数学必修2教材分析——暑期

1、数学必修2教材分析暑 期 数学必修2教材分析暑期 必修2：立体几何初步、解析几何初步 必修4：平面向量 选修1：圆锥曲线与方程 选修2：圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何 选修3：球面上的几何、对称与群、欧拉公式与 闭曲面分类、三等分角与数域扩充 选修4：几何证明选讲、矩阵与变换、极坐标与 参数方程 数学必修2教材分析暑期 第章立体几何初步 本章内容与结构 空间几何体 点、线、面之间的位置关系 柱、锥、台、球的表面积和体积 数学必修2教材分析暑期 空间几何体空间几何体 点、线、面之间的关系点、线、面之间的关系 柱、锥、台、球的表面积与体积柱、锥、台、球的表面积与体积 柱、锥、台、球柱、锥、台、

2、球 中心投影与平行投影中心投影与平行投影 直观图画法直观图画法 平面的基本性质平面的基本性质 空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系 空间图形的展开图；柱、锥、台、球的体积空间图形的展开图；柱、锥、台、球的体积 数学必修2教材分析暑期 数学必修2教材分析暑期 立体几何（全部）的整体设计 必修数学2立体几何初步(通过直 观感知、操作确认，获得几何图形的性质， 并通过简单的推理发现、论证一些几何性 质) 选修2-1空间向量与立体几何 （进一步的论证与度量） 分层递进分层递进 数学必修2教材分析暑期 立体几何初

3、步的编写意图 u 内容与结构的变化 整体到局部、具体到抽象 遵循认知规律、重在提高空间想象能力 传统处理方式： 点、线、面 柱、锥、台、球 新教材处理方式： 柱、锥、台、球 点、线、面 计算 数学必修2教材分析暑期 直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算 空间几何 体 点、线、 面位置关 系 表面积、体 积 内容的设计遵循从整体到局部、具体到抽内容的设计遵循从整体到局部、具体到抽 象的原则，通过直观感知、操作确认、思辨论象的原则，通过直观感知、操作确认、思辨论 证、度量计算等方法，认识和探索空间几何图证、度量计算等方法，认识和探索空间几何图 形及其性质。形及其性质。 数学必修2教材分析暑期 u

4、 编写意图与教学要求 空间几何体空间几何体 直观感知 这部分内容的展开，首先借助于丰富的实物这部分内容的展开，首先借助于丰富的实物 模型或运用计算机软件所呈现的空间几何体，通模型或运用计算机软件所呈现的空间几何体，通 过对这些空间几何体的整体观察，帮助学生认识过对这些空间几何体的整体观察，帮助学生认识 其结构特征，运用这些特征描述现实生活中的一其结构特征，运用这些特征描述现实生活中的一 些简单物体的结构，巩固和提高义务教育阶段有些简单物体的结构，巩固和提高义务教育阶段有 关三视图的学习和理解，帮助学生运用平行投影关三视图的学习和理解，帮助学生运用平行投影 与中心投影，进一步掌握在平面上表示空间

5、图形与中心投影，进一步掌握在平面上表示空间图形 的方法和技能。的方法和技能。 数学必修2教材分析暑期 平移平移 棱柱、锥、台棱柱、锥、台 旋转旋转 圆柱、锥、台、球圆柱、锥、台、球 投影投影 视图视图 直观图直观图 运动变化的观点； 展现数学的统一美、和谐美； 发展空间想象能力（几何体的构成）。 数学必修2教材分析暑期 点、线、面之间的关系点、线、面之间的关系 操作确认、思辨论证操作确认、思辨论证 l以长方体为载体，直观认识和理解体会空间的点、以长方体为载体，直观认识和理解体会空间的点、 线、面之间的位置关系，抽象出空间线、面的位置线、面之间的位置关系，抽象出空间线、面的位置 关系的定义，用数

6、学语言表述有关平行、垂直的性关系的定义，用数学语言表述有关平行、垂直的性 质与判定，并了解一些可以作为推理依据的公理和质与判定，并了解一些可以作为推理依据的公理和 定理定理 。 l对性质定理加以逻辑证明，至于判定定理，对性质定理加以逻辑证明，至于判定定理， 在选修系列在选修系列2中，用向量的方法加以严格的中，用向量的方法加以严格的 证明。证明。 l要求学生能运用已获得的结论证明一些空间要求学生能运用已获得的结论证明一些空间 位置关系的简单命题。位置关系的简单命题。 数学必修2教材分析暑期 性质性质 思辩论证思辩论证 逻辑推理逻辑推理 长方体长方体 微型三维空间（载体）微型三维空间（载体） 判定

7、判定 操作确认操作确认 合情推理合情推理 借助三维空间的基本模型（长方体）；借助三维空间的基本模型（长方体）； 重视合情推理与逻辑推理的结合，注意重视合情推理与逻辑推理的结合，注意 适度形式化。适度形式化。 帮助学生完善思维结构，发展空间想象帮助学生完善思维结构，发展空间想象 能力。能力。 数学必修2教材分析暑期 柱、锥、台、球的表面积与体积柱、锥、台、球的表面积与体积 度量计算度量计算 从局部回到整体，通过计算度量对空间几何从局部回到整体，通过计算度量对空间几何 体的表面积和体积进行定量的研究。体的表面积和体积进行定量的研究。 数学必修2教材分析暑期 几点说明几点说明 u 棱柱、棱锥、棱台的

8、描述平移 u 投影视图直观图 u 研究的载体：长方体 空间的基本模型就是长方体 认识清楚了其上的点线、线线、线面， 基本上可以解决空间中一些基本问题。 长方体作为模型，贯穿于整个的教学之中。 数学必修2教材分析暑期 u 判定定理和性质定理的不同要求 u 关于“三垂线定理” P36页例3是直线与平面垂直判定定理的一个应 用，也称“三垂线定理”，是证明线、线垂直的一 个典型范例。 数学必修2教材分析暑期 u计 算 要 求 的 降 低 ( 线 线 、 线 面 、 面面角的计算，距离的计算) P43页例页例1是教材中第二个求角的例题，是教材中第二个求角的例题， 目的是：目的是： （1）理解二面角的平面

9、角的概念；）理解二面角的平面角的概念； （2）为下面证明两个平面互相垂直提供）为下面证明两个平面互相垂直提供 方法。教学时重点是引导学生如何找出二面方法。教学时重点是引导学生如何找出二面 角的平面角。关于二面角的有关度量问题主角的平面角。关于二面角的有关度量问题主 要在要在空间向量与立体几何空间向量与立体几何中来研究。中来研究。 数学必修2教材分析暑期 关于直线与面垂直的性质定理的证明，关于直线与面垂直的性质定理的证明， 教材采用反证法，学生理解上会有一定的困教材采用反证法，学生理解上会有一定的困 难，教学时注意引导学生理解反证法的反设、难，教学时注意引导学生理解反证法的反设、 归谬，进而得出

10、正确的结论。证明中用到归谬，进而得出正确的结论。证明中用到 “如果两条平行直线中的一条垂直于一个平如果两条平行直线中的一条垂直于一个平 面，那么另一条也垂直于这个平面面，那么另一条也垂直于这个平面”和和“过过 一点有且只有一条直线与已知平面垂直一点有且只有一条直线与已知平面垂直”的的 事实。事实。 u 关于反证法 数学必修2教材分析暑期 u 重视类比，合情推理 空间与平面的类比，公理4，阅读（P47） u 重视拓展，发展个性 阅读(艺术家的透视法年希尧的视学 祖暅原 理) 链接(圆锥、圆台侧面积公式的推导) 探究拓展 (类比推出球面积公式) 问题与建模(体积的近似计算)，有用的数学， 积分思想

11、等 数学必修2教材分析暑期 数学必修2教材分析暑期 第章平面解析几何初步 必修必修2 平面解析几何初步平面解析几何初步 选修选修1-1 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 选修选修2-1 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 平面解析几何的内容和定位平面解析几何的内容和定位 突出用代数方法解决几何问题的过程，突出用代数方法解决几何问题的过程， 强调代数关系的几何意义。强调代数关系的几何意义。 数学必修2教材分析暑期 “十字架“的价值；它通数与形。 几何即代数的明示，代数即几何的昭示。 数形结合的思想数形结合的思想 数学必修2教材分析暑期 本章内容与结构 直线与方程 圆与方程 空间直角坐标系 直线的斜率； 直

12、线的方程； 两条直线的平行与垂直； 两条直线的交点； 平面上两点的距离；点到直线的距离； 圆的方程；直线与圆的位置关系； 圆与圆的位置关系； 空间直角坐标系； 空间两点间的距离； 数学必修2教材分析暑期 平面解析几何初步 简单的平面曲线 语言描述 (建立方程) 结构 特征 性质 (用方程研究曲线) 直线 直线 方程 结构特征 (斜率) 位置关系 点到直线 的距离 圆 圆的 方程 结构特征 (圆心 半径) 直线与圆 圆与圆的 位置关系 数学必修2教材分析暑期 解析几何初步的编写意图 强调解析几何研究问题的一般方法：用 代数语言描述几何要素及其相互关系将几 何问题转化为代数问题处理代数问题分 析代

13、数结果的几何含义最终解决几何问题。 数学必修2教材分析暑期 u 突出解析法基本思想 代数方法解决几何问题代数方法解决几何问题 坐标系坐标系 代数方法代数方法 几何问题几何问题代数问题代数问题 解解 解解* 返回返回 重视重视“数形结合数形结合”思想的运思想的运 用用 以形助数、依数识形以形助数、依数识形 数学必修2教材分析暑期 顺序调整顺序调整 先斜率后倾斜角 先直线方程后位置关系 数学必修2教材分析暑期 u将“圆与方程”与“直线与方程” 进行类比，感受同构（方法）的特点， 体验解析几何的研究程序。 坐标系 代数方法 几何问题代数问题 解 解* 返回 . .伊夫斯：伊夫斯： “解析几何是数学家

14、应用变换求解反演法解析几何是数学家应用变换求解反演法 的一个最精彩、最深入、最富有成果的例子的一个最精彩、最深入、最富有成果的例子”，“解析解析 几何与其说是一个几何学分支，不如说是一种几何方法几何与其说是一个几何学分支，不如说是一种几何方法” 数学必修2教材分析暑期 几点说明 （1）本章与传统教材最大的不同，就是现在）本章与传统教材最大的不同，就是现在 没有较多的工具供运用。三角没有，向量没没有较多的工具供运用。三角没有，向量没 有。则其序、其理必不同。如斜率，直线的有。则其序、其理必不同。如斜率，直线的 倾角与斜率的关系，得另辟通径。倾角与斜率的关系，得另辟通径。 （2）关于直线的斜率。）

15、关于直线的斜率。 数学必修2教材分析暑期 （3）关于直线的方程和方程的直线的概念）关于直线的方程和方程的直线的概念 （课本上：可以验证：（课本上：可以验证：） 在求直线方程的过程中，既要说明直线在求直线方程的过程中，既要说明直线 上点的坐标满足方程；也要说明以方程的解上点的坐标满足方程；也要说明以方程的解 为坐标的点在直线上。满足了这两点，我们为坐标的点在直线上。满足了这两点，我们 就可以说这个方程是直线的方程或直线是这就可以说这个方程是直线的方程或直线是这 个方程的直线。学生只要能感觉到这一点就个方程的直线。学生只要能感觉到这一点就 可以。可以。 在这个问题上，现教材的处理方法是先在这个问题

16、上，现教材的处理方法是先 特殊，后一般（选修特殊，后一般（选修21） 数学必修2教材分析暑期 （4）关于两直线垂直的判定）关于两直线垂直的判定 由于学生还没有学习三角函数，所以不由于学生还没有学习三角函数，所以不 便运用两倾斜角之差为便运用两倾斜角之差为90来研究两直线垂来研究两直线垂 直。本教材通过构造相似三角形得到两直线直。本教材通过构造相似三角形得到两直线 垂直的条件。其中实际上用到有向线段的概垂直的条件。其中实际上用到有向线段的概 念，只要求学生能够理解，不必深入说明。念，只要求学生能够理解，不必深入说明。 数学必修2教材分析暑期 （6）关于点到直线的距离）关于点到直线的距离 本节在编

17、写的过程中，设计成一节活动本节在编写的过程中，设计成一节活动 课。首先通过上一节课的情景提出问题，进课。首先通过上一节课的情景提出问题，进 而给出了两种解决问题的方法，最后留下一而给出了两种解决问题的方法，最后留下一 个思考：还有解决此问题的其他方法吗？教个思考：还有解决此问题的其他方法吗？教 学过程中，学生可以分成小组，采用讨论、学过程中，学生可以分成小组，采用讨论、 交流，最后由学生汇报的方式进行。交流，最后由学生汇报的方式进行。 只是提供一个研究案例，教学处理不一 定按这个方案进行，但应将这个思想体现出 来。 数学必修2教材分析暑期 其中，方法一是常规方法，思路比较清其中，方法一是常规方法，思路比较清 晰，但计算量较大。方法二是将点到直线晰，但计算量较大。方法二是将点到直线 的距离转化为求与的距离转化为求与x轴、轴、y轴垂直的线段的轴垂直的线段的 长度，进而通过面积加以解决。教材中，长度，进而通过面积加以解决。教材中， 点到直线的距离公式的推导是沿用方法二点到直线的距离公式的推导是沿用方法二 的思路，教学过程中，应注意对特殊情形的思路，教学