协整和误差修正模型

1、协整与误差修正模型协整与误差修正模型 拟解决的问题：拟解决的问题： （1）利用协整和误差修正模型研究交通流量和经济增长）利用协整和误差修正模型研究交通流量和经济增长 的长期均衡关系和短期的动态调整过程，促进交通和经的长期均衡关系和短期的动态调整过程，促进交通和经 济的协调发展。同时可以利用长期均衡方程进行长期预济的协调发展。同时可以利用长期均衡方程进行长期预 测，误差修正模型进行短期的预测。测，误差修正模型进行短期的预测。 （2）针对交通流量和经济增长存在时间上的不一致现象，）针对交通流量和经济增长存在时间上的不一致现象， 可以采用分布滞后模型。可以采用分布滞后模型。 （3）模型预测精度的控制

2、和把握。）模型预测精度的控制和把握。 1 虚假回归（伪回归）虚假回归（伪回归） 伪回归的出现说明模型的设定出现了问题，有伪回归的出现说明模型的设定出现了问题，有可能可能 要要增加或减少解释变量，或者把原方程进行差分，以使增加或减少解释变量，或者把原方程进行差分，以使残残 差差序列达到平稳序列达到平稳。 如果一个回归模型有很高的拟合优度，但是如果一个回归模型有很高的拟合优度，但是DW检验检验 的值距离的值距离2较远，就应该怀疑这是伪回归。当时间序列非较远，就应该怀疑这是伪回归。当时间序列非 平稳时，经常会出现伪回归现象。因为非平稳时间序列具平稳时，经常会出现伪回归现象。因为非平稳时间序列具 有趋

3、势性（包括确定性或随机性趋势），回归模型错误地有趋势性（包括确定性或随机性趋势），回归模型错误地 把非平稳时间序列的趋势性作为它们之间相关的证据。把非平稳时间序列的趋势性作为它们之间相关的证据。 一、协整（一、协整（Co-intergration） 多数经济或金融时间序列都是非平稳的，例如消费多数经济或金融时间序列都是非平稳的，例如消费 C和国民收入和国民收入Y都是单位根过程。为了研究二者之间的关都是单位根过程。为了研究二者之间的关 系，一种方法是对它们进行系，一种方法是对它们进行差分差分，得到平稳变量，然后，得到平稳变量，然后 对差分后的变量对差分后的变量C 和和Y进行回归。但这种方法的缺进

4、行回归。但这种方法的缺 陷是只揭示了收入增长和消费增长之间的关系，而不是陷是只揭示了收入增长和消费增长之间的关系，而不是 收入和消费这两个变量之间的关系。针对这一问题，收入和消费这两个变量之间的关系。针对这一问题，20 世纪世纪80年代恩格尔年代恩格尔-格兰杰提出了格兰杰提出了协整理论协整理论，为两个或，为两个或 多个非平稳过程间寻找均衡关系。多个非平稳过程间寻找均衡关系。 2 协整的概念协整的概念 3 协整检验协整检验 一、协整关系的含义：一、协整关系的含义： 设设 如果如果 则有：则有： (1),(1), tt XIYI(0) ttt uaXbYI 1 ttt a YXu bb 即即 tt

5、t YX 其中，其中，, a b 1 (0). tt uI b 二、恩格尔二、恩格尔-格兰杰两步估计法格兰杰两步估计法 假设被检验的所有时间是单整阶数为假设被检验的所有时间是单整阶数为1的序列，这种的序列，这种 假设不失一般性，因为当时间序列的单整阶数不为假设不失一般性，因为当时间序列的单整阶数不为1时可时可 以通过差分变为阶数相同的以通过差分变为阶数相同的I(1)时间序列。时间序列。 1、协整回归、协整回归 设设 建立回归方程建立回归方程 (1), (1), tt XIYI 得到得到残差序列：残差序列： () ttt eYX ttt YX 2、检验残差序列的平稳性、检验残差序列的平稳性 用单

6、位根检验用单位根检验-DF检验检验，或，或ADF检验检验检验检验残差序列的残差序列的平平 稳性稳性。 若残差序列若残差序列 是平稳的，则认为序列是平稳的，则认为序列Yt与与Xt之间存在协之间存在协 整关系。若残差序列整关系。若残差序列 是非平稳的，则认为序列是非平稳的，则认为序列Yt与与Xt之间之间 不存在协整关系。不存在协整关系。 t e t e 1 1 k ttit it i eee 可以使用的检验方程有：可以使用的检验方程有： 1 1 k ttit it i eeae 1 1 k ttit it i eeate （1） （2） （3） 注意：注意： （1）检验残差序列的平稳性时，检验方程

7、中的常数）检验残差序列的平稳性时，检验方程中的常数项项 和趋势项和趋势项也可以加在原协整回归方程也可以加在原协整回归方程中中。 （3）多变量之间的协整多变量之间的协整关系可能不止一个，对于多关系可能不止一个，对于多 个协整关系检验，需要使用基于向量自回归（个协整关系检验，需要使用基于向量自回归（VAR）模）模 型的型的Johansen检验方法。检验方法。 4 误差修正模型误差修正模型 误差修正模型（误差修正模型（Error Correction Model）简称为简称为ECM， 常常作为协整回归模型的补充模型出现。（常常作为协整回归模型的补充模型出现。（但协整理论诞生但协整理论诞生 于误差修正

8、模型之后于误差修正模型之后）。 协整模型度量序列之间的长期均衡关系，而协整模型度量序列之间的长期均衡关系，而误差误差修正模修正模 型（型（ECM）则解释序列之间的短期波动）则解释序列之间的短期波动关系关系 。 一一、误差误差修正模型（修正模型（ECM）的产生背景）的产生背景 误差修正模型由误差修正模型由Sargan 1964年提出，最初用于存储年提出，最初用于存储 模型。模型。1977年由年由Hendry-Anderson和和Davidson完善。完善。 1.分布滞后模型：分布滞后模型：如果回归模型中不仅包括解释变如果回归模型中不仅包括解释变 量的本期值，而且包括解释变量的滞后（过去）值，则量

9、的本期值，而且包括解释变量的滞后（过去）值，则 这种回归模型称为分布滞后模型。例这种回归模型称为分布滞后模型。例 yt = 0 + + ut , ut IID (0, 2 ) n i iti x 0 上述模型的一个明显问题是上述模型的一个明显问题是xt与与xt -1 , xt-2, , xt - n 高高 度相关，从而使度相关，从而使 j的的OLS估计值很不准确。估计值很不准确。 3.动态分布滞后模型（自回归分布滞后模型动态分布滞后模型（自回归分布滞后模型） 如果如果在分布滞后模型中包括被解释变量的若干个滞在分布滞后模型中包括被解释变量的若干个滞 后值后值作解释作解释变量，则称之为动态分布滞后

10、模型或自回归变量，则称之为动态分布滞后模型或自回归 分布分布滞后滞后模型。例模型。例 yt = 0 + + + ut , ut IID (0, 2 ) m i iti y 1 0 n it i i x 用用ADL (m, n) 表示，其中表示，其中m是自回归阶数，是自回归阶数，n是分布滞是分布滞 后阶数（假定不含外生变量后阶数（假定不含外生变量 ）。对）。对ADL (m, n) 模型可模型可 采用采用OLS法估计，参数估计量是有偏的，但具有一致法估计，参数估计量是有偏的，但具有一致 性。性。 最常见的是最常见的是ADL (1, 1) 和和ADL (2, 2) 模型。模型。 对于对于ADL（1，

11、1）模型）模型 （1）当）当 1 = 1 0 成立成立，模模型型变为变为 00ttt yxu 这是一个静态回归模型。这是一个静态回归模型。 （2）当）当 0= 1= 0时，模型变为时，模型变为 011ttt yyu 这是一阶自回归模型。这是一阶自回归模型。 yt = 0 + 1 yt-1 + 0 xt + 1 xt-1 + ut , ut IID (0, 2 ), （3）当）当 1 0 = 0 时，则有时，则有 011ttt yxu xt-1是是yt的超前指示变量。此模型称为前导模型。的超前指示变量。此模型称为前导模型。 （4）当约束条件是）当约束条件是 1 ， 1 - 0 时，模型变为时，模

12、型变为 yt = 0 + 0 xt + ut . 这是一个一阶差分模型。当这是一个一阶差分模型。当xt与与yt为对数形式时，上述为对数形式时，上述 模型为增长率模型。模型为增长率模型。 （5）若）若 1 = 0成立，模型变为一阶分布滞后模型。成立，模型变为一阶分布滞后模型。 yt = 0 + 0 xt + 1 xt - 1 + ut （6）取）取 1 0，则模型变为，则模型变为 yt = 0 + 1 yt -1 + 0 xt + ut. 此模型称为此模型称为局部调整模型（偏调整模型）局部调整模型（偏调整模型）。 yt = 0 + 1 yt -1 + 1 xt -1 + ut . （7）取）取

13、0 0，则模型变为，则模型变为 模型中只有变量的滞后值作解释变量，模型中只有变量的滞后值作解释变量，yt的值仅的值仅 依靠滞后信息。这种模型称为依靠滞后信息。这种模型称为“盲始盲始”模型模型。 （8）取）取 1 - 1 ，则模型变为，则模型变为 yt = 0 + 1 ( yt-1 - xt-1 ) + 0 xt + ut 此模型称为此模型称为比例响应模型比例响应模型。解释变量为。解释变量为xt与与 ( yt-1- xt-1)。 以上所列举的以上所列举的例子例子都是都是由一个一般的由一个一般的ADL模型化简得模型化简得 到的到的(即增加即增加约束条约束条件件) 。 这种这种建立模型的方法是首先从

14、一建立模型的方法是首先从一 个包括了尽可能个包括了尽可能多多解释变量解释变量的的“一般一般”ADL模型开始，通模型开始，通 过检验回归系数过检验回归系数约约束条件逐步剔除那些不显著的变量，压束条件逐步剔除那些不显著的变量，压 缩模型规模，在这个过程要始终保持模型随机误差项的非缩模型规模，在这个过程要始终保持模型随机误差项的非 自相关性，最终得到一个简化模型。这种方法就是自相关性，最终得到一个简化模型。这种方法就是“一般一般 到特殊到特殊”建模法。建模法。 模型若丢失重要解释变量将导致回归系数的模型若丢失重要解释变量将导致回归系数的OLS估计量估计量 丧失无偏性和一致性。丧失无偏性和一致性。“一

15、般到特殊一般到特殊”建模法的主要优点建模法的主要优点是是 把把由于选择变量所带来的设定误差减到最小。因为在初始由于选择变量所带来的设定误差减到最小。因为在初始 模型中包括了许多变量，所以不会使回归系数的模型中包括了许多变量，所以不会使回归系数的OLS估计量估计量 存在丢失变量误差。虽然因为在初始模型中包括了许多不重存在丢失变量误差。虽然因为在初始模型中包括了许多不重 要解释变量，从而使回归参数估计量缺乏有效性，但随着检要解释变量，从而使回归参数估计量缺乏有效性，但随着检 验约束条件的继续，那些不重要的解释变量被逐步剔除掉，验约束条件的继续，那些不重要的解释变量被逐步剔除掉， 从而使估计量缺乏有

16、效性的问题得到解决。从而使估计量缺乏有效性的问题得到解决。 “一般到特殊一般到特殊”建模方法的优点：建模方法的优点： 误差误差修正模型由修正模型由Sargan 1964年提出，最初用于存储年提出，最初用于存储 模型。模型。1977年由年由Hendry-Anderson和和Davidson进一步完善。进一步完善。 1978年，恩格尔和格兰杰又将误差修正模型与协整理论相年，恩格尔和格兰杰又将误差修正模型与协整理论相 结合，提出了建立误差修正模型的一般方法结合，提出了建立误差修正模型的一般方法。 ECM模型由模型由 ADL (m, n, p) (p为外生变量个数为外生变量个数)模型变模型变 换而来。

17、下面通过换而来。下面通过ADL (1, 1) 模型推导简单的模型推导简单的ECM模型。模型。 二二、 误差修正模型误差修正模型 其中其中 ut 应不存在自相关和异方差。如果这个条件不能满应不存在自相关和异方差。如果这个条件不能满 足，可通过增加足，可通过增加 xt 和和 yt 的滞后项或加入新的变量从而使的滞后项或加入新的变量从而使 ut 满足要求。满足要求。 从上式两侧同时减从上式两侧同时减 yt-1，在右侧同时加减，在右侧同时加减 0 xt -1 得：得： 考虑如下的自回归分布滞后（考虑如下的自回归分布滞后（autoregressive distributed lag,ADL）模型（）模型

18、（ADL（1，1）：）： 011011ttttt yyxxu . . 2 (0,), i i d t u 1 1 yt = 0 + 0 xt + ( 1 -1) yt-1 + ( 0 + 1) xt-1 + ut 上式右侧第三、四项合并得：上式右侧第三、四项合并得： yt = 0 + 0 xt + ( 1 - 1 ) ( yt-1 - k1 xt-1) + ut 其中其中k1 = ( 0 + 1) / (1 - 1 )。在上述变换中没有破坏恒。在上述变换中没有破坏恒 等关系，所以不会影响模型对样本数据的解释能力，也不等关系，所以不会影响模型对样本数据的解释能力，也不 会改变会改变OLS估计量的

19、性质。估计量的性质。 上式称为上式称为ECM模型，模型，( 1 -1) ( yt-1- k1 xt-1) 称为误差修正称为误差修正 项。项。( yt -1- k1 xt -1) 表示前一期的非均衡误差，若表示前一期的非均衡误差，若 yt平稳，必平稳，必 有有 1 1，所以非均衡误差项的系数所以非均衡误差项的系数 ( 1 -1) 必为负。必为负。 说明误差修正项对说明误差修正项对 yt有一个反向修正作用。当前一期有一个反向修正作用。当前一期 yt，即，即 yt-1 相对于均衡点取值过高（低）时，通过误差修正相对于均衡点取值过高（低）时，通过误差修正 项的反向修正作用，使本期项的反向修正作用，使本期 yt 减小（增加），减小（增加）， yt 向均衡向均衡 位置移动。位置移动。( 1 -1) 表示误差修正项对表示误差修正项对 yt 的调节速度的调节速度。进进 一步变换一步变换 可得可得 ： yt = 0 xt + ( 1- 1 ) ( yt-1 - k0 - k1 xt-1) + ut 其中其中k0 = 0 / (1 - 1 )。( yt -1 -