Matlab—线性代数入门

1、2021-7-13 线性代数线性代数MatlabMatlab入门入门 作者作者 刘进生刘进生 太原理工大学太原理工大学 数学系数学系 欢迎进入 MATLAB 世界 TEL:6014769 2021-7-13 MATLABMATLAB的发展史的发展史 MATLAB的产生是与数学计算紧密联系在一起的产生是与数学计算紧密联系在一起 的。的。70年代中期年代中期,美国的穆勒教授及其同事在美国国美国的穆勒教授及其同事在美国国 家基金会的资助下家基金会的资助下,开发了线性代数的开发了线性代数的Fortran子程子程 序库。不久序库。不久,他在给学生开线性代数课时他在给学生开线性代数课时,为了让学为了让学

2、生能使用子程序库又不至于在编程上花费过多的时生能使用子程序库又不至于在编程上花费过多的时 间间,便为学生编写了使用子程序的接口程序。他将这便为学生编写了使用子程序的接口程序。他将这 个接口程序取名为个接口程序取名为MATLAB,意为意为“矩阵实验室矩阵实验室”。 2021-7-13 MATLABMATLAB的发展史的发展史 l80年代初他们又采用年代初他们又采用c语言编写了语言编写了MATLAB的核的核 心心,成立了成立了MsthWorks公司并将公司并将MATLAB正式推正式推 向市场。自向市场。自1984年出版以来经过不断的研究年出版以来经过不断的研究,增增 加了许多功能。加了许多功能。

3、lMATLAB由主包和功能各异的工具箱组成由主包和功能各异的工具箱组成,其基其基 本数据结构是矩阵本数据结构是矩阵. l目前目前MATLAB巳成为国际公认的最优秀的数学巳成为国际公认的最优秀的数学 应用软件之一。应用软件之一。 2021-7-13 MATLABMATLAB的主要功能和特性的主要功能和特性 l主要功能主要功能: l1.数值计算功能数值计算功能 l2.符号计算功能符号计算功能 l3.数据分析和可视数据分析和可视 化化 功能功能 l4.文字处理功能文字处理功能 l5.SIMULINK动态仿动态仿 真功能真功能 l主要特点主要特点: l1. 1.功能强大功能强大 MATLAB含有含有3

4、0多个应多个应 用于不同领域的工具箱用于不同领域的工具箱. l2. 2.界面友好界面友好 MATLAB其指令表达方其指令表达方 式与习惯上的数学表达式与习惯上的数学表达 式非常接近式非常接近,编程效率高编程效率高. l3. 3.扩展性强扩展性强 用户可自由地开发自己用户可自由地开发自己 的应用程序的应用程序 2021-7-13 MATLABMATLAB入门入门 l1.如何进入如何进入 matlab软件软件: 在桌面直接双击在桌面直接双击matlab图标，即可进入软件图标，即可进入软件 Matlab界面界面 2021-7-13 MATLABMATLAB主界面主界面 2021-7-13 工作空间计

5、算举例工作空间计算举例: : 输入命令输入命令: l A=1 5 2;3 6 4;6 8 9 la1=A la2=det(A) la3=inv(A) 的的转转置置、行行列列式式与与逆逆。，求求已已知知例例AA 986 463 251 1 Matlab界面界面 2021-7-13 工作空间计算举例工作空间计算举例: 输入命令输入命令: A=1 1 -1;2 4 5;1 -3 -4 b=12;6;10 X=Ab 1043 6542 12 2. zyx zyx zyx 求求解解方方程程组组例例 输出方程组的解：输出方程组的解： X=5.4545 3.0909 -3.4545 Matlab界面界面 2

6、021-7-13 线性代数实验线性代数实验之之向量的创建向量的创建 一、向量的创建：一、向量的创建： 1.行向量：行向量： x= 1, 2, 3, 4, 5 或或: x=1 2 3 4 5 2.列向量列向量: x=1; 2; 3; 4 或或: x=1 2 3 4 2021-7-13 线性代数实验线性代数实验之之向量的创建向量的创建 MATLAB (shuzu1) 逗号逗号或或空格空格作用：分隔某一行的元素。作用：分隔某一行的元素。 分号分号作用：区分不同的行。作用：区分不同的行。 Enter作用：输入列向量时，按作用：输入列向量时，按Enter键开始一新行键开始一新行 2021-7-13 线性

7、代数实验线性代数实验之之向量运算向量运算 二、向量的运算命令二、向量的运算命令： l向量向量a与与b的加法：的加法：a + b l向量向量a与与b的减法：的减法：a b l数数k乘以向量乘以向量a： k * a l向量向量a的转置：的转置： a l向量向量a与与b的数量积：的数量积：dot (a,b)或或 a * b 1.向量向量a的模：的模：norm(a) 2021-7-13 线性代数实验线性代数实验之之向量运算向量运算 例：例：已知已知 a = 3,-1,-2 , b = 1,2,-1 ，c=3,求求 la+b , ca, (-2a) + 3b ldot (a,b ), a*b , nor

8、m(a) 命令集：命令集： a=3 1 2 ; b=1 2 1; c=3; a1=a+b a2=c*a a3=(-2*a) + 3*b b1=dot(a,b) b2=a*b b3=norm(a) MATLAB (shuzu2) 2021-7-13 线性代数实验线性代数实验之之矩阵创建矩阵创建 例例:A=1 2 3;4 5 6;7 8 9 例例:B = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 5 4 3 2 1 一一. 矩阵的创建矩阵的创建 逗号逗号或或空格空格作用：分隔某一行的元素。作用：分隔某一行的元素。 分号分号作用：区分不同的行。作用：区分不同的行。 Enter作用：输入矩阵时，按作用：

9、输入矩阵时，按Enter键开始一新行键开始一新行 MATLAB (matrix1) 2021-7-13 线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算 lA*k 数乘矩阵数乘矩阵 lA+B 矩阵加法矩阵加法 lA*B 矩阵乘法矩阵乘法 lAn A的的n次幂次幂 lAB 等价于等价于 inv(A) * B lB/A 等价于等价于 B * inv(A) lA A的转置的转置 lrank(A) 矩阵的秩矩阵的秩 l二二. 矩阵的运算命令矩阵的运算命令 2021-7-13 线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算 ldet(A) A的行列式的行列式 lcompan(A)A的伴随矩阵的伴随矩阵 lin

10、v(A) 或或A-1 A矩阵求逆矩阵求逆 lB,jb=rref(A) 阶梯状行的最简式阶梯状行的最简式,jb表示基向量所在表示基向量所在 的列，的列，A(:,jb)表示表示A列向量的基（最大无关组）列向量的基（最大无关组） lrrefmovie(A) 给出每一部化简过程给出每一部化简过程 lD,X=eig(A)A的特征值与特征向量的特征值与特征向量 lnorm(A)矩阵的范数矩阵的范数 lorth(A) 矩阵的正交化矩阵的正交化 lpoly(A) 特征多顶式特征多顶式 2021-7-13 输入命令输入命令: la=1 0 -2;-1 3 2 lb=-2 1 0;2 -3 6 lc=a-b ld

11、=3*a+b 。求求，例已知例已知BABABA 3, 632 012 231 201 线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算 MATLAB (matrix3-1-1) 2021-7-13 输入命令输入命令: la=2 1 4 0;1 -1 3 4 lb=1 3 1;0 -1 2 ;1 -3 1;4 0 -2 lc=a*b 。求求，例例已已知知ABBA, 204 131 210 131 4311 0412 线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算 MATLAB (matrix3-1-21) 2021-7-13 输入命令输入命令: la=2 -1 3;4 0 1 lb=0 5 2;1 -

12、3 4 lc=a+b ld=a*b 线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算 MATLAB (matrix3-1-8) 。求求，例已知例已知 TTT ABBABA, 431 250 104 312 2021-7-13 输入命令输入命令: la=1 2 0;3 -1 4;1 -2 1 lb=a2+a-eye(3) 线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算 MATLAB (matrix3-1-51) 。求求，例例已已知知)(, 1)( 121 413 021 2 AfxxxfA 2021-7-13 输入命令输入命令: la=1 1 1;1 1 -1;1 -1 1 lb=1 -1 0;2 -

13、2 5;3 4 1 lc=det(a*b) 线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算 MATLAB (matrix3-1-7) 。求求，例例已已知知|, 150 421 321 111 111 111 ABBA 2021-7-13 输入命令输入命令: la=1 3 1;2 -1 1;4 -3 2 lb=1 0 2;2 1 -1;-1 2 4 lformat rat %有理格式 lc=a-1 ld=inv(b) 线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算 MATLAB (matrix3-2-1) 。求求，例已知例已知 11, , 421 112 201 234 112 131 BABA 2

14、021-7-13 输入命令输入命令: la=1 1 -1;-2 1 1;1 1 1 lb=2;3;6 lx=a-1*b 线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算 MATLAB (matrix3-2-21) 。求求例例已已知知XX, 6 3 2 111 112 111 2021-7-13 输入命令输入命令: la=2 1 -1;-2 1 0;1 -1 0 lb=1 -1 3;4 3 2 lx=b*a-1 线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算 MATLAB (matrix3-2-22) 。求求例例已已知知XX, 234 311 011 012 112 2021-7-13 输入命令输入命

15、令: la=4 2 3;1 1 0;-1 2 3 lx=(a-2*eye(3)-1*a 线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算 MATLAB (matrix3-2-3) 。求求并并且且例例已已知知XXAAXA,2, 321 011 324 2021-7-13 输入命令输入命令: la1=4 2;-1 1 la2=1 2;-3 2 lA=a1 eye(2);zeros(2) a2 lb1=2 -3;0 5 lb2=-2 1;1 2 lB=eye(2) b1;zeros(2) b2 lC=A+B lD=A*B 线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算 MATLAB (matrix3-3-

16、1) 。求求例已知例已知ABBABA, 2100 1200 5010 3201 , 3300 2100 1011 0124 2021-7-13 输入命令输入命令: la1=6; la2=5 1;3 1; lA=a1 zeros(1, 2);zeros(2, 1) a2 lb1=3 1;1 2; lb2=-1 2;2 -3; lB=b1 zeros(2) ;zeros(2) b2 lC=inv(A) lD=inv(B) 线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算 MATLAB (matrix3-3-2) 。求求例例已已知知 11 , 3200 2100 0021 0013 , 130 150

17、006 BABA 2021-7-13 输入命令输入命令: la1=3 4;4 -3; la2=2 0;2 2; lA=a1 zeros(2) ;zeros(2) a2 lC=A8 lD=det(A) 线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算 。求求例例已已知知|, 2200 0200 0034 0043 8 AA MATLAB (matrix3-3-4) 2021-7-13 输入命令输入命令: lA=1 0 0 1;1 2 0 -1;3 -1 0 4;1 4 5 1 lB=3 2 -1 -3 -2;2 -1 3 1 -3;7 0 5 -1 -8 lC=1 1 1 0 5;2 1 -1 1

18、1;1 2 -1 1 2;0 1 2 3 3 la=rank(A) lb=rank(B) lc=rank(C) 线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算 MATLAB (matrix3-4-1) 。例例求求矩矩阵阵的的秩秩，其其中中 33210 21121 11112 50111 , 81507 31312 23123 , 1541 4013 1021 1001 CBA 2021-7-13 线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算 sym 符号变量，矩阵或向量定义函数符号变量，矩阵或向量定义函数 三三. 符号矩阵及运算命令符号矩阵及运算命令 sym a 将将a定义为符号变量定义为符号变

19、量 sym (a b) 将将a ,b定义为符号向量定义为符号向量 sym(a b;1 2) 将将a ,b,1,2定义为符号矩阵定义为符号矩阵 sym (A) 将将A定义为符号矩阵定义为符号矩阵 将矩阵的方括号置于创建符号表达式的单引号将矩阵的方括号置于创建符号表达式的单引号 中，元素可以是数字，符号或表达式中，元素可以是数字，符号或表达式 syms 符号变量符号变量 syms a b 将将a,b定义为符号变量定义为符号变量 2021-7-13 线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算 符号变量、符号向量、符号矩阵的运算与数值变符号变量、符号向量、符号矩阵的运算与数值变 量、数值向量、数值矩

20、阵的运算完全相同量、数值向量、数值矩阵的运算完全相同 符号矩阵运算命令符号矩阵运算命令 的的全全部部根根。，求求例例设设0)( 81 41 121 )( 2 xf x xxf l输入命令输入命令: lA=sym(1 2 1;1 4 x;1 8 x2) lD=det(A) lF=factor(D) MATLAB (Determinant 1-1-2) 2021-7-13 线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算 。例例计计算算行行列列式式 3333 2222 1111 dcba dcba dcba l输入命令输入命令: lsyms a b c d lA=1 1 1 1;a b c d l a

21、2 b2 c2 d2;a3 b3 c3 d3 lD=det(A) lF=simple(D) MATLAB (Determinant) 2021-7-13 线性代数实验线性代数实验之之线性相关性线性相关性 lrank(A) 矩阵的秩 lB,jb=rref(A) 阶梯状行的最简式,jb表示基向量所在 的列，A(:,jb)表示A列向量的基（最大无关组） lrrefmovie(A) 阶梯状给出每一部化简过程 运算命令运算命令 ），（），（），（ 求求它它的的最最大大无无关关组组例例求求向向量量组组的的秩秩，并并 1, 4, 215 ,7301 , 421 321 输入命令输入命令: a1=1 -2 4

22、 1;a2=0 3 -7 5;a3=-1 2 -4 -1; A=a1 a2 a3 rrefmovie(A) Matlab界面界面 2021-7-13 输入命令输入命令: la1=1 2 -1;a2=2 -3 1;a3=4 1 -1; lA=a1 a2 a3 lb1=1 1 1 2;b2=3 1 2 5;b3=2 0 1 3;b4=1 -1 0 1; lB=b1 b2 b3 b4 lc1=1 2 1 3;c2=4 -1 -5 -6;c3=1 -3 -4 -7;c4=2 1 -1 0; lC=c1 c2 c3 c4 la,ja=rref(A);a=A(:,ja) lb,jb=rref(B);b=B

23、(:,jb) lc,jc=rref(C);c=C(:,jc) 线性代数实验线性代数实验之之线性相关性线性相关性 MATLAB (matrix3-4-2) ），（），（），（），（） ），（），（），（），（） ），（），（），（） 关关组组相相关关性性并并求求它它的的最最大大无无例例讨讨论论向向量量组组的的线线性性 0112743165-1431213 101-13102521321112 11413-21211 4321 4321 321 2021-7-13 线性代数实验线性代数实验之之解方程组解方程组 一一. 求方程组的唯一解或特解求方程组的唯一解或特解 l输入命令输入命令: lA=1 2

24、 3 -2;2 -1 -2 -3;3 2 -1 2;2 -3 3 1 l b=6;8;4;-8 lformat rat %有理格式 lX=Ab 8332 42123 8322 6232 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 求求解解线线性性方方程程组组例例 MATLAB (Determinant1-3-8) 1. 求解求解Ax=b ：当：当det(A)0时，可用时，可用 x=Ab 2021-7-13 l输入命令输入命令: lA=1 2 3 -2;2 -1 -2 -3;3 2 -1 2;2 -3 3 1 l b=6;8;4;-8 lformat rat

25、%有理格式 lB=rref(A b) lX=B(:,5) 8332 42123 8322 6232 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 求求解解线线性性方方程程组组例例 MATLAB (Determinant1-3-8a) 2. 求解求解Ax=b：当：当det(A)0时时, 也可用也可用rref 线性代数实验线性代数实验之之解方程组解方程组 2021-7-13 l输入命令输入命令: lA=2 -3 1 5;-3 1 2 -4;-1 -2 3 1 l b=6;5;11 lformat rat %有理格式 lX1=Ab lB=rref(A b) lX2=

26、B(:,5) 的的一一个个特特解解求求线线性性方方程程组组例例 1132 5423 6532 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx MATLAB (equations 4-3-31a) 3. 求求Ax=b的一个特解：当的一个特解：当A不满秩时不满秩时, 也可用也可用Ab或或rref 线性代数实验线性代数实验之之解方程组解方程组 注注 当当A不满秩时不满秩时,用用Ab可能有误差，用可能有误差，用rref较好较好 2021-7-13 l输入命令输入命令: lA=1 1 2 -1;2 1 1 -1;2 2 1 2 lformat rat %有理格式 lB=null(A,r) l

27、syms k lX=k*B 的的通通解解求求线线性性方方程程组组例例 0222 02 02 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx MATLAB (equations 4-2-21a) 1. 求求Ax=0 的通解的通解, 可用可用null或或rref 线性代数实验线性代数实验之之解方程组解方程组 注注 null给出方程组解空间的一组基给出方程组解空间的一组基 二二. 求方程组的通解或基础解系求方程组的通解或基础解系 2021-7-13 线性代数实验线性代数实验之之解方程组解方程组 l输入命令输入命令: lA=1 1 0 -3 -1;1 -1 2 -1 0;4 -2 6 3

28、-4;3 3 0 3 -7 lformat rat lB=null(A,r) lsyms k1 k2 lX=k1*B(:,1)+k2*B(:,2) lC=rref(A) 的的通通解解求求线线性性方方程程组组例例 07333 043624 02 03 5421 54321 4321 5421 xxxx xxxxx xxxx xxxx MATLAB (equations 4-2-23) 2021-7-13 MATLAB (equations 4-3-31) 2. 求求Ax=b 的通解的通解, 可用可用rref或或null以及以及Ab 线性代数实验线性代数实验之之解方程组解方程组 1132 5423

29、 6532 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 求求解解线线性性方方程程组组例例 l输入命令输入命令: lA=2 -3 1 5;-3 1 2 -4;-1 -2 3 1 l b=6;5;11 lX0=Ab lB=null(A) lsyms k1 k2 lX=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)+X0 2021-7-13 MATLAB (equations 4-3-32) 线性代数实验线性代数实验之之解方程组解方程组 42 89932 322 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 求求解解线线性性方方程程组组例例 l输入命令输入命令: lA=1 1

30、2 -2;2 3 9 -9;2 1 -1 1 l b=3;8;4 lformat rat lX0=Ab lB=null(A) lsyms k1 k2 lX=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)+X0 2021-7-13 线性代数实验线性代数实验之之内积与正交内积与正交 求向量的内积与矩阵的正交化的命令求向量的内积与矩阵的正交化的命令 l向量向量a与与b的数量积：的数量积：dot (a,b)或或 a * b l向量向量a的模的模：norm(a) l矩阵矩阵A的正交规范化：的正交规范化：B=orth(A) B的列向量与的列向量与A的列向量具有相同的空间，的列向量具有相同的空间，B且正交且正交 ）

31、，（），（），（），（） ），（），（），（） 准准正正交交化化例例求求下下列列向向量量组组的的标标 60021131131311112 1261512121 4321 321 2021-7-13 输入命令输入命令: a1=2 -1 -2;a2=-1 5 1;a3=6 2 -1; a1=a1/norm(a1) a2=a2-(a1*a2) *a1;a2=a2/norm(a2) a3=a3-(a1*a3)*a1-(a2*a3)*a2;a3=a3/norm(a3) b1=1 1 1 1;b2=3 -1 3 -1;b3=1 3 -1 1;b4=-2 0 0 6; b1=b1/norm(b1) b2=b

32、2-(b1*b2)*b1;b2=b2/norm(b2) b3=b3-(b1*b3)*b1-(b2*b3)*b2;b3=b3/norm(b3) b4=b4-(b1*b4)*b1-(b2*b4)*b2- (b3*b4)*b3; b4=b4/norm(b4) 线性代数实验线性代数实验之之内积与正交内积与正交 MATLAB (innerporduct5-1-3) 2021-7-13 线性代数实验线性代数实验之之内积与正交内积与正交 输入命令输入命令: lA=4 0 0;0 3 1;0 1 3 lB=orth(A) lD=B*B MATLAB (orthogonal) 正正交交规规范范化化。例例将将矩矩阵阵 310 130 004 A 2021-7-13 线性代数实验线性代数实验之之特征值与特征向量特征值与特征向量 求矩阵特征值与特征向量的命令求矩阵特征值与特征向量的命令 lV=eig(A) A的特征向量的特征向量 l V,D=eig(A) A的特征值与特