 无论无论M奇偶奇偶z = 1 必定是系统的零点。必定是系统的零点。 对对z = -1， H(-1) = (-1)-M+1H(-1) 若（若（M-1）为奇（）为奇（M为偶）：为偶）： H(-1) = -H(-