第十章质点动力学的基本方程(同济)

1、第十章质点动力学的基本方程(同济) 第三篇 动力学静力学是研究物体的平衡问题，没有考虑物体在不平衡力系 作用下将如何运动，运动学只研究物体运动的几何性质而不考虑 力的作用。静力学、运动学未考虑的问题，正是动力学所要研究 的问题。 1 动力学任务 研究作用于物体的力与物体运动变化之间的关系，即建立力 和运动之间的关系。2 学习动力学目的(1) 解决实际工程问题 (2) 为后续课程奠定基础3 动力学的基本模型(1)质点：具有一定质量的几何点，其几乎形状和大小尺寸忽略 不计。 (2)质点系：有限或无限质点组成的相互间有一定联系的系统。 可变质点系：质点间距离可以改变的质点系。如流体等。 不变质点系：

2、质点间距离保持不变的质点系。如刚体。当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。当研究飞行器姿态动力 学时，可将其视为刚体系或 质点系。第十章 动力学基本定律 质点运动微分方程 10-1 牛顿运动定律 惯性坐标系第一定律 惯性定律 任何物体，若不受外力作用，将永远保持静止或作匀速直 线运动 第二定律 力与加速度关系定律 质点的加速度大小与所受力的大小成正比，而与质点的质 量成反比www.wenkU，加速度方向与力的方向一致。r r F = ma质量是物体惯性的度量适用于惯性参考系 第三定律 作用与反作用定律 两物体间相互作用的力总是大小相等，方向相反，沿 同一作用线，且同时分别作用于

3、两个物体上 。动力学主要研究两类基本问题1.已知运动求力a P2.已知力求运动r Fr ar WF1F2地球10-2 质点运动的微分方程一、矢量式 r 2r r d r r dv ma = m =m 2 =F dt dt 二、直角坐标式 d 2x d2y m 2 = Fy m 2 = Fx dt dt 三、自然轴系式m zr rr Fr ayxd 2z m 2 = Fz dtdv d 2s ma = m = m 2 = F dt dt v2 man = m = Fn bA _SMBr Fnr a+mab = 0 = Fb四、两类问题 1、已知运动，求力（微分问题）v v v v 已知 r =

4、r (t ) v = v (t )v v v a = a (t ) 求 F 是一个微分过程2、已知力，求运动（积分问题）， 还要已知初始条件v （1）力是常力 F = 常矢量例如：重力 xx0m& = Fx xFx & = x m Fx & & x = x0 + t m& dx Fx = dt mFx & x& 0 dx = m0tdt（2）力是位置的函数v v v F = F (r )例如：弹簧力 xF (x ) & = x m & & & dx dx dx dx （分离变量法） & = & x = =x dt dx dt dx m& = F ( x ) x& x1 x & & x&0xdx

5、 = m x0 F (x )dx v v v F = F (v ) （3）力是速度的函数& x =2&2 x02 + (x ) m例如：空气阻力 x& m& = F ( x ) xx& x0& dx 1 t = dt & F ( x ) m t0& F (x ) & = x m（4）力是时间的函数v v F = F (t )例如：周期力 x& xm& = Fx (t ) x1 t & x&0dx = m t0 Fx (t )dtFx (t )& = x m& & x = x0 + (t )说明：以上积分的分离形式并不是唯一的，具体如何 分离，要与所求问题相对应 求解动力学问题的步骤： 1、取研

6、究对象画受力图 2、确定坐标系 3、建立微分方程 4、求解例10-1 三角楔块放在光滑的地面上，现在楔块上放 一块光滑物块以加速度a2滑下,求：楔块的加速度a1 值。 y 解： a2 A x: mA(a1cos +a2)=mAgsin a1 B y: mAa1sin =FN -mAgcos a1=(gsin a2)/ cos a2=gsin a1 cos 讨论：FN P A y ae=a1x1. a1 g tan , a20, 物块相对下降。 a2=0, 物块相对不动。ar=a2x例10-2 中国古时有一位千户将自制火箭绑在所坐的椅子上，点 燃火箭后试图飞离地球，试求火箭的初速度必须达到多少才

7、可将 这位千户飞离地球。 x 解: 已知地心引力 F= - m/x2， 则 F= - mgR2/x2。按初始条件 x=R 时 F=mg 可求得 =R2g， F R 0gR 2 由: gR 2 建立微分方程: m& = m & = x x 2 x x2 & dx dx gR 2 gR 2 v x gR 2 = 2 & & xdx = 2 dx & & v xdx = R x 2 dx dt dx x x01 1 1 2 2 (v v0 ) = R 2 g ( ) x R 21. v20 2. v202 gR 2 2 v = (v0 2 gR) + x2gR，飞离.v0 = 2 gR = 11.2

8、 km/s第二宇宙速度 ( R=6370 km )例10-3 一人在高为h的悬崖边以v0的速度平抛一块石子， 当空气阻力F=- kmv时,试求：石子的运动方程。& m& = Fx = kmx xy 解： v0 mg 建立微分方程:& m& = Fy mg = kmy mg y& = kx & x& yFx& xxFyv0 x = ( 1 e kt ) k & kdy y & = ky g & y = kt ln(ky + g ) |0& = kt & & ky + g kt& dx = k d t ln x | x = kt & x& 0 & x v & x = v 0 e kt d x =

9、0 e kt d ( kt ) k& ky + g = gey = hg g t + 2 (1 e kt ) k k(e kt 1) dy = g dt k例10-4 园柱破碎机械中放置钢球与石块，为使石块破碎效率最 佳，应使转动园柱中的钢球达到最高位置再落下，求此时转速n。 r解:建立法向质点运动微分方程:F v man = m = FN + P cos R2r r P FNnn v = R = R 30当 FN=0代入后:30 R n= ( FN + P cos ) R mn=30g cos R当 最高位置 =0n=30g R例10-5：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球

10、的速 度为u , = 0。求绳作用在小球上的力F( ), 并分析小球的运动。解：r r ma = Fi运动微 分方程:n s uFn:& ml& = mg sin & ml 2 = F mg cos积分上式可得：mgu2 F = mg (3 cos 2) + m l分析小球的运动 （1）微幅摆动微分方程的通解 = A sin(t + )初始条件：& l& + g sin = 0sin & + g = 0 l g 2 = l& =u 0 = 0, 0 l确定积分常数A=u l, =0& + 2 = 0 运动特点：等时性 （周期与初始条件无关）（2）大幅摆动& + 2 sin = 0 / rad大

11、 幅 摆 动 不 具 有 等 时 性t /s例10-7: 质点与圆柱面间的动滑动摩擦因数为 fs，圆柱半径为r 为1m。（1）建立质点的运动微分方程；（2）分析其运动。r Fr FNon解：取质点为研究对象rma = mg + F + FN& : mr& = mg cos F & n : mr 2 = mg sin + FN (1) (2) mg由（2）式解得： 代入（1）式得：FN = mr& 2 + mg sin Q F = f s FN& & mr& = mg cos f s (mr 2 + mg sin )数值方法给出质点位 置、速度和切向加速 度随时间的变化规律f s = 0 .1or (t ) &(t )& &(t )mgt(s) 0 = 0 rad , &0 = 0 rad/s,思考题: 给出垂