测量误差和数据处理办法

1、测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法1 第二章第二章 测量误差和数据处理测量误差和数据处理 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法2 难点重点难点重点 v正态分布的标准差、近似标准差（贝塞正态分布的标准差、近似标准差（贝塞 尔公式）尔公式） v直接测量的数学表达式直接测量的数学表达式 v误差的合成误差的合成 v间接测量误差的传递间接测量误差的传递 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法3 第一节第一节 测量误差测量误差 测量误差：测得值与被测量真值之差。测量误差：测得值与被测量真值之差。 特点：具有必然性和普遍性，只能限制在特点：具有必然性和普遍性，只能限制在 一定范围内，

2、而不能完全消除。一定范围内，而不能完全消除。 人们必须认真对待测量误差，研究减少误差人们必须认真对待测量误差，研究减少误差 的方法以及对测量结果进行科学处理。的方法以及对测量结果进行科学处理。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法4 一、误差一、误差 1、真值、真值 0 A 指一个物理量在一定条件下所呈现的真实数值。指一个物理量在一定条件下所呈现的真实数值。 由于理想的量具无法得到，以及测量过程中主、由于理想的量具无法得到，以及测量过程中主、 客观因素的影响，真值实际上是无法得到的。客观因素的影响，真值实际上是无法得到的。 2、指定值、指定值 s A 以法令形式指定的尽可能维持不变实物

3、标准所以法令形式指定的尽可能维持不变实物标准所 体现的量值。体现的量值。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法5 3、实际值、实际值A 国家基准所体现的计量单位通过一系列的实物国家基准所体现的计量单位通过一系列的实物 计量标准逐级比较传递到到日常工作仪器或量具上计量标准逐级比较传递到到日常工作仪器或量具上 去，在每一级的比较中，都以上一级标准所体现的去，在每一级的比较中，都以上一级标准所体现的 值当作准确无误的值，通常称为实际值，也叫相对值当作准确无误的值，通常称为实际值，也叫相对 真值。真值。 4、标称值、标称值 测量器具上标定的数值称为标称值。测量器具上标定的数值称为标称值。 测量

4、误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法6 5、示值、示值 由测量器具指示的被测量量值称为测量器具由测量器具指示的被测量量值称为测量器具 的示值，亦称为测得值或测量值，它包括数值的示值，亦称为测得值或测量值，它包括数值 和单位。和单位。 6、单次测量与多次测量、单次测量与多次测量 单次测量是用测量仪器对待测量对象进行一单次测量是用测量仪器对待测量对象进行一 次测量的过程。次测量的过程。 特点：不能反映测量结果的精密度，只能用特点：不能反映测量结果的精密度，只能用 于测量精度要求不高的场合。于测量精度要求不高的场合。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法7 多次测量是用测量仪器对待测量对

5、象进行多多次测量是用测量仪器对待测量对象进行多 次重复测量的过程。次重复测量的过程。 特点：可以观察测量结果的精密度，通常特点：可以观察测量结果的精密度，通常 要求较高的精密测量都要进行多次测量。要求较高的精密测量都要进行多次测量。 7、等精度测量与非等精度测量、等精度测量与非等精度测量 在保持测量条件不变的情况下对同一被测量在保持测量条件不变的情况下对同一被测量 对象进行的多次测量过程，称为等精度测量。对象进行的多次测量过程，称为等精度测量。 如在同一被测量对象的多次重复测量过程中，如在同一被测量对象的多次重复测量过程中， 并非所有的测量条件都维持不变，这样的测量并非所有的测量条件都维持不变

6、，这样的测量 过程称为非等精度测量，也称为不等精度测量。过程称为非等精度测量，也称为不等精度测量。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法8 二、误差的表示方法二、误差的表示方法 1、绝对误差、绝对误差 0 Axx定义式：定义式： 由于真值一般无法得到，因此常用由于真值一般无法得到，因此常用 0 A代替代替A Axx 注意：注意： 单位，与测得值和实际值相同；单位，与测得值和实际值相同； 符号，表示测量值与实际值的大小。符号，表示测量值与实际值的大小。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法9 2、相对误差、相对误差 (1) 实际相对误差实际相对误差 %100 A x A (2)

7、示值相对误差示值相对误差 %100 x x x (3) 满度相对误差满度相对误差 测量仪器量程内最大绝对误差测量仪器量程内最大绝对误差 与测与测 量仪器满度值量仪器满度值(量程上限值量程上限值) 的百分比。的百分比。 m x m x 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法10 通过满度误差可以给出仪表各量程内绝对通过满度误差可以给出仪表各量程内绝对 误差的最大值：误差的最大值： mmm xx 在我国，大部分仪表的准确度等级在我国，大部分仪表的准确度等级S是按満是按満 度误差度误差 分级的，分别有分级的，分别有0.1，0.2，0.5，1.0， 1.5，2.5，5级等。级等。 m 如某电表如

8、某电表S=0.2，表明它的准确度度等级为，表明它的准确度度等级为 0.2级，它的满度误差不超过级，它的满度误差不超过0.2级，满度误差不级，满度误差不 超过超过0.2%，即，即 。%2 . 0 m 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法11 第二节第二节 测量误差的来源测量误差的来源 测量误差的主要来源：测量误差的主要来源： 1. 仪器误差仪器误差 仪器误差是由于仪器设计、制造、装配、检仪器误差是由于仪器设计、制造、装配、检 定等不完善以及仪器使用过程中元器件老化、磨定等不完善以及仪器使用过程中元器件老化、磨 损、疲劳等因素造成的误差，也称为设备误差。损、疲劳等因素造成的误差，也称为设备

9、误差。 减少仪器误差的主要途径：正确选择测量方减少仪器误差的主要途径：正确选择测量方 法和使用测量仪器，如检查所使用仪器的出厂合法和使用测量仪器，如检查所使用仪器的出厂合 格证及检定合格证，在额定工作条件下按使用要格证及检定合格证，在额定工作条件下按使用要 求操作等等。求操作等等。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法12 2. 人身误差人身误差 人身误差主要指由于测量者感官的分辨能力、人身误差主要指由于测量者感官的分辨能力、 视觉疲劳、固有习惯等，对实验中的现象与结果视觉疲劳、固有习惯等，对实验中的现象与结果 判断不准确从而造成的误差。判断不准确从而造成的误差。 减少人身误差的主要途

10、径：提高操作技能和减少人身误差的主要途径：提高操作技能和 工作责任心；采用更合适的测量方法；采用数字工作责任心；采用更合适的测量方法；采用数字 式显示的仪表等等。式显示的仪表等等。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法13 3. 影响误差影响误差 影响误差是指由于环境条件与要求条件不一影响误差是指由于环境条件与要求条件不一 致而造成的误差。如：环境温度、电源电压及电致而造成的误差。如：环境温度、电源电压及电 磁干拢等。磁干拢等。 减少影响误差的主要途径：尽量使环境条件减少影响误差的主要途径：尽量使环境条件 符合测量要求或求出环境条件对测量的影响值，符合测量要求或求出环境条件对测量的影响

11、值， 并对测量数据进行处理。并对测量数据进行处理。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法14 4. 方法误差方法误差 方法误差是指所使用的方法不当，或对设备方法误差是指所使用的方法不当，或对设备 操作使用不当，或测量所依据的理论不严格等原操作使用不当，或测量所依据的理论不严格等原 因而造成的误差，也称为理论误差，通常以系统因而造成的误差，也称为理论误差，通常以系统 误差的形式表现出来。误差的形式表现出来。 消除方法误差的途径：原则上可以通过理论消除方法误差的途径：原则上可以通过理论 分析和计算或改变测量方法加以消除或修正。分析和计算或改变测量方法加以消除或修正。 测量误差和数据处理办法

12、测量误差和数据处理办法15 第三节第三节 误差的分类误差的分类 按误差的基本性质和特点，可分为：按误差的基本性质和特点，可分为： 1. 系统误差系统误差 在多次等精度测量同一恒定值时，误差的绝在多次等精度测量同一恒定值时，误差的绝 对值和符号保持不变，或当条件改变时按某种规对值和符号保持不变，或当条件改变时按某种规 律变化的误差，称为系统误差，简称系差。体现律变化的误差，称为系统误差，简称系差。体现 测量的正确度。测量的正确度。 系系 差差 恒定系差恒定系差 变值系差变值系差 ：系差的大小、符号保持不变。：系差的大小、符号保持不变。 ：系差的大小、符号改变。：系差的大小、符号改变。 累进性系差

13、累进性系差 周期性系差周期性系差 复杂规律变化系差复杂规律变化系差 ：系差递增或递减变化：系差递增或递减变化 ：系差周期性变化：系差周期性变化 按系差的变化情况，又可分为：按系差的变化情况，又可分为： 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法16 系统误差主要特点：具有可重复性，用多系统误差主要特点：具有可重复性，用多 次测量取平均值的方法不能改变或消除系差。次测量取平均值的方法不能改变或消除系差。 系统误差产生的主要原因：系统误差产生的主要原因： 仪器设计及制作上的缺陷；仪器设计及制作上的缺陷； 测量时的环境影响；测量时的环境影响； 采用近似的测量方法或计算公式；采用近似的测量方法或计算

14、公式； 测量人员的习惯等。测量人员的习惯等。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法17 2. 随机误差随机误差 对同一恒定值进行多次等精度测量时，其绝对同一恒定值进行多次等精度测量时，其绝 对值和符号无规则变化的误差，称为随机误差，对值和符号无规则变化的误差，称为随机误差， 也叫偶然误差。体现多次测量的精密度。也叫偶然误差。体现多次测量的精密度。 随机误差的特点：随机误差的特点： 有界性。误差的绝对值波动有一定界限；有界性。误差的绝对值波动有一定界限； 对称性。正负误差出现的机率几乎相同；对称性。正负误差出现的机率几乎相同； 抵偿性。随机误差的算术平均值趋于零。抵偿性。随机误差的算术平

15、均值趋于零。 因此，可以通过多次测量取平均值的方法来因此，可以通过多次测量取平均值的方法来 减少随机误差的影响。减少随机误差的影响。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法18 随机误差产生的主要原因：随机误差产生的主要原因： 仪器元器件的噪声以及零部件配合的不稳定等；仪器元器件的噪声以及零部件配合的不稳定等； 温度及电源电压的无规则波动、电磁干扰等；温度及电源电压的无规则波动、电磁干扰等； 测量人员感官的无规则变化从而造成读数不稳定测量人员感官的无规则变化从而造成读数不稳定 等。等。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法19 N(t) A x N(t) A x N(t) A x

16、 N(t) A x 只有随机只有随机 误差误差 累进系统累进系统 误差误差 恒定系统恒定系统 误差误差 周期性系统周期性系统 误差误差 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法20 3. 粗大误差粗大误差 在一定测量条件下，测量值明显偏离实际值在一定测量条件下，测量值明显偏离实际值 所形成的误差称为粗大误差，简称粗差。它不能所形成的误差称为粗大误差，简称粗差。它不能 反映被测量的真实数值，应当剔除。反映被测量的真实数值，应当剔除。 系统误差产生的主要原因：系统误差产生的主要原因： 测量方法不当或错误；测量方法不当或错误； 测量操作疏忽或失误；测量操作疏忽或失误； 测量条件的突然变化等。测量

17、条件的突然变化等。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法21 第四节第四节 随机误差分析随机误差分析 就单次测量而言，随机误差没有规就单次测量而言，随机误差没有规 律，但当测量次数足够多时，则服从正律，但当测量次数足够多时，则服从正 态分布规律，随机误差的特点为态分布规律，随机误差的特点为对称性、对称性、 有界性、单峰性、抵偿性。有界性、单峰性、抵偿性。 f() 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法22 问题问题 测量总是存在误差，而且误差究竟等测量总是存在误差，而且误差究竟等 于多少难以确定，那么，从测量值如何得于多少难以确定，那么，从测量值如何得 到真实值呢？到真实值呢？

18、例如，测量室温，例如，测量室温，6次测量结果分别为次测量结果分别为 19.2,19.3,19.0,19.0,22.3,19.5,19.2,19.3,19.0,19.0,22.3,19.5, 那么室温究竟是多少呢？那么室温究竟是多少呢？ x=A ，置信概率为置信概率为p x的真值落在的真值落在A- ， A+ 区间内的概率为区间内的概率为p。 A和和 如何确定呢？如何确定呢？ 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法23 一测量值的数学期望和标准差一测量值的数学期望和标准差 1数学期望数学期望 对被测量对被测量x进行等精度进行等精度n次测量，得次测量，得 到到n个测量值个测量值x1，x2，x3

19、，xn。则。则n 个测得值的算术平均值为：个测得值的算术平均值为： n i in xx 1 1 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法24 当测量次数当测量次数 时，样本平均值的极时，样本平均值的极 限定义为测得值的数学期望。限定义为测得值的数学期望。 n i in n x xE 1 1 lim Axi i nAx n i i n i i 11 v当测量次数当测量次数 时，测量值的时，测量值的 数学期望等于被测量的真值。数学期望等于被测量的真值。 n n ? 分析：分析： 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法25 根据随机误差的抵偿特性，当根据随机误差的抵偿特性，当 时时 =0，

20、即，即 n i i 1 x n i in n i i ExAnAx 1 1 1 n 所以，当测量次数所以，当测量次数 时，测时，测 量值的数学期望等于被测量的真值。量值的数学期望等于被测量的真值。 n nAx n i i n i i 11 1 11 nn iixn ii xnAAxE 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法26 2剩余误差（残差）剩余误差（残差） 当进行有限次测量时，测得值与算术当进行有限次测量时，测得值与算术 平均值之差，称为剩余误差。平均值之差，称为剩余误差。 数学表达式：数学表达式：xxv ii 0 1 1 111 n i in n i i n i i n i i

21、xnxxnxv 对上式两边求和得：对上式两边求和得： 所以可得剩余误差得代数和为所以可得剩余误差得代数和为0。 0 1 1 111 n i in n i i n i i n i i xnxxnxv 0 1 1 111 n i in n i i n i i n i i xnxxnxv 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法27 n i in n n i xin n Ex 1 2 1 1 2 1 2 limlim )( 4标准差（标准误差，均方根误差）标准差（标准误差，均方根误差） 对方差开平方，称为标准差。对方差开平方，称为标准差。 n i in n1 2 1 lim 反映了测量的精密度，

22、反映了测量的精密度，小表示精密度高，测小表示精密度高，测 得值集中，得值集中，大，表示精密度低，测得值分散。大，表示精密度低，测得值分散。 3. 方差方差 时测量值与期望值之差的时测量值与期望值之差的 平方的统计平均值称为方差。平方的统计平均值称为方差。 n 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法28 f() 二随机误差的正态分析二随机误差的正态分析 1正态分布正态分布 高斯于高斯于1809年推导出描述随机误差统计年推导出描述随机误差统计 特性的解析方程式，称高斯分布规律。特性的解析方程式，称高斯分布规律。 2 2 2 2 1 )( ef 随机误差随机误差 标准差标准差 曲线下面的面积对

23、应随机误差在不曲线下面的面积对应随机误差在不 同区间出现的概率。同区间出现的概率。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法29 例如：例如： )()( ba pdf b a 1)()( pdf %3 .68)()( pdf f() )()( ba pdf b a )()( ba pdf b a %3 .68)()( pdf%3 .68)()( pdf 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法30 从正态分布曲线可看出：从正态分布曲线可看出： 绝对值越小，绝对值越小， 越大，说明绝对值小的误越大，说明绝对值小的误 差出现的概率大。差出现的概率大。 大小相等符号相反的误差出现的概率相等。

24、大小相等符号相反的误差出现的概率相等。 ( (随机误差的对称性和抵偿性随机误差的对称性和抵偿性) ) f() )(f 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法31 越小，正态分布曲线越尖锐，越小，正态分布曲线越尖锐，越大，越大， 正态分布曲线越平缓。说明正态分布曲线越平缓。说明反映了测反映了测 量的精密度。量的精密度。 =1 =2 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法32 2 2极限误差极限误差 从上式可见，随机误差绝对值大于从上式可见，随机误差绝对值大于3 的概率很小，只有的概率很小，只有0.3%0.3%，出现的可能性很，出现的可能性很 小。因此定义：小。因此定义： %7 .99

25、)33()( 3 3 pdf 3 为极限误差，也称为最大误差。为极限误差，也称为最大误差。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法33 随机误差的特点随机误差的特点 单峰性单峰性 误差绝对值越小，出现密度越大，误差绝对值越小，出现密度越大， 误差绝对值越大，出现密度越小误差绝对值越大，出现密度越小 对称性对称性 绝对值相同，符号相反的误差出现绝对值相同，符号相反的误差出现 的概率相等的概率相等 抵偿性抵偿性 当测量当测量次数次数n时，误差总和为零时，误差总和为零 有界性有界性 误差落误差落-3 , 3 的概率为的概率为0.9973 3 也称为极限误差或者误差限也称为极限误差或者误差限 测

26、量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法34 3 3贝塞尔公式贝塞尔公式 n i in n1 2 1 lim 当测量次数当测量次数 n时，可以用标准差时，可以用标准差 来表征测量值的分散程度。来表征测量值的分散程度。 n i i v n 1 2 1 1 贝塞尔公式贝塞尔公式 但在实际中，测量次数但在实际中，测量次数n为有限值，因此，我们为有限值，因此，我们 采用残差采用残差 代替随机误差代替随机误差 有限次测量标准误差的最佳估计值有限次测量标准误差的最佳估计值 （近似标准误差）（近似标准误差） i v i 注意注意 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法35 4.算术平均值的标准差算术

27、平均值的标准差 在有限次测量中，平均值标准差的最佳估在有限次测量中，平均值标准差的最佳估 计值计值(近似平均值标准误差）近似平均值标准误差） 2 1 1 (1) n i x i v nnn 1 1 lim(), m j x m j x mn n i i x v nn n 1 2 ) 1( 1 / 在相同条件下对同一被测对象分组测量，由在相同条件下对同一被测对象分组测量，由 于随机误差的存在，各组的算术平均值围绕真值于随机误差的存在，各组的算术平均值围绕真值 有一定分散性，即存在随机误差。有一定分散性，即存在随机误差。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法36 三有限次测量下测量结果表达

28、式三有限次测量下测量结果表达式 步骤：步骤： 1）列出测量数据表；）列出测量数据表； 2）计算算术平均值）计算算术平均值 、 、 ； xi v 2 i v 3）计算）计算 和和 ； x 置信概率置信概率0.9973 x x3 x x x x2 置信概率置信概率0.9545 置信概率置信概率0.6827 4）给出最终测量结果表达式：）给出最终测量结果表达式： 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法37 第五节第五节 系统误差分析系统误差分析 N(t) A x N(t) A x N(t) A x 累进系统误差累进系统误差 恒定系统误差恒定系统误差 周期性系统误差周期性系统误差 一、分类：一、

29、分类： 恒定系统误差恒定系统误差 变化系统误差变化系统误差 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法38 二、系统误差的判断二、系统误差的判断 1理论分析法，可通过对测量方法的定性分理论分析法，可通过对测量方法的定性分 析发现测量方法或测量原理引入的系统误差。析发现测量方法或测量原理引入的系统误差。 2校准和比对法：测量仪器定期进行校准或校准和比对法：测量仪器定期进行校准或 检定并在检定书中给出修正值。检定并在检定书中给出修正值。 3改变测量条件法：根据在不同的测量条件改变测量条件法：根据在不同的测量条件 下测得的数据进行比较，可能发现系统误差。下测得的数据进行比较，可能发现系统误差。 4

30、剩余误差观察法：根据测量数据列剩余误剩余误差观察法：根据测量数据列剩余误 差的大小及符号变化规律可判断有无系统误差的大小及符号变化规律可判断有无系统误 差及误差类型，这种方法不能发现定值系统差及误差类型，这种方法不能发现定值系统 误差。误差。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法39 三消除系统误差产生的根源三消除系统误差产生的根源 要减少系统误差要注意以下几个方面：要减少系统误差要注意以下几个方面： 1采用的测量方法及原理正确。采用的测量方法及原理正确。 2选用的仪器仪表的类型正确，准确度满选用的仪器仪表的类型正确，准确度满 足要求。足要求。 3测量仪器应定期校准、检定，测量前要测量

31、仪器应定期校准、检定，测量前要 调零，应按照操作规程正确使用仪器。对于调零，应按照操作规程正确使用仪器。对于 精密测量必要时要采取稳压、恒温、电磁屏精密测量必要时要采取稳压、恒温、电磁屏 蔽等措施。蔽等措施。 4条件许可，尽量采用数显仪器。条件许可，尽量采用数显仪器。 5提高操作人员的操作水平及技能。提高操作人员的操作水平及技能。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法40 四削弱系统误差的方法四削弱系统误差的方法 1零示法零示法:把待测量与标准量相比较，当两者把待测量与标准量相比较，当两者 效应互相抵消时，已知标准量的数值就是被效应互相抵消时，已知标准量的数值就是被 测量的数值。测量的

32、数值。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法41 2替代法（置换法）：在测量条件不变的替代法（置换法）：在测量条件不变的 情况下，用一标准已知量替代待测量，通过情况下，用一标准已知量替代待测量，通过 调整标准量使仪器示值不变，于是标准量的调整标准量使仪器示值不变，于是标准量的 值等于被测量。值等于被测量。 这两种方法主要用来消除定值系统误差。这两种方法主要用来消除定值系统误差。 231 / RRRRx 都有误差，由于 231 RRR ssxx RRRR 用标准电阻用标准电阻Rs代替代替Rx )( )( 22 3311 RR RRRR RR xx 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理

33、办法42 3利用修正值或修正因数加以消除。利用修正值或修正因数加以消除。 4随机化处理随机化处理 5智能仪器中系统误差的消除智能仪器中系统误差的消除 （1）直流零位校准。）直流零位校准。 （2）自动校准。）自动校准。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法43 第六节第六节 误差的合成、间接测量的误误差的合成、间接测量的误 差传递与分配差传递与分配 一误差合成一误差合成 由多个不同类型的单项误差求测量中由多个不同类型的单项误差求测量中 的总误差是误差合成问题。的总误差是误差合成问题。 1、随机误差合成随机误差合成 若测量结果中有若测量结果中有k个彼此独立的随机误差，各个彼此独立的随机误差

34、，各 个随机误差互不相关，各个随机误差的标准方差个随机误差互不相关，各个随机误差的标准方差 分别为分别为1 1、2 2、3 3、k k则随机误差合成的则随机误差合成的 总标准差总标准差为：为： k i i 1 2 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法44 若以极限误差表示，则合成的极限误差为：若以极限误差表示，则合成的极限误差为： k i i ll 1 2 当随机误差服从正态分布时，对应的极限误当随机误差服从正态分布时，对应的极限误 差。差。 ii l3 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法45 2 2、系统误差的合成、系统误差的合成 （1）确定的系统误差的合成）确定的系统误差

35、的合成 又称已定系统误差，是指测量误差的大小、又称已定系统误差，是指测量误差的大小、 方向和变化规律是可以掌握的。只要是已定方向和变化规律是可以掌握的。只要是已定 的系统误差，都应当用代数合成的方法计算的系统误差，都应当用代数合成的方法计算 其合成误差。其合成误差。 表达式：表达式： m i im 1 21 由于所得结果是明确大小和方向的数值，故由于所得结果是明确大小和方向的数值，故 可直接在测量结果中修正，在一般情况下最可直接在测量结果中修正，在一般情况下最 后测量结果不应含有已定系统误差的内容。后测量结果不应含有已定系统误差的内容。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法46 （2

36、2）不确定系统误差的合成）不确定系统误差的合成 不确定系统误差又称未定系统误差，指测量不确定系统误差又称未定系统误差，指测量 误差既具有系统误差可知的一面，又具有不可预误差既具有系统误差可知的一面，又具有不可预 测的随机误差一面。在通常情况下，未定系统误测的随机误差一面。在通常情况下，未定系统误 差多以极限误差的形式给出误差的最大变化范围。差多以极限误差的形式给出误差的最大变化范围。 绝对值合成法：绝对值合成法： 当当m m大于大于1010时，合成误差估计值往往偏大。一般应时，合成误差估计值往往偏大。一般应 用于用于m m小于小于1010。 m i im 1 21 )( 表达式：表达式： 测量

37、误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法47 (2)(2)方和根合成法方和根合成法 一般应用于一般应用于m m大于大于1010。 m i i k m 1 22 2 2 1 表达式：表达式： 例例5 5： 0.5级，量程级，量程0600kPa，分度值，分度值 2kPa，h=0.05m，读数，读数300kPa，指，指 针来回摆动针来回摆动1个格，环境温度个格，环境温度 30C，偏离，偏离1C的附加误差为基本的附加误差为基本 误差的误差的4%。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法48 仪表精度等级引起的误差：仪表精度等级引起的误差： 读数误差（即分度误差）读数误差（即分度误差） 2kpa2

38、kpa 2 p kpa2 . 6)2 . 123(p kpa2 . 1%4310 3 p 环境温度引起误差：环境温度引起误差： kpa5 . 010100005. 0 4 ghp 安装位置引起的误差：安装位置引起的误差： 前三项属于未定系统误差，最后一项属前三项属于未定系统误差，最后一项属 于已定系统误差。于已定系统误差。 前三项按绝对值合成法：前三项按绝对值合成法： 300.56.2kPaP kpa3)600%5 . 0()( 1 mj Lp基本误差：基本误差： 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法49 3 3随机误差与系统误差的合成随机误差与系统误差的合成 其中其中为已定系统误差，

39、为已定系统误差，e为未定系统误为未定系统误 差，差，l为随机误差的极限误差。为随机误差的极限误差。 le 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法50 二间接测量的误差传递二间接测量的误差传递 研究函数误差一般有以下三个内容：研究函数误差一般有以下三个内容： 已知函数关系及各个测量值的误差，求函数即已知函数关系及各个测量值的误差，求函数即 间接测量的误差。间接测量的误差。 已知函数关系及函数的总误差，分配各个测量已知函数关系及函数的总误差，分配各个测量 值的误差。值的误差。 确定最佳测量条件，使函数误差达到最小。确定最佳测量条件，使函数误差达到最小。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处

40、理办法51 1 1函数误差传递的基本公式函数误差传递的基本公式 假设间接测量的数学表达式为：假设间接测量的数学表达式为： 将上式按泰勒级数展开将上式按泰勒级数展开 ),( 21n xxxfy 直接测量值直接测量值 间接测量值间接测量值 n n n x x f x x f x x f xxxfyy 2 2 1 1 21 ),( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 n n x x f x x f x x f 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法52 略去高阶项略去高阶项 绝对误差：绝对误差： n i i i n n x x f x x f x x f

41、 x x f y 1 2 2 1 1 n i i i n n y x x f y x x f y x x f y x x f y y 1 2 2 1 1 相对误差：相对误差： 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法53 2 2系统误差的函数传递系统误差的函数传递 当系统误差为已定系统误差时将各直接测当系统误差为已定系统误差时将各直接测 量的系统误差代入量的系统误差代入上式上式计算即可。当系统误计算即可。当系统误 差为未定系统误差，当各分项数小于差为未定系统误差，当各分项数小于10可采可采 用绝对和法，当各分项数大于用绝对和法，当各分项数大于10可采用方和可采用方和 根法。根法。 绝对和法

42、：绝对和法： n i i i x x f y 1 方和根法方和根法： n i i i x x f y 1 2 2 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法54 （1）和差函数的误差传递）和差函数的误差传递 设设 ， 则绝对误差则绝对误差 21 xxy 21 xxy 21 xxy 2 21 2 21 1 221 22 121 11 21 21 1 xxy xx x xx x xxx xx xxx xx xx xx y y 2 21 2 21 1 221 22 121 11 21 21 1 xxy xx x xx x xxx xx xxx xx xx xx y y 若误差符号不确定：若误差符号

43、不确定： 相对误差：相对误差： 12 12 ff yxx xx 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法55 （2）积函数误差传递）积函数误差传递 设设 ， 则绝对误差则绝对误差 21 xxy 2112 xxxxy 21 21 2112 xxy xx xxxx y y 21 xxy 若误差符号不确定：若误差符号不确定： 相对误差：相对误差： 12 12 ff yxx xx 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法56 （3）商函数误差传递）商函数误差传递 设设 ，则绝对误差，则绝对误差 2 1 x x y 2 2 2 1 1 2 1 x x x x x y 21 xxy y y 相对误

44、差：相对误差： 21 xxy 若误差符号不确定：若误差符号不确定： 12 12 ff yxx xx 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法57 （4）幂函数的误差传递）幂函数的误差传递 设设 ，则绝对误差，则绝对误差 nm xkxy 21 2 1 2112 1 1 xxknxxxkmxy nmm 21 xxy nm y y 相对误差：相对误差： 21 xxy nm 若误差符号不确定：若误差符号不确定： 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法58 例例6：已知：已知：R1=1k，R2=2 k， ， ， 求求 。 %5 1 R %5 2 R 21 RRR R %5 21 21 2 21

45、 1 RRR RR R RR R 解：解： 结论：相对误差相同的电阻串联后总电阻的结论：相对误差相同的电阻串联后总电阻的 相对误差保持不变。相对误差保持不变。 %5 21 21 2 21 1 RRR RR R RR R 12 5%5% 1212 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法59 例例7 7：温度表量程为：温度表量程为100100，精度等级，精度等级1 1 级，级，t t1 1=65=65，t t2 2=60=60，计算温差的相，计算温差的相 对误差。对误差。 解解1 1： 1%1100 m t 121 12 2 240% 5 mm t tt tt 解 ：%40 5 2 21 2

46、11 tt tt mm t %40 5 2 21 211 tt tt mm t 1 1 1.5% 65 t 2 1 1.7% 60 t 12 6560 39.9% 65606560 ttt 12 6560 39.9% 65606560 ttt 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法60 例例8：已知：已知 ， ， ， ，求，求 。 RtIQ 2 %2 i %1 R %5 . 0 t Q %5 . 52 tRiQ 解：解： 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法61 3 3随机误差的函数传递随机误差的函数传递 ),( 21n xxxfy 已 知 各 个 直 接 测 量 的 标 准 误

47、已 知 各 个 直 接 测 量 的 标 准 误 差差 ， ， ，则，则 1 x 2 x n x n i x i x n xxy in x f x f x f x f 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 21 n i n i x i x n xxy D x f x f x f x f in 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 21 部分误差部分误差 i ix i f D x 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法62 n i x i x n xxy yx f yx f yx f yx f y in 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 21 n i x i x

48、 n xxy yx f yx f yx f yx f y in 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 21 相对误差相对误差 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法63 三间接测量的误差分配三间接测量的误差分配 解决误差分配问题。通常采取的方法为解决误差分配问题。通常采取的方法为 等作用原则，调整原则。等作用原则，调整原则。 所谓等作用原则，即假设各直接测量的所谓等作用原则，即假设各直接测量的 部分误差相等部分误差相等D D1 1=D=D2 2= =D Dn n y n D 1 按照等作用原则进行误差分配并不合理，主按照等作用原则进行误差分配并不合理，主 要原因，在实际应用中，有些

49、量达到高精度测要原因，在实际应用中，有些量达到高精度测 量比较困难，要付出很高代价，而有些则相对量比较困难，要付出很高代价，而有些则相对 较容易。故需要根据实际情况进行调整。较容易。故需要根据实际情况进行调整。 22 1 n yi DnD 22 1 n yi DnD 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法64 例例9：散热器装置：散热器装置： ，设计，设计 工况工况L=50L/h，进出口温差，进出口温差 。 )( 21 ttcLQ 25t 22 2 22 1 2 2 21 Qt f Qt f QL f Q tt L Q %10 22 2 22 1 2 2 21 Qt f Qt f QL

50、f Q tt L Q 按照题意，误差应写成极限误差的形式。即按照题意，误差应写成极限误差的形式。即 分析：直接测量为流量分析：直接测量为流量L，散热器进出口，散热器进出口 温度温度t1、t2。间接测量为热量。间接测量为热量Q。要求测。要求测 量误差小于等于量误差小于等于10%。 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法65 按照等作用原则，可得流量及温差的部按照等作用原则，可得流量及温差的部 分误差分别为分误差分别为7.1%。 再根据实际情况选择调整。再根据实际情况选择调整。 2 11 2 2 2 1 2 2 21 2 2 21 1 2 tt tt L L tt t tt t L L 测量误差和数据处理办法测量误差和数据处理办法66 第五节第五节 测量数据的处理测量数据的处理 一有效数字的处理一有效数字的处理 1有效数字：从数字的左边第一个不为零的数字有效数字：从数字的左边第一个不为零的数字 起，到右面最后一个数字